ম্যাট্রিক্স একটি পিসিএ (অথবা SVD) পড়তা দেওয়া সঙ্গে একটি ম্যাট্রিক্স , আমরা জানি যে শ্রেষ্ঠ কম-সারির পড়তা হয় ।এক্সএক্স এক্স
এই অনুযায়ী হয় প্ররোচক আদর্শ ∥ ⋅ ∥ এফ (অর্থাত বৃহত্তম eigenvalue আদর্শ) অথবা অনুযায়ী Frobenius করার আদর্শ?
ম্যাট্রিক্স একটি পিসিএ (অথবা SVD) পড়তা দেওয়া সঙ্গে একটি ম্যাট্রিক্স , আমরা জানি যে শ্রেষ্ঠ কম-সারির পড়তা হয় ।এক্সএক্স এক্স
এই অনুযায়ী হয় প্ররোচক আদর্শ ∥ ⋅ ∥ এফ (অর্থাত বৃহত্তম eigenvalue আদর্শ) অথবা অনুযায়ী Frobenius করার আদর্শ?
উত্তর:
আসুন নিয়ম সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা যাক। ম্যাট্রিক্স জন্য অপারেটর নরমকে
ডেটা যখন কেন্দ্রিক হয় তখন পিসিএ একই একবাক্য মান পচন দ্বারা দেওয়া হয়। প্রধান উপাদান, প্রধান অক্ষ, সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স অর্থাত eigenvectors, এবং পুনর্গঠন হয় শুধুমাত্র সঙ্গে প্রধান উপাদান সংশ্লিষ্ট বৃহত্তম একবচন মান দেওয়া হয় ।
Eckart-ইয়াং উপপাদ্য বলছেন যে ম্যাট্রিক্স পুনর্গঠন ত্রুটির আদর্শ কমানোর হয়সকল ম্যাট্রিকের মধ্যে পদমর্যাদার । এটি ফ্রোবিনিয়াস আদর্শ এবং অপারেটর সাধারণ উভয়ের জন্যই সত্য । মন্তব্যগুলিতে @ কার্ডিনাল দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে, এটি প্রথম ১৯০7 সালে ফ্রোবিনিয়াস মামলার জন্য শ্মিড্ট (গ্রাম-শ্মিট খ্যাতির) দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। এটি পরে একার্ট এবং ইয়ং 1936 সালে নতুন আবিষ্কার করেছিলেন এবং এখন বেশিরভাগই তাদের নামের সাথে যুক্ত। মিরস্কি ১৯৫৮ সালে তাত্ত্বিককে সাধারণভাবে রূপান্তরিত করেছিলেন যে সমস্ত নিয়মাবলী একক রূপান্তরকরণের অধীনে আক্রমণাত্মক এবং এতে অপারেটর 2-আদর্শও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। ‖ এক্স - এ ‖কে 2
এই উপপাদ্যটিকে কখনও কখনও এককার্ট-ইয়ং-মিরস্কি উপপাদ্য বলা হয়। স্টুয়ার্ট (1993) এটিকে শ্মিডিট আনুমানিক উপপাদ্য বলে। এমনকি আমি এটিকে শ্মিট-এককার্ট-ইয়ং-মিরস্কি উপপাদ্য বলেও দেখেছি।
পুরো র্যাঙ্কের হতে দিন । যেহেতু র্যাঙ্ক , এর নাল স্পেসে মাত্রা রয়েছে। সবচেয়ে বড় একবাক্য মানের সাথে এর ডান একক ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত স্থানটির মাত্রা রয়েছে। সুতরাং এই দুটি স্পেস অবশ্যই ছেদ করা উচিত। যাক ছেদ থেকে একটি একক ভেক্টর হও। তারপরে আমরা পাই: কিউইডি।এন এ ট এন - ট ট + + 1 এক্স ট + + 1 W ‖ এক্স - একটি ‖ 2 2 ≥ ‖ ( এক্স - একজন ) W ‖ 2 2 = ‖ এক্স W ‖ 2 2 = ট + + 1 Σ আমি = 1 গুলি 2 i ( v ⊤ i w ) 2 ≥ s 2
আমরা র্যাঙ্ক এর ম্যাট্রিক্স করতে চাই যা । আমরা উত্পাদক করতে , যেখানে হয়েছে orthonormal কলাম। স্থির জন্য কমানো সমাধান সাথে একটি রিগ্রেশন সমস্যা । এটি ইন করে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এখন আমাদের যেখানে হ'ল এর কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স , অর্থাৎট ‖ এক্স - একটি ‖ 2 এফ একজন = বি ডব্লিউ ⊤ ডব্লিউ ট ‖ এক্স - বি ডব্লিউ ⊤ ‖ 2 ওয়াট বি = এক্স ওয়াট ‖ এক্স - এক্স ওয়াট ডব্লিউ ⊤ ‖ 2 = ‖ এক্স ‖ 2 - ‖ এক্স ওয়াট ডব্লিউ ⊤ ‖ 2 = সি ও এন এস টি - টি আর (Σ এক্স Σ = এক্স ⊤ এক্স / ( এন - 1 ) ডব্লিউ ট
এটি সুপরিচিত যে এগুলি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের প্রথম ইগেনভেেক্টর। আসলে, যদি তবে । । লিখিত রয়েছে যার অরথনোরাল কলাম রয়েছে, আমরা পেয়েছি সর্বাধিক অর্জনের সাথে । এর পরে উপপাদ্য অবিলম্বে অনুসরণ করে।
নিম্নলিখিত তিনটি সম্পর্কিত থ্রেড দেখুন:
এই প্রমাণটি আমি অনলাইনে কোথাও খুঁজে পেয়েছি তবে এটি ভুল (একটি ফাঁক রয়েছে), হিসাবে মন্তব্যগুলিতে @ কার্ডিনাল দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।
ফ্রোবেনিয়াস রীতিটি একক রূপান্তরগুলির অধীনে আক্রমণাত্মক, কারণ তারা একক মানগুলি পরিবর্তন করে না। সুতরাং আমরা পাই: যেখানে । অবিরত: এর সমস্ত অফ-তির্যক উপাদানগুলি শূন্য হয় এবং সমস্ত তির্যক পদগুলি বৃহত্তম একক মানগুলিকে বাতিল করে [ফাঁক এখানে: এটি সুস্পষ্ট নয়] , অর্থাৎ এবং অতএব ।