২ য়-অর্ডার টেলর সিরিজটি ব্যবহার করে ত্রুটির প্রচার

আমি জন রাইসের "গাণিতিক পরিসংখ্যান এবং ডেটা বিশ্লেষণ" একটি পাঠ্য পড়ছি। আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য আনুমানিক সঙ্গে উদ্বিগ্ন $Y$ । আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য গণনা করতে সক্ষম $X$ এবং আমরা সম্পর্ক জানি $Y = g(X)$ । সুতরাং, এর প্রত্যাশিত মান এবং তারতম্য আনুমানিক করা সম্ভব $Y$ এর টেলর সিরিজের সম্প্রসারণটি ব্যবহার করে $g$ সম্পর্কিত $\mu_X$ ।

পৃষ্ঠা 162, তিনি 3 সমীকরণ তালিকাভুক্ত।

এর প্রত্যাশিত মান $Y$ 1 ম-অর্ডার টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে। এটাই: $\mu_Y \approx g(\mu_X)$ । এটি আমার প্রশ্নের পরে উল্লেখ করা হয় $E(Y_1)$ ।
এর বৈকল্পিকতা $Y$ 1 ম-অর্ডার টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে। এটাই: $\sigma_Y^2 \approx \sigma_X^2 (g'(\mu_X))^2$ । এটি আমার প্রশ্নের পরে উল্লেখ করা হয় $Var(Y_1)$ ।
এর প্রত্যাশিত মান $Y$ ২ য়-অর্ডার টেলর সিরিজের সম্প্রসারণ ব্যবহার করে। এটাই $\mu_Y \approx g(\mu_X) + \frac12 \sigma_X^2 g''(\mu_X)$ । এটি আমার প্রশ্নের পরে হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে । $E(Y_2)$

নোট করুন যে জন্য দুটি পৃথক এক্সপ্রেশন রয়েছে কারণ আমরা টেলর সিরিজের সম্প্রসারণে দুটি পৃথক আদেশ ব্যবহার করছি। 1 এবং 2 সমীকরণগুলি । সমীকরণ 3 । $Y$ $Y_1 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X)$ $Y_2 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X) + \frac12 (X-\mu_X)^2 g''(\mu_X)$

দ্রষ্টব্য যে বিশেষত এর সমীকরণটি দেওয়া হয়নি। পরবর্তীকালে, লেখক মনে করেন যে (সমীকরণ 2) এর বৈকল্পিকতার জন্য সমীকরণটি ব্যবহার করবেন , যখন বাস্তবে তিনি (সমীকরণ 3) এর প্রত্যাশিত মানটিকে উল্লেখ করছেন । এটি বোঝায় বলে মনে হচ্ছে । $Var(Y_2)$ $Y_1$ $Y_2$ $Var(Y_2) = Var(Y_1)$

আমি হাতে দিয়ে গণনা করার চেষ্টা করেছি এবং আমি কিছুটা জটিল ভাব প্রকাশ করছি। এখানে আমার কাজ (আমি থামলাম কারণ শেষের দিকে আমি প্রত্যাশায় পদ পাচ্ছি ): $Var(Y_2)$ $X^3$

\begin{aligned} V a r (Y_{2}) & = E [(g (μ_{X}) + (X - μ_{X}) a + \frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} b - g (μ_{X}) - \frac{1}{2} σ_{X}^{2} b)^{2}] \\ = E [((X - μ_{X}) a + {(\frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [(c a + {(\frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [c^{2} a^{2} + c a (c^{2} - σ_{X}^{2}) b + \frac{1}{4} (c^{2} - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \\ = E [(X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) a^{2} + (X - μ_{X}) a ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2}) b \\ + \frac{1}{4} ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(Y_2) &= E[( g(\mu_X) + (X-\mu_X)a + \frac12 (X-\mu_X)^2 b - g(\mu_X) - \frac12 \sigma_X^2 b )^2] \\ &= E\left[((X-\mu_X)a + \left(\frac12 (X-\mu_X)^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ &= E\left[(ca + \left(\frac12 c^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ & = E[c^2 a^2 + ca(c^2 - \sigma_X^2)b + \frac14(c^2-\sigma_X^2)^2 b^2] \\ & = E[(X^2 - 2X \mu_X + \mu_X^2)a^2 + (X-\mu_X)a((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2) - \sigma_X^2)b \\ & + \frac14((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2)-\sigma_X^2)^2 b^2] \end{aligned}$

উল্লেখ্য যে উপরের সমীকরণগুলিতে, , , এবং । কি ? $a = g'(\mu_X)$ $b = g''(\mu_X)$ $c = X-\mu_X$ $Var(Y_2)$

ধন্যবাদ।

self-study mathematical-statistics error

— jrand
সূত্র

আপনি এ কেন ? যেহেতু দ্বিতীয়-ক্রমের আনুমানিকটি চতুর্ভুজ ফাংশন , এর প্রকরণটি সাধারণত মুহূর্তগুলিকে পর্যন্ত জড়িত করে । তৃতীয় মুহূর্তটি শূন্য হতে পারে তবে চতুর্থ মুহূর্তটি অবশ্যই প্রদর্শিত হবে এবং কোনও কিছুতেই বাতিল হবে না।

X^{3}

$X^3$

X

$X$

X

$X$

2 \cdot 2 = 4

$2 \cdot 2 = 4$

— হোবার

ধরে নেওয়া যাক , আমরা আনুমানিক ভ্যারিয়েন্স আহরণ করতে দ্বিতীয়-অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার সম্পর্কে নিম্নরূপ: $Y=g(X)$ $Y$ $g(X)$ $\mu_X=\mathbf{E}[X]$

\begin{array}{rcl} V একটি R [ওয়াই] & = & ভী একটি R [ছ (এক্স)] \\ \approx & ভী একটি R [ছ (μ_{এক্স}) + + ছ^{'} (μ_{এক্স}) (এক্স - μ_{এক্স}) + + \frac{1}{2} ছ^{"} (μ_{এক্স}) (এক্স - μ_{এক্স})^{2}] \\ = & (ছ^{'} (μ_{এক্স}))^{2} σ_{এক্স}^{2} + + \frac{1}{4} (ছ^{"} (μ_{এক্স}))^{2} ভী একটি R [(এক্স - μ_{এক্স})^{2}] \\ + + ছ^{'} (μ_{এক্স}) ছ^{"} (μ_{এক্স}) সি ণ বনাম [এক্স - μ_{এক্স}, (এক্স - μ_{এক্স})^{2}] \\ = & (ছ^{'} (μ_{এক্স}))^{2} σ_{এক্স}^{2} + + \frac{1}{4} (ছ^{"} (μ_{এক্স}))^{2} ই [(এক্স - μ_{এক্স})^{4} - σ_{এক্স}^{4}] \\ + + ছ^{'} (μ_{এক্স}) ছ^{"} (μ_{এক্স}) (ই ({এক্স}^{3}) - 3 μ_{এক্স} (σ_{এক্স}^{2} + + μ_{এক্স}^{2}) + + 2 μ_{এক্স}^{3}) \\ = & (ছ^{'} (μ_{এক্স}))^{2} σ_{এক্স}^{2} \\ + + \frac{1}{4} (ছ^{"} (μ_{এক্স}))^{2} (ই [{এক্স}^{4}] - 4 μ_{এক্স} ই [{এক্স}^{3}] + + 6 μ_{এক্স}^{2} (σ_{এক্স}^{2} + + μ_{এক্স}^{2}) - 3 μ_{এক্স}^{4} - σ_{এক্স}^{4}) \\ + + ছ^{'} (μ_{এক্স}) ছ^{"} (μ_{এক্স}) (ই ({এক্স}^{3}) - 3 μ_{এক্স} (σ_{এক্স}^{2} + + μ_{এক্স}^{2}) + + 2 μ_{এক্স}^{3}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Var}[Y] &=& \mathbf{Var}[g(X)]\\ &\approx& \mathbf{Var}[g(\mu_X)+g'(\mu_X)(X-\mu_X)+\frac{1}{2}g''(\mu_X)(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{Var}[(X-\mu_X)^2]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mathbf{Cov}[X-\mu_X,(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{E}[(X-\mu_X)^4-\sigma_{X}^{4}]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}\\ & & +\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\left(\mathbf{E}[X^4]-4\mu_X\mathbf{E}[X^3]+6\mu_{X}^{2}(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})-3\mu_{X}^{4}-\sigma_{X}^{4}\right)\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ \end{eqnarray*}$

@ শুভর মন্তব্যগুলিতে যেমন উল্লেখ করেছেন, তৃতীয় এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহূর্তগুলি ব্যবহার করে এটি কিছুটা পরিষ্কার করা যায় । কেন্দ্রীয় মুহুর্তটিকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । লক্ষ্য করুন যে । এই নতুন স্বরলিপিটি ব্যবহার করে, আমাদের কাছে $X$ $\mu_k=\mathbf{E}[(X-\mu_X)^k]$ $\sigma_{X}^{2}=\mu_2$

ভী একটি R [ওয়াই] \approx (ছ^{'} (μ_{এক্স}))^{2} σ_{এক্স}^{2} + + ছ^{'} (μ_{এক্স}) ছ^{"} (μ_{এক্স}) μ_{3} + + \frac{1}{4} (ছ^{"} (μ_{এক্স}))^{2} (μ_{4} - σ_{এক্স}^{4})

$\mathbf{Var}[Y]\approx(g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mu_3+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2(\mu_4-\sigma_{X}^{4})$

— assumednormal
সূত্র

এটি সঠিক পন্থা, তবে আপনি কী এবং মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে ভুলবেন না ?

X - μ_{X}

$X-\mu_X$

(X - μ_{X})^{2}

$(X-\mu_X)^2$

— হোবার

@ শুভ হ্যাঁ আমি করেছি। যে ইশারা জন্য ধন্যবাদ। আমি শীঘ্রই এটি সম্পাদনা করব।

— অনুমানগতভাবে

দ্বিতীয়, তৃতীয়, এবং চতুর্থ পরিপ্রেক্ষিতে উত্তর লিখে নিজেকে কিছু কষ্ট রক্ষা করতে পারে কেন্দ্রীয় মুহূর্ত, , , এবং । আপনার ।

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{3}

$\mu_3$

μ_{4}

$\mu_4$

σ^{2} g^{'} (μ)^{2} + μ_{3} g^{'} (μ) g^{″} (μ) + \frac{1}{4} (μ_{4} - σ^{4}) g^{″} (μ)^{2}

$\sigma^2 g'(\mu )^2 + \mu_3 g'(\mu ) g''(\mu )+\frac{1}{4} \left(\mu_4-\sigma ^4\right) g''(\mu )^2$

— হোবার

@ জ্রান্ড - আমার ক্ষমা আমি বুঝতে পারি নি যে এটি আপনার মূল পোস্টে আছে। যদিও আমি আমার পোস্টটি মুছে ফেলছি না, কারণ এটি টাইপসেটে কিছুটা সময় নিয়েছিল।

— অনুমানগতভাবে

@ ম্যাক্স, হুঁশিয়ারি: উত্তর এবং ব্যাখ্যার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— জুলান