দুটি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি পণ্যের পিডিএফ

12

যাক ~ এবং ~ দেওয়া ডিস্ট্রিবিউশন সঙ্গে দুটি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। বিতরণ কী ? $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

আমি জেনেও বোঝার চেষ্টা করেছি

h (v) = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{y} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{v}{y}) d y

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

আমরা এও জানি যে , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

h (v) = \frac{1}{20} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

h (v) = \frac{1}{40} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} d y

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

কিছু আমাকে বলছে, এখানে 0 টি বিচ্ছিন্ন হওয়ার কারণে এখানে কিছু অদ্ভুত রয়েছে Please দয়া করে সহায়তা করুন।

distributions random-variable

— CGO
সূত্র

1

এটি যদি হোমওয়ার্কের প্রশ্ন হয় তবে আপনি কি স্ব-অধ্যয়নের ট্যাগ যুক্ত করতে পারেন? ধন্যবাদ!

— অ্যান্ডি

এটি কি অভিন্ন আরভি হতে পারে না?

— ইয়ার দাওন

এটি ইউনিফর্ম মত দেখাচ্ছে না। লগ দিয়ে কিছু হতে পারে? তবে আমি কীভাবে এটি লিখতে জানি না যেহেতু শূন্য সীমানার মধ্যে রয়েছে, এবং ফাংশনটি শূন্যের মধ্যে অপরিবর্তিত।

— সিজিও

14

একটি সূক্ষ্ম, কঠোর, মার্জিত উত্তর ইতিমধ্যে পোস্ট করা হয়েছে। এইটির উদ্দেশ্য হ'ল একই ফলাফলটি এমনভাবে নেওয়া যা অন্তর্নিহিত কাঠামোটির খানিকটা প্রকাশ হতে পারে । এটি দেখায় যে কেন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ) এ একক হতে হবে । $XY$ $0$

উপাদান বিতরণের ফর্মগুলিকে কেন্দ্র করে অনেক কিছু সম্পাদন করা যেতে পারে :

দ্বিগুণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল। সমস্ত ইউনিফর্ম বিতরণগুলির একটি আদর্শ, "দুর্দান্ত" ফর্মের বৈশিষ্ট্য। $X$ $U(0,1)$ $U(0,1)$
দশগুণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল। $|Y|$ $U(0,1)$
সাইন ইন করুন একটি Rademacher বন্টন নিম্নরূপ: এটা সমান বা , প্রতিটি সম্ভাব্যতা সঙ্গে । $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

(এই শেষ পদক্ষেপটি একটি অ-নেতিবাচক বৈকল্পিককে আশেপাশে একটি প্রতিসম বিতরণে রূপান্তরিত করে, যার লেজ দুটিই মূল বিতরণের মতো দেখায়)) $0$

সুতরাং (ক) প্রায় এবং (খ) এর প্রতিসাম্য, এর নিরঙ্কুশ মান দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের গুণফলের গুণ বেশি । $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

পণ্যগুলি প্রায়শই লগারিদম গ্রহণ করে সরলীকৃত করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি সুপরিচিত যে কোনও ভেরিয়েবলের নেতিবাচক লগের একটি তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ রয়েছে (কারণ এটি এলোমেলো তাত্পর্যপূর্ণ ভিন্নতা উত্পন্ন করার সহজ উপায় সম্পর্কে), যেখানে তাদের দু'জনের পণ্যের নেতিবাচক লগ রয়েছে দুটি এক্সপেনশিয়ালের সমষ্টি বিতরণ। সূচকীয় হ'ল একটি বিতরণ। একই স্কেল প্যারামিটার সহ গামা বিতরণগুলি যুক্ত করা সহজ: আপনি কেবল তাদের আকারের প্যারামিটার যুক্ত করেন। একজন প্লাস একটি $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ ভেরিয়েটের একটি বিতরণ রয়েছে। অতএব $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

এলোমেলো ভেরিয়েবল হল একটি ভেরিয়েবলের নেগেটিভের গুণ সংশ্লেষিত সংস্করণ । $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

ব্যক্তিত্ব

কোনও বিতরণ থেকে পিডিএফ নির্মাণের জন্য বাম থেকে ডানদিকে, ইউনিফর্ম থেকে , , পর্যন্ত এর নেতিবাচক হিসাবে প্রকাশিত হয় , দ্বারা মাপানো একই জিনিস এবং অবশেষে এর প্রতিসাম্য সংস্করণ। এর পিডিএফ তে অসীম , সেখানে বিযুক্তির বিষয়টি নিশ্চিত করে। $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

আমরা এখানে থামার জন্য সন্তুষ্ট হতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, এই বৈশিষ্ট্যটি আমাদের সরাসরি উপলব্ধি উত্পন্ন করার উপায় দেয় , যেমন এই অভিব্যক্তিতে: $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

থিসিস বিশ্লেষণেও প্রকাশিত হয় যে পিডিএফটি তে কেন ফুটে উঠেছে । $0$ যে একতা প্রথম হাজির যখন আমরা এর সূচকীয় (নেতিবাচক) একটি বিবেচিত বন্টন, এক গুন সংশ্লিষ্ট অন্য এক দ্বারা variate। মধ্যে (বলুন) মানগুলি এর নানাভাবে উঠা সহ (কিন্তু সীমাবদ্ধ নয়) যখন (ক) উপাদানগুলির একটি কম বা (খ) উভয় কারণের কম $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ । কাছাকাছি থাকলেনিজে থেকেঅনেক বড়। এটি চেয়ে বেশি পরিমাণে প্রচুর সম্ভাবনা জোর করে $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ , দৈর্ঘ্য একজন ব্যবধান মধ্যে চিপা করা। এটি সম্ভব হওয়ার জন্য, পণ্যের ঘনত্বটিএ নির্বিচারে বড় হতে হবে। পরবর্তী ম্যানিপুলেশনগুলি -গুণক দ্বারা পুনরুদ্ধার করাএবং প্রতিসামগ্রীকরণ - স্পষ্টতই সেই একাকিত্বকে দূর করবে না। $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

উত্তরের এই বর্ণনামূলক বৈশিষ্ট্যটি সরাসরি ন্যূনতম গোলযোগের সূত্রগুলিতে নিয়ে যায় যা দেখায় এটি সম্পূর্ণ এবং কঠোর। উদাহরণস্বরূপ, পিডিএফ পেতে , একটি বিতরণের সম্ভাব্য উপাদান দিয়ে শুরু করুন , $XY$ $\Gamma(2,1)$

f (t) d t = t e^{- t} d t, 0 < t < \infty .

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

লেটিং এর অর্থ এবং । বড় মান এই রূপান্তর এছাড়াও অর্ডার reverses ছোট মান হতে । এই কারণে আমরা প্রতিস্থাপনের পরে ফলাফল অবহেলা করা উচিত, প্রদান $t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

f (t) d t = - (- \log (z) e^{- (- \log (z))} (- d z / z)) = - \log (z) d z, 0 < z < 1.

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

স্কেল ফ্যাক্টর এটিকে রূপান্তর করে $20$

- \log (z / 20) d (z / 20) = - \frac{1}{20} \log (z / 20) d z, 0 < z < 20.

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

অবশেষে, প্রতিসমীকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে , এর মানগুলি এখন থেকে পর্যন্ত বিস্তৃত করার অনুমতি দেয় এবং পিডিএফকে দ্বারা বিভাজন করে মোট সম্ভাব্যতা সমানভাবে অন্তরগুলিতে এবং ছড়িয়ে দিতে : $z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} f_{X Y} (z) d z & = - \frac{1}{2} \frac{1}{20} \log (| z | / 20), - 20 < z < 20; \\ f_{X Y} (z) d z & = 0 otherwise . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— whuber
সূত্র

এটিকে আরও " plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )সহজলভ্য করে তোলার চেষ্টা করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখনও এইটিকে কিছুটা স্বজ্ঞাত হিসাবে খুঁজে পেয়েছি সুতরাং আমি কেবল এটি সম্পাদন করেছি ( শি'র " সিমুলেশন "এর অনুরূপ): 100 পর্যন্ত দৈর্ঘ্য ক্র্যাঙ্ক করা ঘনত্বের জন্য কিছু শিল্পকর্মকে এড়িয়ে চলে সীমাবদ্ধ বিতরণ

— DWin

9

আপনার উত্স মধ্যে, আপনি এর ঘনত্ব ব্যবহার করবেন না । যেহেতু , $X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$ তাই আপনার কনভলিউশন সূত্রে

চ_{এক্স} (এক্স) = \frac{1}{2} {আমি}_{(0, 2)} (এক্স)

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

(আমিও পূর্ণ মান যোগ করে জ্যাকবীয়ান সংশোধন করেছি)। সুতরাং,

জ (বনাম) = \frac{1}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1}{| Y |} \cdot \frac{1}{2} {আমি}_{(0, 2)} (বনাম / Y) ঘ Y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

ফলাফলের সিমুলেশন দ্বারা একটি নিশ্চিতকরণ এখানে দেওয়া হয়েছে:

\begin{aligned} জ (বনাম) & = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| Y |} {আমি}_{0 \leq বনাম / Y \leq 2} ঘ Y + + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| Y |} {আমি}_{0 \leq বনাম / Y \leq 2} ঘ Y \\ = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| Y |} {আমি}_{0 \geq বনাম / 2 \geq Y \geq - 10} ঘ Y + + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| Y |} {আমি}_{0 \leq বনাম / 2 \leq Y \leq 10} ঘ Y \\ = \frac{1}{40} {আমি}_{- 20 \leq বনাম \leq 0} \int_{- 10}^{বনাম / 2} \frac{1}{| Y |} ঘ Y + + \frac{1}{40} {আমি}_{20 \geq বনাম \geq 0} \int_{বনাম / 2}^{10} \frac{1}{| Y |} ঘ Y \\ = \frac{1}{40} {আমি}_{- 20 \leq বনাম \leq 0} লগ {20 / | বনাম |} + + \frac{1}{40} {আমি}_{0 \leq বনাম \leq 20} লগ {20 / | বনাম |} \\ = \frac{লগ {20 / | বনাম |}}{40} {আমি}_{- 20 \leq বনাম \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

হিসাবে প্রাপ্ত

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— সিয়ান
সূত্র

ওহে ধন্যবাদ. আমি জিজ্ঞাসা করতে চাই কেন সীমানা -10 থেকে 10--10-এ ভি / 2 তে পরিবর্তিত হয়েছিল?

— cgo

কোথাও নেতিবাচক হওয়া উচিত? ধন্যবাদ

— cgo

1

- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$