মারকভ চেইন ভিত্তিক স্যাম্পলিং মন্টি কার্লো নমুনার জন্য "সেরা"? বিকল্প স্কিম আছে কি?

Question

মার্কভ চেইন মন্টি কার্লো মার্কভ চেইনের উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি যা আমাদেরকে এমন একটি মানক বিতরণ থেকে নমুনা (মন্টে কার্লো সেটিংয়ে) পেতে দেয় যা থেকে আমরা সরাসরি নমুনা আঁকতে পারি না।

আমার প্রশ্ন মন্টি কার্লো স্যাম্পলিংয়ের জন্য কেন মার্কভ চেইনটি "অত্যাধুনিক"। বিকল্প প্রশ্ন হতে পারে, মার্কোভ চেইনের মতো অন্য কোনও উপায় আছে যা মন্টি কার্লো স্যাম্পলিংয়ের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে? আমি জানি (সাহিত্যের দিকে তাকানো থেকে অন্তত) যে এমসিসিএমের গভীর তাত্ত্বিক শিকড় রয়েছে (যেমন (ক) পর্যায়, একজাতীয়তা এবং বিশদ ভারসাম্য) এর শর্তাবলী) তবে অবাক করে বলছি মন্টির জন্য কোনও "তুলনীয়" সম্ভাব্য মডেল / পদ্ধতি আছে কিনা? মার্কো চেইনের অনুরূপ কার্লো নমুনা।

যদি আমি প্রশ্নের কিছু অংশ (অথবা এটি পুরোপুরি বিভ্রান্ত বলে মনে হয়) তবে আমাকে গাইড করুন।

Answer 1

এমসিএমসি স্যাম্পলিং হ'ল "সেরা" মন্টি কার্লো পদ্ধতিটি বলার কোনও কারণ নেই! সাধারণত, এটা বিপরীত হয় আরো খারাপ IID স্যাম্পলিং চেয়ে অন্তত ফলে মন্টে কার্লো estimators ভ্যারিয়েন্স নিরিখে

$$\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T h(X_t)$$ প্রকৃতপক্ষে, যখন এই গড়টি প্রত্যাশায় রূপান্তরিত করে $\mathbb{E}_{\pi}[h(X)]$ কখন $\pi$ মার্কভ চেইনের স্থিতিশীল এবং সীমিত বিতরণ $(X_t)_t$, এমসিসিএম পদ্ধতি ব্যবহারে কমপক্ষে দুটি ত্রুটি রয়েছে:

1. শৃঙ্খলার "স্টেশারারিটিতে পৌঁছানো" দরকার, যার অর্থ এটির প্রারম্ভিক মানটি ভুলে যাওয়া দরকার $X_0$। অন্য কথায়,$t$ অবশ্যই "যথেষ্ট বড়" হওয়া উচিত $X_t$ থেকে বিতরণ করা $\pi$। কখনও কখনও "যথেষ্ট পরিমাণে বড়" পরীক্ষার জন্য কম্পিউটিং বাজেটের আকারের কয়েকটি আদেশ দ্বারা অতিক্রম করতে পারে।
2. মান $X_t$ পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হয়, এতে জড়িত একটি অ্যাসিপটোটিক বৈকল্পিকের দিকে পরিচালিত করে $$\text{var}_\pi(X)+2\sum_{t=1}^\infty\text{cov}_\pi(X_0,X_t)$$ যা সাধারণত ছাড়িয়ে যায় $\text{var}_\pi(X)$ এবং তাই আইড নমুনার চেয়ে দীর্ঘতর সিমুলেশনগুলির প্রয়োজন।

এটি বলা হচ্ছে, এমসিএমসি সেটিংস পরিচালনা করার জন্য খুব দরকারী যেখানে নিয়মিত আইড স্যাম্পলিং অসম্ভব বা খুব ব্যয়বহুল এবং যেখানে গুরুত্বের নমুনা নির্ধারণ করা বেশ কঠিন, বিশেষত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রা অনুকরণের কারণে।

যাইহোক, কণা ফিল্টারগুলির মতো ক্রমযুক্ত মন্টি কার্লো পদ্ধতিগুলি গতিশীল মডেলগুলিতে আরও উপযুক্ত হতে পারে, যেখানে ডেটাগুলি এমনভাবে আসে যাতে তাত্ক্ষণিক মনোযোগ প্রয়োজন এবং এমনকি অল্প সময়ের পরে বিলীন হয়ে যায় (অর্থাত্ সংরক্ষণ করা যায় না)।

উপসংহারে, এমসিএমসি জটিল সেটিংগুলি পরিচালনা করার জন্য একটি খুব দরকারী (এবং খুব বেশি ব্যবহৃত) একটি সরঞ্জাম যেখানে নিয়মিত মন্টি কার্লো সমাধান ব্যর্থ হয়।

Answer 2

একটি বিতরণ থেকে এলোমেলো মান উত্পন্ন করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, ম্যাকএমসি এর মধ্যে একটি, তবে আরও কয়েকজন মন্টে কার্লো পদ্ধতি হিসাবে বিবেচিত হবে (মার্কভ চেইন অংশটি ছাড়াই)।

ইউনিভারিটেড স্যাম্পলিংয়ের জন্য সর্বাধিক সরাসরি হ'ল ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবল তৈরি করা, তারপরে এটিকে বিপরীত সিডিএফ ফাংশনে প্লাগ করুন। আপনার বিপরীত সিডিএফ থাকলে এটি দুর্দান্ত কাজ করে, তবে সিডিএফ এবং / বা এর বিপরীতমুখী সরাসরি গণনা করা শক্ত হলে সমস্যা হয়।

মাল্টিভারিয়েট সমস্যার জন্য আপনি একটি কোপুলার থেকে ডেটা উত্পন্ন করতে পারেন, তারপরে ভেরিয়েবলের মধ্যে কিছুটা সম্পর্ক স্থাপনের জন্য উত্পন্ন মানগুলিতে বিপরীত সিডিএফ পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন (যদিও কোপুলায় সঠিক পরামিতি নির্দিষ্টকরণের ক্ষেত্রে কাঙ্ক্ষিত সম্পর্কের স্তরটি প্রায়শই প্রয়োজন হয় কিছুটা পরীক্ষা এবং ত্রুটি)।

প্রত্যাখ্যান স্যাম্পলিং হ'ল একটি পদ্ধতি যা কোনও বিতরণ (অবিবাহিত বা মাল্টিভারিয়েট) থেকে ডেটা উত্পন্ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে আপনাকে সিডিএফ বা এর বিপরীতটি জানতে হবে না (এবং এমনকি ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপের জন্য আপনার স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকের প্রয়োজন নেই), তবে কিছু ক্ষেত্রে অনেক সময় নেওয়া এটি অত্যন্ত অদক্ষ হতে পারে।

আপনি যদি এলোমেলোভাবে নিজেকে পয়েন্ট করার পরিবর্তে উত্পন্ন ডেটার সংক্ষিপ্তসারগুলিতে আগ্রহী হন, তবে গুরুত্বের নমুনা দেওয়া অন্য বিকল্প।

গিগস স্যাম্পলিং যা ম্যাকএমসি স্যাম্পলিংয়ের একটি ফর্ম তা আপনাকে নমুনা দেয় যেখানে আপনি মাল্টিভারিয়েট বিতরণের সঠিক ফর্মটি জানেন না যতক্ষণ না আপনি যতক্ষণ না অন্যকে দেওয়া প্রতিটি ভেরিয়েবলের শর্তাধীন বিতরণ জানেন know

এছাড়াও অন্যান্য রয়েছে, যা আপনি যা জানেন এবং যা জানেন না এবং নির্দিষ্ট সমস্যার অন্যান্য বিবরণগুলির উপর সবচেয়ে ভাল নির্ভর করে। ম্যাকএমসি জনপ্রিয় কারণ এটি বিভিন্ন পরিস্থিতিতে ভাল কাজ করে এবং বিভিন্ন ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে।