সম্ভাব্যতায় বিতরণে রূপান্তর এবং অভিব্যক্তির অন্তর্নিহিত ব্যাখ্যা

26

সম্ভাব্যতার মধ্যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বনাম বিতরণে র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল রূপান্তরকরণের বিপরীতে স্বজ্ঞাত পার্থক্য কী ?

আমি অসংখ্য সংজ্ঞা এবং গাণিতিক সমীকরণ পড়েছি, তবে এটি আসলে কার্যকর হয় না। (দয়া করে মনে রাখবেন, আমি একনোমেট্রিক্স অধ্যয়নরত স্নাতক শিক্ষার্থী))

এলোমেলো পরিবর্তনশীল কীভাবে একটি একক সংখ্যায় রূপান্তর করতে পারে, তবে বিতরণে রূপান্তর করতে পারে?

— nicefella
সূত্র

1

"কিভাবে পারেন একটি থেকে দৈব চলক বিন্দুতে মিলিত একটি একক সংখ্যা কিন্তু এছাড়াও থেকে বিন্দুতে মিলিত একটি বন্টন?" - আমি মনে করি যে আপনার বিভ্রান্তিটি হচ্ছে যে সাধারণভাবে আরভিগুলি একক সংখ্যায় বা পুরো বিতরণে রূপান্তর করতে পারে (আপনি একবারে বুঝতে পারলেন যে "একক সংখ্যা" মূলত একটি বিশেষ প্রকারের বিতরণ) তা স্পষ্ট করে আপনি উপকার পাবেন? বা আপনার বিভ্রান্তিটি কীভাবে একক আরভি রূপান্তরিত হওয়ার এক মোড অনুসারে ধ্রুবকে রূপান্তর করতে পারে, তবে অন্য রূপান্তর পদ্ধতির অনুসারে বিতরণে যেতে পারে কিনা?

— সিলভারফিশ

1

@CloseToC আমি আশ্চর্য মত আপনি রিগ্রেশন যেখানে একদিকে তোমাকে বলেছি হয়েছে জুড়ে আসা করেছি

হল "এসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক" কিন্তু অন্যদিকে আপনি হয়েছে তে এটি সত্যতে এগোয় বলেন

।

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— সিলভার ফিশ

@ সিলভারফিশ, আমার আসলে নেই!

— nicefella

25

একটি এলোমেলো সংখ্যা কীভাবে একটি ধ্রুবকে রূপান্তর করতে পারে?

ধরা যাক আপনার বাক্সে বল রয়েছে। আপনি একে একে বেছে নিতে পারেন। আপনি বল বাছাই করার পরে , আমি আপনাকে জিজ্ঞাসা করব: বাক্সের বলগুলির গড় ওজন কী? আপনার সেরা উত্তরটি হবে $N$ $k$ । আপনি বুঝতে পেরেছেন যেনিজেই এলোমেলো মান? আপনি প্রথমেকোনবল বেছে নিয়েছেনতা নির্ভর করে। $\bar x_k=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^kx_i$ $\bar x_k$ $k$

এখন, আপনি যদি বাজে কথা টেনে রাখা, কিছু সময়ে কোন বাজে কথা বক্সে বাম হবেন, এবং আপনি পাবেন । $\bar x_N\equiv\mu$

সুতরাং, আমরা যা পেয়েছি তা হল এলোমেলো ক্রম ধ্রুবক যা এগোয় । সুতরাং, সম্ভাব্যতায় রূপান্তরিত করে আপনার সমস্যাটি বোঝার মূল চাবিকাঠিটি অনুধাবন করা হচ্ছে যে আমরাএকটি নির্দিষ্ট উপায়ে নির্মিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রমসম্পর্কে কথা বলছি।

{\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{k}, \dots, {\bar{x}}_{N}, {\bar{x}}_{N}, {\bar{x}}_{N}, \dots

$\bar x_1,\dots,\bar x_k, \dots, \bar x_N ,\bar x_N, \bar x_N, \dots$

{\bar{x}}_{N} = μ

$\bar x_N = \mu$

এর পরে, আসুন অভিন্ন এলোমেলো সংখ্যা , যেখানে । র্যান্ডম ক্রম যাক চেহারা , যেখানে $e_1,e_2,\dots$ $e_i\in [0,1]$ $\xi_1,\xi_2,\dots$ । , একটি র্যান্ডম মান কারণ তার সকল পদ র্যান্ডম মান। আমরা না ভবিষ্যদ্বাণী করা সম্ভব কি হয়হতে যাচ্ছে। তবে, দেখা যাচ্ছে যে আমরা দাবি করতে পারি যেএর সম্ভাব্যতা বন্টনআরও বেশি সাধারণ স্ট্যান্ডার্ডমতো দেখবে। এভাবেই বিতরণগুলি একত্রিত হয়। $\xi_k=\frac{1}{\sqrt{\frac{k}{12}}}\sum_{i=1}^k \left(e_i- \frac{1}{2} \right)$ $\xi_k$ $\xi_k$ $\xi_k$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
সূত্র

1

আপনি এন পৌঁছানোর পরে আপনার প্রথম উদাহরণে এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির ক্রম কী? সীমা কীভাবে মূল্যায়ন করা হয়?

— একওয়াল

এটা কেবল একটি স্বজ্ঞাত। অসীম বক্স কল্পনা, তাই হয়, আপনার মূল্নির্ধারক

এগোয় জনসংখ্যা গড়

।

{\bar{x}}_{\infty}

$\bar x_\infty$

μ

$\mu$

— আকসকল

21

এ প্রশ্নের পাঠক যে কোনও কিছুর একীকরণের বিষয়ে কতটা অন্তর্নিহিত হতে পারে তা স্পষ্ট নয়, এলোমেলো ভেরিয়েবলকে ছেড়ে দেওয়া যাক, সুতরাং আমি লিখব যেন উত্তরটি "খুব অল্প"। এমন কিছু যা সহায়তা করতে পারে: "কীভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল কনভার্জ করতে পারে" চিন্তা করার পরিবর্তে , এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম কীভাবে রূপান্তর করতে পারে তা জিজ্ঞাসা করুন। অন্য কথায়, এটি কেবলমাত্র একটি পরিবর্তনশীল নয়, ভেরিয়েবলগুলির একটি (অসীম দীর্ঘ!) তালিকা এবং তালিকার পরবর্তীগুলির মধ্যে ... আরও কিছুটা কাছাকাছি চলে আসছে। সম্ভবত একটি একক সংখ্যা, সম্ভবত একটি সম্পূর্ণ বিতরণ। একটি অন্তর্দৃষ্টি বিকাশ করতে, আমাদের "কাছাকাছি এবং কাছাকাছি" অর্থ কী তা প্রকাশ করা উচিত। এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য কনভার্জ করার অনেকগুলি উপায় থাকার কারণটি হ'ল বিভিন্ন ধরণের "

প্রথমে আসল সংখ্যার ক্রমগুলির পুনরায় রূপান্তর করা যাক। ইন আমরা ব্যবহার করতে পারি ইউক্লিডিয় দূরত্ব $\mathbb{R}$ পরিমাপ কিভাবে বন্ধ হয় । বিবেচনা করুন $|x-y|$ $x$ $y$ । তারপরে ক্রমটি $x_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ শুরু হয় $x_1, \, x_2, \, x_3, \dots$ এবং আমি দাবি করি যেরূপান্তর করে। স্পষ্টতহচ্ছেকাছাকাছিথেকে, কিন্তু এটি সত্যি যেকাছাকাছি হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, তৃতীয় টার্মের পরে, অনুক্রমের শর্তগুলিদূরত্ব, পরবর্তী শর্তগুলির জন্য কেবল সেই কাছাকাছিই থাকুক। বিপরীতে $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}, \dots$ $x_n$ $1$ $x_n$ $1$ $x_n$ $0.9$ $0.5$ বা থেকে কম । বিষয়গুলি হ'ল তারা নির্বিচারে কাছাকাছি পাচ্ছেন তবে । অনুক্রমের কোনও শর্তাবলী এর মধ্যে আসে না $0.9$ $1$ $0.9$ $0.05$ $0.9$ $x_{20}=1.05$ তাই হয় থেকে , এবং সব পরবর্তী পদ মধ্যে রয়েছে এর নিচের চিত্রের। $0.05$ $1$ $0.05$ $1$

(এন + 1) / এন থেকে 1 এ রূপান্তর

আমি আরও কঠোর হতে চাই এবং শর্তাবলীর পদগুলি এর মধ্যে পেতে এবং থাকতে পারে এবং এই উদাহরণে আমি দেখতে পাই এটি এবং পরবর্তী শর্তগুলির জন্য সত্য । তাছাড়া আমি চয়ন করতে পারেন কোনো ঘনিষ্ঠতা সংশোধন থ্রেশহোল্ড , কোন ব্যাপার কিভাবে কঠোর (ছাড়া অর্থাৎ মেয়াদ আসলে হচ্ছে ), এবং শেষ পর্যন্ত শর্ত একটি নির্দিষ্ট শব্দ (প্রতীকী পরলোক সব মেয়াদের জন্য সন্তুষ্ট হবে: জন্য , যেখানে এর মান $0.001$ $1$ $N=1000$ $\epsilon$ $\epsilon = 0$ $1$ $|x_n - x| \lt \epsilon$ $n \gt N$ $N$ কতটা কঠোর একটি উপর নির্ভর করে থাকার বিষয়টি মতেই সব পরে মেয়াদের জন্য দেখা হল। আমি এটি জন্য চিত্রিত করছি $\epsilon$ আমি পছন্দ করেছিলাম). আরও পরিশীলিত উদাহরণগুলির জন্য, নোট করুন যে আমি প্রথমবার শর্তটি পূরণ করার বিষয়ে আগ্রহী নই - পরবর্তী শব্দটি শর্তটি মানতে পারে না, এবং এটি ঠিক আছে, যতক্ষণ আমি ক্রম বরাবর একটি শব্দ খুঁজে পেতে পারি শর্ত পূরণ হয় এবং , যা-র দিকে এগোয়, সঙ্গেআবার ছায়াময়। $x_n = 1 + \frac{\sin(n)}{n}$ $1$ $\epsilon=0.05$

1 + পাপ (এন) / এন থেকে 1 তে রূপান্তর

এখন বিবেচনা করুন এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম $X \sim U(0,1)$ । এটি আরভিগুলির একটি ক্রম $X_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) X$ , $X_1 = 2X$ , $X_2 = \frac{3}{2} X$ এবং আরও কোন ইন্দ্রিয়তে আমরা বলতে পারি যে এটিকাছাকাছিচলেছে? $X_3 = \frac{4}{3} X$ $X$

যেহেতু এবং কেবল একক সংখ্যা নয়, শর্ত এখন একটি হল ঘটনা : একটি নির্দিষ্ট এমনকি এবং এই শক্তি বা ঘটতে না পারে । এটির সম্ভাব্যতা পূরণের সম্ভাবনা বিবেচনা করে সম্ভাবনায় রূপান্তর ঘটে । জন্য আমরা পরিপূরক সম্ভাব্যতা চান $X_n$ $X$ $|X_n - X| \lt \epsilon$ $n$ $\epsilon$ $X_n \overset{p}{\to} X$ $P(|X_n - X| \ge \epsilon)$ - intuitively,, সম্ভাব্যতা যে কিছুটা ভিন্ন (অন্তত দ্বারা ) এর $X_n$ $\epsilon$ - ইচ্ছামত ছোট যথেষ্ট বৃহৎ জন্য, পরিণত । একটি নির্দিষ্ট জন্য এটি সম্ভাবনারপুরোক্রমকেউত্থিত করে, , , $X$ $n$ $\epsilon$ $P(|X_1 - X| \ge \epsilon)$ $P(|X_2 - X| \ge \epsilon)$ , এবং যদি সম্ভাবনার এই ক্রমটি শূন্যে রূপান্তরিত হয় (যেমন আমাদের উদাহরণে ঘটে) তবে আমরা বলি সম্ভাব্যতায় রূপান্তরিত করে। লক্ষ্য করুন সম্ভাব্যতা সীমা প্রায়ই ধ্রুবক আছেন: ইকোনোমেট্রিক্স মধ্যে রিগ্রেশন মধ্যে উদাহরণস্বরূপ, আমরা দেখতে আমরা নমুনা আকার বৃদ্ধি হিসাবে । তবে এখানে । কার্যকরভাবে, সম্ভাবনায় রূপান্তর মানে এর সম্ভাবনা কম $P(|X_3 - X| \ge \epsilon)$ $\dots$ $X_n$ $X$ $\text{plim}(\hat \beta) = \beta$ $n$ $\text{plim}(X_n) = X \sim U(0,1)$ এবং একটি নির্দিষ্ট উপলব্ধির চেয়ে অনেক বেশি পৃথক হবে - এবং আমি এর সম্ভাব্যতা তৈরি করতে পারি $X_n$ $X$ এবং চেয়ে আরও হচ্ছে পৃথক্ ছোট হিসাবে হিসাবে আমি চাই, তাই যতদিন আমি যথেষ্ট বৃহৎ বাছাই । $X_n$ $X$ $\epsilon$ $n$

একটি ভিন্ন অর্থে যা কাছাকাছি হয়ে যে তাদের ডিস্ট্রিবিউশন আরো এবং আরো একইভাবে চেহারা হয়। আমি তাদের সিডিএফ তুলনা করে এটি পরিমাপ করতে পারি। বিশেষত, এমন কোনও বাছুন যেখানে অবিচ্ছিন্ন থাকে (আমাদের উদাহরণে তাই এর সিডিএফ সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং যে কোনও করবে) এবং সিডিএফগুলি মূল্যায়ন করুন এর ক্রম সেখানে। এটি সম্ভাবনার অন্য ক্রম উত্পাদন করে, $X_n$ $X$ $x$ $F_X(x) = P(X \leq x)$ $X \sim U(0,1)$ $x$ $X_n$ , , $P(X_1 \leq x)$ $P(X_2 \leq x)$ , এবং এই অনুক্রমটি রূপান্তর করে। CDFs এ মূল্যায়ন প্রত্যেকের জন্য ইচ্ছামত এর সিডিএফ পাসে পরিণত $P(X_3 \leq x)$ $\dots$ $P(X \leq x)$ $x$ $X_n$ $X$ এ মূল্যায়ন । আমরা যদি কোন বেছে নিয়েছি তা নির্বিশেষে যদি এই ফলাফলটি সত্য ধারণ করে তবে রূপান্তর করে $x$ $x$ $X_n$ বিতরণ। এটি এখানে ঘটেছে তা দেখা যাচ্ছে এবং সম্ভাবনাতেরূপান্তরটি বিতরণে রূপান্তরকে বোঝায়তাই আমাদের অবাক হওয়ার কিছু নেই। দ্রষ্টব্য যেএটি এমন হতে পারে না যে সম্ভাব্যতায় নির্দিষ্ট অ-অবনমিত বিতরণে রূপান্তরিত করে, তবে বিতরণকে ধ্রুবক হিসাবে রূপান্তর করে। (মূল প্রশ্নে সম্ভবত বিভ্রান্তির বিষয়টি কী ছিল? তবে পরে একটি ব্যাখ্যা নোট করুন।) $X$ $X$ $X$ $X_n$

ভিন্ন উদাহরণের জন্য, । আমাদের কাছে এখন আরভিগুলির ক্রম রয়েছে,, $Y_n \sim U(1, \frac{n+1}{n})$ $Y_1 \sim U(1,2)$ , $Y_2 \sim U(1,\frac{3}{2})$ ,এবং এটি স্পষ্ট যে সম্ভাবনা বন্টনএ একটি স্পাইকের দিকে ক্ষয় হচ্ছে। এখন অধ: পতিত বন্টন বিবেচনা, যা দ্বারা আমি গড়। এটি দেখতে যে কোনো জন্যে সহজ সাধ্য, ক্রম। সম্ভবত ফলত হিসেবেএছাড়াও বিন্দুতে মিলিত হবে $Y_3 \sim U(1,\frac{4}{3})$ $\dots$ $y=1$ $Y=1$ $P(Y=1)=1$ $\epsilon \gt 0$ শুন্যতে এগোয় যাতে -র দিকে এগোয় $P(|Y_n - Y| \ge \epsilon)$ $Y_n$ $Y$ $Y_n$ $Y$ বিতরণে , যা আমরা সিডিএফ বিবেচনা করে নিশ্চিত করতে পারি। যেহেতু সিডিএফ এর এ সান্তার হয় আমরা CDFs যে মান এ মূল্যায়ন বিবেচনা করার প্রয়োজন নেই, কিন্তু CDFs কোনো অপরের দিকে মূল্যায়ন জন্য আমরা যে ক্রম দেখতে পারেন , , $F_Y(y)$ $Y$ $y=1$ $y$ $P(Y_1 \leq y)$ $P(Y_2 \leq y)$ , রূপান্তর করেযা জন্য শূন্যএবং । এবার, কারণ আরভিগুলির ক্রমটি সম্ভাবনাকে ধ্রুবক হিসাবে রূপান্তরিত করে, এটি বিতরণকে ধ্রুবককে রূপান্তরিত করে। $P(Y_3 \leq y)$ $\dots$ $P(Y \leq y)$ $y \lt 1$ $y \gt 1$

কিছু চূড়ান্ত স্পষ্টতা:

যদিও সম্ভাব্যতায় রূপান্তরটি বিতরণে রূপান্তরকে বোঝায়, তবে কনভার্সটি সাধারণভাবে মিথ্যা। কেবল দুটি ভেরিয়েবলের বিতরণ একই রকম হওয়ার অর্থ এই নয় যে তাদের একে অপরের সাথে ঘনিষ্ঠ হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। তুচ্ছ উদাহরণের জন্য, এবং । তারপরে এবং উভয়ের ঠিক একই ডিস্ট্রিবিউশন (শূন্য বা এক হওয়ার প্রতিটি ক্ষেত্রে 50% সুযোগ) এবং ক্রম অর্থাৎ ক্রমটি $X\sim\text{Bernouilli}(0.5)$ $Y=1-X$ $X$ $Y$ $X_n=X$ $X,X,X,X,\dots$ তুচ্ছভাবে তে বিতরণে রূপান্তরিত হয় সম্ভাবনার ক্ষেত্রে তে রূপান্তরিত করে না । যাইহোক, যদি কোনও ধ্রুবককে বিতরণে রূপান্তর হয় তবে তার ফলে সেই ধ্রুবকের সম্ভাব্যতায় রূপান্তর ঘটে (স্বজ্ঞাতপক্ষে, ক্রমটি আরও ক্রমান্বয়ে এটি স্থির থেকে দূরে থাকার সম্ভাবনা কম)। $Y$ (অনুক্রমের যে কোনও অবস্থানের সিডিএফ এর সিডিএফের সমান ) is তবে এবং সর্বদা পৃথক পৃথক, তাই তাই শূন্যের দিকে ঝোঁক দেয় না, তাই $Y$ $Y$ $X$ $P(|X_n - Y| \ge 0.5)=1$ $X_n$ $Y$
আমার উদাহরণগুলি পরিষ্কার করে দিলে, সম্ভাবনার একত্রিতকরণ একটি ধ্রুবকের কাছে হতে পারে তবে তা হওয়ার দরকার নেই; বিতরণ রূপান্তর এছাড়াও একটি ধ্রুবক হতে পারে। সম্ভাব্যতার মধ্যে ধ্রুবক হিসাবে রূপান্তর করা কিন্তু নির্দিষ্ট অ-অধঃপতিত বিতরণে বিতরণে রূপান্তর করা সম্ভব নয় বা তদ্বিপরীত।
আপনি কি এমন একটি উদাহরণ দেখেছেন যেখানে উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে বলা হয়েছিল একটি অনুক্রম অন্য ক্রমকে রূপান্তর করেছে $X_n$ ? আপনি এটি উপলব্ধি করতে পারেন নি যে এটি একটি ক্রম ছিল, তবে উপহারটি যদি এমন কোনও বিতরণ হয় যা উপর নির্ভর করে। এটি উভয় অনুক্রম একটি ধ্রুবক রূপান্তরিত হতে পারে (অর্থাত্ বিতরণ অবক্ষয়)। আপনার প্রশ্নের পরামর্শ দেয় আপনি ভাবছেন যে আরভিগুলির একটি নির্দিষ্ট ক্রম কীভাবে একটি ধ্রুবক এবং বিতরণ উভয়কে রূপান্তর করতে পারে; আমি ভাবছি যদি আপনি যদি এমন পরিস্থিতিটি বর্ণনা করেন তবে তা যদি হয়। $Y_n$ $n$
আমার বর্তমান ব্যাখ্যা খুব "স্বজ্ঞাত" নয় - আমি অন্তর্দৃষ্টি গ্রাফিকাল করার ইচ্ছা করছিলাম, তবে আরভিগুলির জন্য গ্রাফ যুক্ত করার সময় পাইনি।

— Silverfish
সূত্র

16

আমার মনে, বিদ্যমান উত্তরগুলি সমস্ত কার্যকর পয়েন্ট প্রকাশ করে, তবে তারা রূপান্তর দুটি পদ্ধতির মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য পরিষ্কার করে না।

যাক , , এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। অন্তর্দৃষ্টি জন্য, কল্পনা করুন কিছু এলোমেলো পরীক্ষার দ্বারা তাদের মানগুলি নির্ধারিত করা হয়েছে যা প্রতিটি জন্য সামান্য কিছুটা পরিবর্তন করে, এলোমেলো ভেরিয়েবলের সীমাহীন ক্রম দেয়, এবং মনে করুন যে অন্য কোনও এলোমেলো পরীক্ষার দ্বারা নির্ধারিত হয়েছে। $X_n$ $n=1,2,\dots$ $Y$ $X_n$ $n$ $Y$

তাহলে , আমরা যে সম্ভাবনা সংজ্ঞা দ্বারা, have, এবং কিছু ইচ্ছামত ছোট পরিমাণ দ্বারা একে অপরের থেকে ভিন্ন শূন্য পন্থা হিসাবে , যেমন অল্প পরিমাণ জন্য আপনাকে মতো। আলগাভাবে বলতে গেলে, এর ক্রম , আমরা আত্মবিশ্বাসী এবং $X_n\overset{p}{\to}Y$ $Y$ $X_n$ $n\to\infty$ $X_n$ $X_n$ $Y$ একে অপরের খুব কাছাকাছি মান গ্রহণ করবে take

অন্যদিকে, যদি আমাদের কেবল বিতরণে রূপান্তর হয় এবং সম্ভাবনাতে রূপান্তর না হয় তবে আমরা জানি যে বড় , প্রায় কোনও জন্য মতো প্রায় একই রকম । মনে রাখবেন যে এবং মান একে অপরের সাথে কতটা কাছাকাছি রয়েছে সে সম্পর্কে এটি কিছুই বলে না । উদাহরণস্বরূপ, যদি , এবং এভাবে $n$ $P(X_n\leq x)$ $P(Y\leq x)$ $x$ $X_n$ $Y$ $Y\sim N(0, 10^{10})$ $X_n$ বৃহত্তর ক্ষেত্রেও বেশ বিতরণ করা হয় , তারপরে এটি স্বজ্ঞাতভাবে সম্ভবত মনে হয় যেকোনও দেওয়া পর্যবেক্ষণে এবং মানগুলিঅনেকটা পৃথক হবে। সর্বোপরি, যদি বিতরণে রূপান্তর ব্যতীত অন্য কোনও বিধিনিষেধ না থাকে তবে তারা ব্যবহারিক কারণে স্বাধীন হতে পারে $n$ $X_n$ $Y$ $N(0,10^{10})$ ভেরিয়েবল হতে পারে।

(কিছু ক্ষেত্রে এবং তুলনা করাও বুদ্ধিমান নয় , সম্ভবত তারা একই সম্ভাবনার জায়গাতেও সংজ্ঞায়িত হয়নি're যদিও এটি আরও প্রযুক্তিগত নোট)) $X_n$ $Y$

— ekvall
সূত্র

1

(+1) এমনকি আপনার পরিবর্তনের জন্য

প্রয়োজন হয় না - আমি আমার উত্তরে এই সম্পর্কে কিছু বিশদ যুক্ত করতে যাচ্ছিলাম তবে দৈর্ঘ্যের কারণে এটির বিরুদ্ধে সিদ্ধান্ত নিয়েছি। তবে আমি মনে করি এটি তৈরি করার মতো বিষয়।

X_{n}

$X_n$

— সিলভারফিশ

12

আমি যা বুঝতে পারি না তা হল এলোমেলো পরিবর্তনশীল কীভাবে একটি একক সংখ্যায় রূপান্তর করতে পারে তবে বিতরণে রূপান্তর করতে পারে?

আপনি যদি একনোমেট্রিকস শিখছেন তবে আপনি সম্ভবত কোনও রিগ্রেশন মডেলটির প্রসঙ্গে এটি সম্পর্কে ভাবছেন। এটি একটি অবনমিত বিতরণকে ধ্রুবক হিসাবে রূপান্তর করে। তবে অন্য কিছুতে একটি অবনমিত সীমিত বিতরণ রয়েছে।

সম্ভবত এগোয় করতেপ্রয়োজনে অনুমানের পূরণ করা হয়। এর অর্থ হ'ল একটি বৃহত পরিমাণে নমুনা আকার, অনুমানকটি আমরা সত্য প্যারামিটারের মতোই কাছাকাছি আসব, এর সম্ভাবনা যতটা দূরে আমরা চাই তার সাথে দূরে থাকবে। তোমাদের মধ্যে হিস্টোগ্রাম ষড়যন্ত্র মনে করেনবিভিন্ন জন্য, এটা শেষ পর্যন্ত মাত্র একটি গজাল কেন্দ্রেও হতে হবে $\hat{\beta}_n$ $\beta$ $N$ $\hat{\beta}_n$ $n$ $\beta$ ।

কোন অর্থে নয় মিলিত বিতরণে? এটি একটি ধ্রুবককে রূপান্তর করে। সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের কাছে নয়। আপনি ভ্যারিয়েন্স গনা তাহলে আপনি দেখতে এটা দিয়ে সঙ্কুচিত যে । সুতরাং শেষ পর্যন্ত এটি শূন্যে চলে যাবে যথেষ্ট পরিমাণে , এই কারণেই অনুমানকারী একটি ধ্রুবকে যায়। সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীলটি কী রূপান্তরিত হয় তা হ'ল $\hat{\beta}_n$ $\hat{\beta}_n$ $n$ $n$

। যদি আপনি এর বৈকল্পিকতা গ্রহণ করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে এটিদিয়ে সঙ্কুচিত হয় না (বাড়বে না)। খুব বড় নমুনায় এটিমানক অনুমানের অধীনেআনুমানিক। আমরা তখন বিতরণের আনুমানিক এই পড়তা ব্যবহার করতে পারেনযে বৃহৎ নমুনা। $\sqrt{n}(\hat{\beta}_n - \beta)$ $n$ $N(0, \sigma^2)$ $\hat{\beta}_n$

কিন্তু তুমি কি সঠিক যে সীমিত বন্টন একটি ধ্রুবক। $\hat{\beta}_n$

— CloseToC
সূত্র

1

এই উপর লুক "এ খুঁজছেন

বিবর্ধক কাচ সঙ্গে", বৃহত্তরীকরণ সঙ্গে সম্ভবত

হারে

\hat{β_{n}}

$\hat{\beta_n}$

n

$n$

।

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

7

আমাকে কয়েকটি খুব সাধারণ উদাহরণ ব্যবহার করে খুব ছোট উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব।

বিতরণ রূপান্তর

যাক , সকল n এর জন্য, তারপরবিতরণেএরূপান্তর করে। যাইহোক,উপলব্ধি করার এলোমেলোসময়ের সাথে সাথে পরিবর্তন হয় না। যদি আমাদেরমান পূর্বাভাস দিতে হয় $X_n \sim N\left(\frac{1}{n}, 1 \right)$ $X_n$ $X \sim N(0, 1)$ $X_n$ $X_n$ সাথে সাথে আমাদের ত্রুটির প্রত্যাশা পরিবর্তন হয় না।

সম্ভাবনা রূপান্তর

এখন, এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন যা সম্ভাব্যতা সহ মান করে takes $Y_n$ $0$ এবংঅন্যথায়যেমনচলে যায়, আমরা আরও বেশি নিশ্চিত যেসমান হবে। সুতরাং, আমরা বলিসম্ভাব্যতায়তে রূপান্তর করে। নোট করুন যে এটিকেএ বিতরণে রূপান্তরিত করে। $1-\frac{1}{n}$ $1$ $n$ $Y_n$ $0$ $Y_n$ $0$ $Y_n$ $0$

— সেভেন
সূত্র