কিভাবে এটি যখন একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন কি?

আমি কীভাবে এটি সমাধান করতে পারি? আমার মধ্যবর্তী সমীকরণ দরকার। সম্ভবত উত্তরটি । $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন।

এর অর্থ, এবং $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

সূত্র: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

নীচে মধ্যবর্তী সমীকরণ চেষ্টা করে:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— হিরোকি মাছিদা
সূত্র

আপনি কি বোঝাতে চান ? সম্ভবতবা আপনি কি বোঝাতে চাইছেন ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— হেনরি

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন

— হেনরি

এর একটি আদিম বিবেচনা করুন , তারপরে পাওয়া সহজ।

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— স্টাফেন লরেন্ট

self-studyট্যাগ যুক্ত করুন এবং তার ট্যাগ উইকি পড়ুন ।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আপনি যদি কোনও পরীক্ষার জন্য পড়াশোনা করে থাকেন তবে আপনাকে সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া কাজ করার মতো নয়। স্ব-অধ্যয়নের প্রশ্নগুলির উদ্দেশ্যটি প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা ব্যক্তিকে নিজেরাই সমস্যার সমাধান করতে পরিচালিত করা।

— শি'য়ান

উত্তর:

সংজ্ঞা অনুসারে, ডেরাইভেটিভ ( এটি উপস্থিত থাকলে ) পার্থক্যফলকের সীমা of

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

যেমন । $h\to 0$

ধরে নেওয়া একটি বিরতি পর্যাপ্ত ছোট small , মধ্যেও অবিচ্ছিন্ন থাকে এই পুরো ব্যবধান জুড়ে অবিচ্ছিন্ন থাকবে। তারপর গড় মান উপপাদ্য দাবি আছে কিছু মধ্যে এবং যার জন্য $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

হিসাবে , অগত্যা , এবং ধারাবাহিকতা কাছাকাছি তারপর বোঝা বাম দিকে একটা সীমা রয়েছে সমান । $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(এটি দেখতে খুব সুন্দর যে এই বিশ্লেষণটির মূল অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য এর অস্তিত্ব সম্পর্কে কোনও যুক্তির প্রয়োজন নেই ) $\int_t^\infty x f(x) dx$

যাইহোক, এমনকি যখন কোনও বিতরণের ঘনত্ব , তখন সেই ঘনত্বটি অবিচ্ছিন্ন হতে হবে না। বিচ্ছিন্নতার বিন্দুতে, পার্থক্যটির ভাগফলের বাম এবং ডানদিকের আলাদা আলাদা সীমা থাকবে: ডেরাইভেটিভের অস্তিত্ব নেই। $f$

এটি এমন কোনও বিষয় নয় যা অনুশীলনকারীরা উপেক্ষা করতে পারে এমন কিছু আরকান গাণিতিক "প্যাথলজি" হিসাবে খারিজ হয়ে যায়। অনেকগুলি সাধারণ এবং দরকারী বিতরণের পিডিএফগুলির বিচ্ছিন্নতা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইউনিফর্ম ডিস্ট্রিবিউশনের এবং এ বিযুক্ত পিডিএফ রয়েছে ; গামা বিতরণে এ বিযুক্ত পিডিএফ থাকে যখন (যার মধ্যে সর্বব্যাপী এক্সপেনশিয়াল বিতরণ এবং কিছু some বিতরণ অন্তর্ভুক্ত থাকে); ইত্যাদি। অতএব, সাবধানতার যোগ্যতা ছাড়াই জোর দেওয়া জরুরি নয় যে উত্তরটি কেবলমাত্র : এটি একটি ভুল হবে। $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
সূত্র

খুব ছোট সংযোজন: এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন অবিচ্ছিন্ন না হয়েও অবিচ্ছেদ্য পার্থক্যযোগ্য । যাক জন্য এবং জন্য এবং জন্য । তারপর 0 কাছে জন্য এবং 0 জন্য , এই স্থিতিতে পুরোপুরি differentiable হয় ।

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— অ্যালেক্স আর

@ অ্যালেক্স কাছাকাছি , , 2/2 নয় । ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি বিবেচনা করুন।

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— হোয়াইট

বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত! আমি সংজ্ঞা দিচ্ছি ।

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— অ্যালেক্স আর

@ অ্যালেক্স আপনার সংহত অবিচ্ছিন্নভাবে শূন্যের কাছাকাছি, সুতরাং আপনি কোন ধরণের উদাহরণ উপস্থাপন করছেন বা এটি কী দেখায় তা দেখতে আমি ব্যর্থ।

t f (t)

$tf(t)$

— হোয়বার

দুর্দান্ত ডেরাইভেশন (+1) - এটি ফলস্বরূপ মূল্যবান হতে পারে না যে এই ফলাফলটি লাইবনিজ অবিচ্ছেদ্য নিয়মের একটি ঘটনা ।

— বেন - মনিকা পুনরায়

মীমাংসিত ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

সবাইকে ধন্যবাদ!!!

— হিরোকি মাছিদা
সূত্র

কি ফাংশন আছে? ডেরিভেটিভ কেন 0?

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— ভ্লাদিস্লাভস ডভগ্লেলেকস