পাশা ফেলে দেওয়ার জন্য সূত্র (অ-নিষ্ঠুর শক্তি)

সবার আগে আমি নিশ্চিত নই যে এই প্রশ্নটি কোথায় পোস্ট করা উচিত। আমি জিজ্ঞাসা করছি কোনও পরিসংখ্যানের সমস্যাটি এনপি-কমপ্লিট এবং যদি প্রোগ্রামিয়ালি সমাধান না করে। আমি এখানে এটি পোস্ট করছি কারণ পরিসংখ্যান সমস্যা কেন্দ্রবিন্দু।

আমি সমস্যা সমাধানের জন্য আরও ভাল সূত্র খুঁজতে চেষ্টা করছি। সমস্যাটি হ'ল: যদি আমার কাছে 4 ডি 6 (4 সাধারণ 6 পার্শ্বযুক্ত ডাইস) থাকে এবং সেগুলি একবারে রোল করে, সর্বনিম্ন সংখ্যার (একটি "ড্রপিং" বলা হয়) দিয়ে একটি ডাই সরিয়ে ফেলুন, তারপরে বাকী 3 যোগ করুন, প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের সম্ভাবনা কত? ? আমি জানি উত্তরটি হ'ল:

Sum (Frequency): Probability
3   (1):         0.0007716049
4   (4):         0.0030864198
5   (10):        0.0077160494
6   (21):        0.0162037037
7   (38):        0.0293209877
8   (62):        0.0478395062
9   (91):        0.0702160494
10  (122):       0.0941358025
11  (148):       0.1141975309
12  (167):       0.1288580247
13  (172):       0.1327160494
14  (160):       0.1234567901
15  (131):       0.1010802469
16  (94):        0.0725308642
17  (54):        0.0416666667
18  (21):        0.0162037037

গড় 12.24 এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 2.847।

আমি উপরের উত্তরটিকে নিষ্ঠুর বল দ্বারা পেয়েছি এবং কীভাবে বা এটির জন্য কোনও সূত্র আছে তা আমি জানি না। আমি সন্দেহ করি যে এই সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং তাই কেবল নিষ্ঠুর শক্তি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। 3 ডি 6 (3 সাধারণ 6 পার্শ্বযুক্ত ডাইস) এর সমস্ত সম্ভাব্যতা পাওয়া সম্ভব হবে এবং তারপরে তাদের প্রতিটিকে উপরের দিকে স্কু করুন। এটি নিষ্ঠুর বলের চেয়ে দ্রুত হবে কারণ সমস্ত ডাইস রাখার সময় আমার কাছে একটি দ্রুত সূত্র রয়েছে।

আমি কলেজে সমস্ত পাশা রাখার সূত্রটি প্রোগ্রাম করেছিলাম। আমি আমার পরিসংখ্যান অধ্যাপককে এটি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছি এবং তিনি এই পৃষ্ঠাটি পেয়েছিলেন , যা তিনি তখন আমাকে ব্যাখ্যা করেছিলেন। এই সূত্র এবং ব্রুট ফোর্সের মধ্যে একটি বড় পারফরম্যান্সের পার্থক্য রয়েছে: 50 ডি 6 20 সেকেন্ড সময় নিয়েছে তবে 40 সেকেন্ডের পরে 8d6 সর্বনিম্ন ক্র্যাশ পড়েছে (ক্রোম স্মৃতি থেকে বেরিয়ে যায়)।

এই সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ? যদি হ্যাঁ দয়া করে একটি প্রমাণ সরবরাহ করুন, যদি না দয়া করে এটি সমাধান করার জন্য একটি অ-জন্তু বাহিনী সূত্র সরবরাহ করুন।

নোট করুন যে আমি এনপি-কমপ্লিট সম্পর্কে খুব বেশি জানি না তাই আমি এনপি, এনপি-হার্ড, বা অন্য কোনও কিছুর কথা ভাবছি। এনপি-কমপ্লিটেন্সিটির প্রমাণটি আমার কাছে অকেজো যে আমি কেন এটির জন্য জিজ্ঞাসা করছি তা হল অনুমান করা থেকে বিরত রাখা। এবং দয়া করে আমার সাথে দেখা করুন কারণ আমি দীর্ঘদিন ধরে এটির জন্য কাজ করেছি: আমি পরিসংখ্যানও মনে রাখি না এবং এর সমাধান করার জন্য আমার প্রয়োজনও হতে পারে।

আদর্শভাবে আমি ওয়াই পক্ষগুলির সাথে এক্স সংখ্যক ডাইসের জন্য আরও জেনেরিক সূত্রটি সন্ধান করছি যখন তাদের মধ্যে এন বাদ পড়ে তবে আরও সহজ কিছু দিয়ে শুরু করছি।

সম্পাদনা:

আমি সূত্রটি আউটপুট ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতেও পছন্দ করব তবে এটি কেবল আউটপুট সম্ভাবনার পক্ষে গ্রহণযোগ্য।

আগ্রহীদের জন্য আমি আমার গিটহাবের জাভাস্ক্রিপ্টে হোয়াইটারের উত্তর প্রোগ্রাম করেছি (এই প্রতিশ্রুতিতে কেবল পরীক্ষাগুলি আসলে সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলি ব্যবহার করে)।

dice np

— SkySpiral7
সূত্র

এটা একটি মজার প্রশ্ন। আমি মনে করি এটি এখানে বিষয়বস্তু হওয়া উচিত। আপনার বিবেচনার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— গুং - মনিকা পুনরায়

যদিও সেটিংটি আকর্ষণীয়, আপনি এখনও একটি জবাবদিহি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেননি: এনপি-সম্পূর্ণতার ধারণাটি এক শ্রেণির সমস্যার উপর নির্ভর করে , আপনি কেবল একটি বর্ণনা করেছেন। ঠিক কীভাবে আপনি এটি সাধারণীকরণ করতে চান? যদিও আপনি ইঙ্গিত করেছেন যে পাশার সংখ্যা পৃথক হতে পারে, বিভিন্ন অতিরিক্ত বিকল্পগুলি সম্ভব এবং তারা বিভিন্ন উত্তর পেতে পারে: আপনি মুখের সংখ্যা, মুখের মান, পাশার সংখ্যা এবং বাদ পড়া পাশের সংখ্যা, সব পরিবর্তন করতে পারেন তাদের মধ্যে বিভিন্ন সম্পর্কের সাথে বিভিন্নভাবে।

— whuber

@ শুভু তিনি কোনও জটিলতার তত্ত্ব জানেন না তবে আমি মনে করি এটি স্পষ্ট যে তিনি পাশার সংখ্যা পরিবর্তন করে যে পরিবারের উত্থাপিত সমস্যার কথা জিজ্ঞাসা করছেন। আমি এটির জন্য আমার একটি দক্ষ অ্যালগরিদমও আছে বলে আমি মনে করি।

— অ্যান্ডি জোন্স 17

@ অ্যান্ডি আমি শেষে দেখতে পাচ্ছি তিনি "ওয়াই পক্ষের সাথে এক্স নম্বর ডাইসের জন্য আরও জেনেরিক সূত্রটি জিজ্ঞাসা করছেন যখন সেগুলির মধ্যে এন বাদ পড়েছে"।

— শুক্র

@ ভুবার হাহ! আমি তখন ভেবেছিলাম তেমন স্পষ্ট নয়। দুঃখিত আমার খারাপ.

— অ্যান্ডি জোন্স

উত্তর:

সমাধান

ফলাফলগুলিতে সমান সম্ভাবনা প্রদান করে প্রতিটি ডাইস আসুক । যাক মান ন্যূনতম হতে যখন সমস্ত পাশা স্বাধীনভাবে নিক্ষিপ্ত হয়। $n=4$ $1, 2, \ldots, d=6$ $K$ $n$

সব এর সমষ্টি বিতরণের কথা বিবেচনা উপর শর্তাধীন মান । যোগফল হতে দিন । সর্বনিম্ন ন্যূনতম , যে কোনও প্রদত্ত মান গঠনের উপায়গুলির সংখ্যার জন্য উত্পন্ন ফাংশন $n$ $K$ $X$ $X$ $k$

\begin{matrix} (1) & f_{(n, d, k)} (x) = x^{k} + x^{k + 1} + \dots + x^{d} = x^{k} \frac{1 - x^{d - k + 1}}{1 - x} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x) = x^k+x^{k+1} + \cdots + x^d = x^k\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}.\tag{1}$

যেহেতু পাশা স্বাধীন, তাই মান গঠনের বিভিন্ন সংখ্যার জন্য উত্পাদক ফাংশন যেখানে সমস্ত ডাইস বা তার বেশি মান দেখায় $X$ $n$ $k$

\begin{matrix} (2) & f_{(n, d, k)} (x)^{n} = x^{k n} {(\frac{1 - x^{d - k + 1}}{1 - x})}^{n} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x)^n = x^{kn}\left(\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}\right)^n.\tag{2}$

এই উৎপাদিত ফাংশন ঘটনা যেখানে জন্য শর্তাবলী অন্তর্ভুক্ত ছাড়িয়ে গেছে , তাই আমরা তাদের বিয়োগ করতে হবে। সুতরাং , প্রদত্ত মান গঠনের বিভিন্ন সংখ্যার জন্য জেনারেটিং ফাংশন $K$ $k$ $X$ $K=k$

\begin{matrix} (3) & f_{(n, d, k)} (x)^{n} - f_{(n, d, k + 1)} (x)^{n} . \end{matrix}

$f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n.\tag{3}$

উল্লেখ করে যে সর্বোচ্চ মানগুলির যোগফলটি হ'ল সমান, সর্বকনিষ্ঠতম মানগুলির যোগফল । উত্পন্ন ফাংশন তাই দ্বারা বিভক্ত করা প্রয়োজন । এটি পাশ্বের যে কোনও সংমিশ্রণের সাধারণ সুযোগকে গুণ করার পরে একটি সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনে পরিণত হয় : $n-1$ $X-K$ $k$ $(1/d)^n$

\begin{matrix} (4) & d^{- n} \sum_{k = 1}^{d} x^{- k} (f_{(n, d, k)} (x)^{n} - f_{(n, d, k + 1)} (x)^{n}) . \end{matrix}

$d^{-n}\sum_{k=1}^dx^{-k}\left(f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n\right).\tag{4}$

যেহেতু সমস্ত বহুপদী পণ্য এবং শক্তিগুলি ক্রিয়াকলাপে গণনা করা যায় (এগুলি সংশ্লেষ এবং তাই পৃথক পৃথক ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাহায্যে সম্পন্ন করা যায়), মোট গণনার প্রচেষ্টা হ'ল । বিশেষত, এটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম। $O(n\log n)$ $O(k\,n\log n)$

উদাহরণ

প্রশ্নে উদাহরণস্বরূপ এবং দিয়ে কাজ করা যাক । $n=4$ $d=6$

সূত্র এর PGF জন্য উপর শর্তাধীন দেয় $(1)$ $X$ $K\ge k$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x) & = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} \\ f_{(4, 6, 2)} (x) & = x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x) & = x^{5} + x^{6} \\ f_{(4, 6, 6)} (x) & = x^{6} \\ f_{(4, 6, 7)} (x) & = 0. \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x) &= x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ f_{(4,6,2)}(x) &= x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x) &= x^5+x^6 \\ f_{(4,6,6)}(x) &= x^6 \\ f_{(4,6,7)}(x) &= 0. }$

তাদের পালন সূত্র হিসেবে ক্ষমতা উৎপন্ন করে $n=4$ $(2)$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x)^{4} & = x^{4} + 4 x^{5} + 10 x^{6} + \dots + 4 x^{23} + x^{24} \\ f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} & = x^{8} + 4 x^{9} + 10 x^{10} + \dots + 4 x^{23} + x^{24} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x)^{4} & = x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4 x^{23} + x^{24} \\ f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} & = x^{24} \\ f_{(4, 6, 7)} (x)^{4} & = 0 \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10}+ \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} +x^{24}\\ f_{(4,6,6)}(x)^4 &= x^{24}\\ f_{(4,6,7)}(x)^4 &= 0 }$

সূত্রের তাদের ধারাবাহিক পার্থক্য হ'ল $(3)$

\begin{aligned} f_{(4, 6, 1)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} & = x^{4} + 4 x^{5} + 10 x^{6} + \dots + 12 x^{18} + 4 x^{19} \\ f_{(4, 6, 2)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 3)} (x)^{4} & = x^{8} + 4 x^{9} + 10 x^{10} + \dots + 4 x^{20} \\ \dots \\ f_{(4, 6, 5)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} & = x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4 x^{23} \\ f_{(4, 6, 6)} (x)^{4} - f_{(4, 6, 7)} (x)^{4} & = x^{24} . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 - f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 12 x^{18} + 4x^{19} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 - f_{(4,6,3)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10} + \cdots + 4 x^{20} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 - f_{(4,6,6)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} \\ f_{(4,6,6)}(x)^4 - f_{(4,6,7)}(x)^4 &= x^{24}. }$

সূত্রের ফলাফলের যোগফল হয় $(4)$

6^{- 4} (x^{3} + 4 x^{4} + 10 x^{5} + 21 x^{6} + 38 x^{7} + 62 x^{8} + 91 x^{9} + 122 x^{10} + 148 x^{11} + 167 x^{12} + 172 x^{13} + 160 x^{14} + 131 x^{15} + 94 x^{16} + 54 x^{17} + 21 x^{18}) .

$6^{-4}\left(x^3 + 4x^4 + 10x^5 + 21x^6 + 38x^7 + 62x^8 + 91x^9 + 122x^{10} + 148x^{11} + \\167x^{12} + 172x^{13} + 160x^{14} + 131x^{15} + 94x^{16} + 54x^{17} + 21x^{18}\right).$

উদাহরণস্বরূপ, শীর্ষে তিনটি পাশ্বের যোগফল হওয়ার সুযোগটি of এর সমান $14$ $x^{14}$

6^{- 4} \times 160 = 10 / 81 = 0.123 456 790 123 456 \dots .

$6^{-4}\times 160 = 10/81 = 0.123\,456\,790\,123\,456\,\ldots.$

এটি প্রশ্নের সাথে উদ্ধৃত সম্ভাব্যতার সাথে নিখুঁত চুক্তিতে রয়েছে।

যাইহোক, গড় (এই ফলাফল থেকে গণনা করা) এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি । $15869/1296 \approx 12.244598765\ldots$ $\sqrt{13\,612\,487/1\,679\,616}\approx 2.8468444$

পরিবর্তে ডাইসের জন্য অনুরূপ (অব্যবহিত) গণনাটি অর্ধেক সেকেন্ডেরও কম সময় নিয়েছিল, এই যুক্তিটি সমর্থন করে যে এটি গণনাগতভাবে দাবি করা অ্যালগরিদম নয়। এখানে বিতরণের মূল অংশটির একটি প্লট রয়েছে: $n=400$ $n=4$

যেহেতু ন্যূনতম সর্বোচ্চ সমান হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে এবং সাধারণ বিতরণ (যার অর্থ এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির পরিমাণ প্রায় ) খুব কাছাকাছি , অবশ্যই এবং মান খুব কাছাকাছি হতে হবে কাছাকাছি । এটি সুন্দরভাবে প্লটটি বর্ণনা করে, সম্ভবত এটি সঠিক। প্রকৃতপক্ষে, সঠিক গণনাটি চেয়ে প্রায় 1. এর চেয়ে বেশি এবং around এর চেয়ে কম প্রায় কম গড় দেয় $K$ $1$ $X$ $(400\times 7/2, 400\times 35/12)$ $1400$ $34.1565$ $1400-1=1399$ $34.16$ $2.13\times 10^{-32}$ $1399$ $1.24\times 10^{-31}$ $\sqrt{400\times 35/12}$ ।

— whuber
সূত্র

আপনার উত্তর দ্রুত এবং সঠিক তাই আমি এটিকে উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করেছি। এছাড়াও একটি সম্পাদনায় আমি বলেছিলাম যদি সম্ভব হয় তবে ফ্রিকোয়েন্সি থাকলে ভাল লাগবে। তার জন্য আপনাকে নিজের উত্তর সম্পাদনা করতে হবে না কারণ আমি দেখতে পাচ্ছি যে 6^-4গুণকটি ফ্রিকোয়েন্সি থেকে সম্ভাব্যতায় রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়।

— SkySpiral7

সম্পাদনা: @ স্কাইস্পিরাল নীচের সূত্রটি কাজ করতে সমস্যা হয়েছে had সমস্যাটি কী তা নিয়ে কাজ করার জন্য আমার কাছে এখন সময় নেই, সুতরাং আপনি যদি এটি পড়েন তবে অনুমানের অধীনে এগিয়ে যাওয়া ভাল।

বিভিন্ন ধরণের ডাইস, পার্শ্ব এবং ড্রপ নিয়ে সাধারণ সমস্যা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই, তবে আমি মনে করি যে ড্রপ -১ কেসের জন্য আমি একটি কার্যকর অ্যালগরিদম দেখতে পাচ্ছি। যোগ্যতাটি হ'ল আমি নিশ্চিত যে এটি সঠিক completely তবে এখনই আমি কোনও ত্রুটি দেখতে পাচ্ছি না।

আসুন কোনও পাশা না ফেলে শুরু করুন। ধরুন প্রতিনিধিত্ব করে ম মারা যায়, এবং অনুমান করা এর সমষ্টি প্রতিনিধিত্ব করে পাশা। তারপর $X_n$ $n$ $Y_n$ $n$

p (Y_{n} = a) = \sum_{k} p (Y_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k)

$p(Y_n = a) = \sum_k p(Y_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$

এখন ধরুন হ'ল একটি ডাইস বাদ দিলে ডাইসের যোগফল । তারপর $Z_n$ $n$

p (Z_{n} = a) = p (n th die is the smallest) p (Y_{n - 1} = a) + p (n th die is not the smallest) \sum_{k} p (Z_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k)

$p(Z_n = a) = p(\text{$n$th die is the smallest})p(Y_{n-1} = a) + \\ p(\text{$n$th die is not the smallest})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$

যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি তবে সর্বনিম্ন ডাইস বিতরণ হবে $M_n$ $n$

p (Z_{n} = a) = p (X_{n} \leq M_{n - 1}) p (Y_{n - 1} = a | X_{n} \leq M_{n - 1}) + p (X_{n} > M_{n - 1}) \sum_{k} p (Z_{n - 1} = a - k) p (X_{n} = k | X_{n} > M_{n - 1})

$p(Z_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(Y_{n-1} = a | X_n \leq M_{n-1}) + \\ p(X_n > M_{n-1})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k | X_n > M_{n-1})$

এবং আমরা ব্যবহার করে গণনা করতে পারি $M_n$

p (M_{n} = a) = p (X_{n} \leq M_{n - 1}) p (X_{n} = a | X_{n} \leq M_{n - 1}) + p (X_{n} > M_{n - 1}) p (M_{n - 1} = a | X_{n} > M_{n - 1})

$p(M_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(X_n = a |X_n \leq M_{n-1}) + p(X_n > M_{n-1})p(M_{n-1} = a|X_n > M_{n-1})$

যাইহোক, এই সমস্ত একসাথে এবং উপর ভিত্তি করে একটি গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের পরামর্শ দেয় । চতুর্ভুজ হওয়া উচিত । $Y_n, Z_n$ $M_n$ $n$

সম্পাদনা: কীভাবে গণনা করতে হবে তার উপর একটি মন্তব্য উত্থাপিত হয়েছে । যেহেতু প্রত্যেকে কেবল ছয়টি মানের একটি গ্রহণ করতে পারে, তাই আমরা কেবল সমস্ত সম্ভাবনার সমষ্টি করতে পারি: $p(X_n \leq M_{n-1})$ $X_n, M_{n-1}$

p (X_{n} \leq M_{n - 1}) = \sum_{a, b} p (X_{n} = a, M_{n - 1} = b, a \leq b)

$p(X_n \leq M_{n-1}) = \sum_{a,b} p(X_n = a, M_{n-1} = b, a \leq b)$

একইভাবে, বায়েসের প্রয়োগের দ্বারা গণনা করা যায় তাহলে সম্ভাব্য মান উপর summing পরিচালনা । $p(X_n = k | X_n > M_{n-1})$ $X_n, M_{n-1}$

— অ্যান্ডি জোন্স
সূত্র

+1 এটি সঠিক দেখাচ্ছে এবং আপনি বলেছেন যে এটি চতুর্ভুজ। তবে আমি পরিসংখ্যান নেওয়ার কয়েক বছর হয়ে গেছে (আমি মূলত একজন প্রোগ্রামার)। সুতরাং আমি উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করার আগে এটি পুরোপুরি বুঝতে চাই। এছাড়াও আমি দেখতে পাচ্ছি যে আপনার পি আছে (নবমতমতম ডাইটি হ'ল) যদি নবমটি সবচেয়ে ক্ষুদ্রের সাথে আবদ্ধ থাকে তবে এর মধ্যে কি এটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে? যেমন সমস্ত 3 এস ঘূর্ণায়মান।

— SkySpiral7

ভালো বল ধরা. যদি ম ডাই রোলড বর্তমানের সর্বনিম্নের মতো হয় তবে আমরা সেই মরাকে বাদ দেওয়া হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। যা যদি বন্টন হয় । এটি প্রতিফলিত করার জন্য আমি কিছু গুলি এর জন্য সরিয়ে নিয়েছি ।

n

$n$

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

(<)

$(<)$

(\leq)

$(\leq)$

— অ্যান্ডি জোন্স

ধন্যবাদ. যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আমি মনে করি যে আপনার সূত্রগুলি উত্তর। তবে আমি কীভাবে পি (এক্স (এন)> এম (এন -1)) (বা এর অবহেলা) বা পি (এক্স (এন) = কে | এক্স (এন)> এম (এন -1) গণনা করব তা জানি না )) তাই আমি এই উত্তরটি এখনও ব্যবহার করতে পারি না। আমি এটিকে উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করব তবে আমি আরও তথ্য চাই। এগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য আপনি কি নিজের উত্তরটি সম্পাদনা করতে পারেন বা অন্য প্রশ্ন হিসাবে এটি পোস্ট করা উচিত?

— SkySpiral7

আমার উত্তর সম্পাদনা।

— অ্যান্ডি জোন্স

দুঃখিত, আমি জানি যে এটি দেড় বছর হয়েছে তবে অবশেষে কোডটিতে এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে পেরেছি। তবে পি (জেড (এন) = ক) সূত্রটি ভুল বলে মনে হচ্ছে। ধরুন 2 পাশ দিয়ে 2 পাশা (সর্বনিম্ন ড্রপ), ফলাফল 1 হওয়ার সম্ভাবনা কত? এক্স (এন) সবচেয়ে ছোট বা বাঁধা থাকার সম্ভাবনা 3/4 এবং পি (ওয়াই (এন-1) = 1) 1/2 হয় যাতে জেড (এন) কমপক্ষে 3/8 ফেরত দেয় যদিও সঠিক উত্তরটি রয়েছে 1/4। জেড সূত্রটি আমার কাছে সঠিক দেখাচ্ছে এবং আমি কীভাবে এটি ঠিক করব জানি না। তাই যদি এটি জিজ্ঞাসা করা খুব বেশি না হয়: আপনি কি মনে করেন?

— SkySpiral7

আমার এটির জন্য যুক্তিসঙ্গতভাবে দক্ষ অ্যালগরিদম আছে যা পরীক্ষার সময় খাঁটি উদ্দীপনা বলার ফলাফলগুলির সাথে মেলে বলে মনে হয় যখন সমস্ত সম্ভাবনা গণনার উপর কম ভারী নির্ভর করে। এটি আসলে 4 ডি 6 এর উপরের সমস্যার তুলনায় আরও সাধারণীকরণ, 1 ড্রপ।

প্রথমে কিছু স্বরলিপি: ইঙ্গিত দেয় যে আপনি মুখগুলির সাথে ডাইস (পূর্ণসংখ্যার মান থেকে ), এবং কেবলমাত্র সর্বোচ্চ ডাইস ঘূর্ণিত বিবেচনা করছেন। আউটপুটটি পাশা মানগুলির ক্রম, উদাহরণস্বরূপ আপনি রোল করলে ফলন করে। (নোট করুন যে আমি এটিকে একটি "ক্রম" বলছি তবে অর্ডারটি এখানে গুরুত্বপূর্ণ নয়, বিশেষত যেহেতু শেষ পর্যন্ত আমরা যা যত্ন করি সেগুলি ক্রমের যোগফল)) $X_NdY$ $X$ $Y$ $1$ $Y$ $N$ $4_3d6$ $3, 4, 5$ $1, 3, 4, 5$

সম্ভাব্যতা (বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, ) হ'ল মূল সমস্যার একটি সরল সংস্করণ, যেখানে আমরা কেবল ডাইসের একটি নির্দিষ্ট সেট বিবেচনা করছি, এবং সমস্ত সম্ভাব্য সেট যা একটি পর্যন্ত যুক্ত হয় না প্রদত্ত যোগ $P(X_NdY = S)$ $P(4_3d6 = S)$

ধরুন হয়েছে স্বতন্ত্র মূল্যবোধ, , যেমন যে , এবং প্রতিটি একটি গণনা হয়েছে । উদাহরণস্বরূপ, যদি , তবে , , এবং । $S$ $k$ $s_0, s_1, ..., s_k$ $s_i > s_{i+1}$ $s_i$ $c_i$ $S = 3, 4, 4, 5$ $(s_0,c_0) = (5,1)$ $(s_1,c_1) = (4,2)$ $(s_2,c_2) = (3,1)$

আপনি নিম্নলিখিত উপায়ে গণনা করতে পারেন : $P(X_NdY = S)$

P (X_{N} d Y = S) = \frac{(\prod_{i = 0}^{k - 1} (\binom{X - \sum_{h = 0}^{i - 1} c_{h}}{c_{i}})) (\sum_{j = 0}^{X - N} (\binom{c_{k} + X - N}{c_{k} + X - N - j}) (s_{k} - 1)^{j})}{Y^{X}}

$P(X_NdY = S) = \frac{ \left( \prod_{i=0}^{k-1} {X - \sum_{h=0}^{i-1} c_h \choose c_i} \right) \left( \sum_{j=0}^{X-N} { c_k+X-N \choose c_k+X-N-j} (s_k-1)^j \right)}{ Y^X }$

এটা আমি খুব অগোছালো, জানি।

প্রোডাক্ট এক্সপ্রেশন মধ্যে সর্বনিম্ন মানের ব্যতীত সমস্তগুলির মধ্যে পুনরাবৃত্তি করছে এবং সেই মানগুলি পাশের মধ্যে বিতরণ করা যেতে পারে সেই সমস্ত উপায় গণনা করছে। জন্য , যে শুধু , কিন্তু জন্য , আমরা সরাতে পাশা ইতিমধ্যে জন্য খারিজ সেট করা হয়েছে , এবং অনুরূপভাবে আপনি সরাতে হবে । $\prod_{i=0}^{k-1}$ $S$ $s_0$ $X \choose c_i$ $s_1$ $c_0$ $s_0$ $s_i$ $\sum_{h=0}^{i-1}c_h$

সমষ্টি প্রকাশ dropped সমস্ত সম্ভাবনার মধ্য দিয়ে পুনরাবৃত্তি করছে যে বাদ সমান ছিল , যেহেতু এটি সাথে অ-বাদ সম্ভাব্য সংমিশ্রণগুলিকে তাদের মান হিসাবে প্রভাবিত করে । $\sum_{j=0}^{X-N}$ $s_k$ $s_k$

উদাহরণস্বরূপ, আসুন : $P[4_3d6=(5,4,4)]$

(s_{1}, c_{1}) = (5, 1)

$(s_1, c_1) = (5, 1)$

(s_{2}, c_{2}) = (4, 2)

$(s_2, c_2) = (4, 2)$

সুতরাং উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে:

P [4_{3} d 6 = (5, 4, 4)] = \frac{(\binom{4}{1}) ((\binom{3}{3}) \cdot 3^{0} + (\binom{3}{2}) \cdot 3^{1})}{6^{4}} = \frac{5}{162} = 0.0 \bar{308641975}

$P[4_3d6=(5,4,4)] \\ = \frac{ {4 \choose 1} \left( {3 \choose 3} \cdot 3^0 + {3 \choose 2} \cdot 3^1 \right) }{ 6^4 } \\ = \frac{5}{162} = 0.0\overline{308641975}$

সূত্রটি ডোমেন ইস্যুতে বিভাজক হয়ে যায় যখন এবং হয়, যার ফলে প্রথম ধরণের term , যা অনির্দিষ্ট এবং এটি হিসাবে বিবেচনা করা দরকার । এই জাতীয় ক্ষেত্রে, একটি সঙ্কলন আসলে মোটেই প্রয়োজন হয় না, এবং এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে, যেহেতু সমস্ত বাদ পড়ে যাওয়া মান থাকবে । $s_k=1$ $j=0$ $0^0$ $1$ $s_k = 1$

এখন এখানেই আমাকে কিছু নিষ্ঠুর বলের উপর নির্ভর করতে হবে। মূল সমস্যাটি ছিল কিছুটা মূল্য হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করা, এবং বাদ দেওয়ার পরে পৃথক উপস্থাপন করে। এর অর্থ আপনার সম্ভাব্য সমস্ত সিকোয়েন্স ( ক্রমান্বয়ে উপেক্ষা করা) এর যোগফল অবশ্যই যুক্ত করতে হবে যার সমষ্টিটি দেওয়া মান। সম্ভবত সমস্ত মানগুলি একবারে এটি গণনা করার জন্য একটি সূত্র রয়েছে তবে আমি এখনও এটি প্রচারের চেষ্টা করি নি। $X_NdY$ $S$ $S$

আমি প্রথমে পাইথনে এটি প্রয়োগ করেছি এবং উপরেরটি এটি গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার চেষ্টা। আমার পাইথন অ্যালগরিদম সঠিক এবং যুক্তিসঙ্গতভাবে দক্ষ। কিছু অপ্টিমাইজেশন রয়েছে যা distribution এর সম্পূর্ণ বিতরণ গণনার ক্ষেত্রে তৈরি করা যেতে পারে এবং সম্ভবত আমি পরে এটি করব। $\sum X_NdY$

— রিলে জন গিবস
সূত্র

প্রোগ্রামার হিসাবে আপনার পাইথন কোডটি বোঝা আমার পক্ষে সহজ হতে পারে (যদিও আমি পাইথনটি কখনও ব্যবহার করি নি তাই এটি একইরকম হতে পারে)। এখানে কোড পোস্ট করা

— বিষয়বস্তু না থাকলেও আপনি গিথুব

আপনার উত্তর সঠিক হতে পারে এবং তা থেকে জটিলতা কমাতে বলে মনে হয় O(Y^X)করতে O((Y+X-1)!/(X!*(Y-1)!))কিন্তু এটি এখনও এর whuber এর উত্তর হিসাবে হিসাবে দক্ষ নয় O(c*X*log(X))। আপনার উত্তরটির জন্য ধন্যবাদ যদিও +1।

— SkySpiral7