নির্দিষ্ট কোয়ান্টাইল থেকে বিতরণের যোগফলের পরিমাণ গণনা

Question

ধরে নেওয়া যাক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যার জন্য কিছু নির্দিষ্ট পর্যায়ে quantiles : ডেটা থেকে প্রাক্কলন মাধ্যমে পরিচিত হয় , ..., । এখন যাক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক । সেখানে পর্যায়ে সমষ্টি সমাংশক মান গনা একটি উপায় আছে কি যে, মধ্যে ?$N$$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

আমি মনে করি যে এই ধরনের যেন বিশেষ ক্ষেত্রে, ইন একটি গসিয়ান বন্টন নিম্নরূপ এই সহজ, কিন্তু আমি তাই নিশ্চিত কেস যেখানে বিতরণের জন্য নই অজানা। কোন ধারনা?$X_i$$\forall i$$X_i$

Comments

এই ডেটা থেকে অনুমান করা হয় বা তাত্ত্বিকভাবে জানা? $q_i$

— chuse

বিতরণ সম্পর্কে নির্দিষ্ট অনুমান করা ছাড়া এটি সম্ভব নয় । আপনার মনে বিতরণ পরিবার আছে? $X_i$

— শুক্র

@chuse , ডাটা থেকে অনুমান করা হয় যেমন বিতরণের জানা যায় না কিন্তু নমুনা পাওয়া যায়। আমি এই সত্যটি দিয়ে প্রশ্নটি আপডেট করেছি। $q_i$$X_i$

— আলবারজি

@ যেহেতু ডেটা নমুনাগুলি উপলভ্য থাকলেও অনুসরণ করা পরিবারগুলির সম্পর্কে পরিবারের আমার পূর্বের কোনও জ্ঞান নেই । বিতরণ পরিবার (গাউসিয়ান বাদে) ধরে নেওয়া কি এটিকে আরও সহজ করে দেবে? $X_i$

— আলবারজি

Answer 1

$q_Z$ যে কোনও কিছু হতে পারে।

---

এই পরিস্থিতিটি বুঝতে, আসুন একটি প্রাথমিক সরলীকরণ করা যাক। সাথে কাজ করে আমরা আরও অভিন্ন বৈশিষ্ট্য অর্জন করি$Y_i = X_i - q_i$

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

অর্থাৎ, প্রতিটি এর নেতিবাচক হওয়ার একই সম্ভাবনা রয়েছে। কারণ$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

জন্য সমীকরণের সমতুল্য$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

সহ ।$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

---

সম্ভাব্য মানগুলি কী কী ? বিবেচনা করুন যেখানে দুটি মানের সমস্ত সম্ভাবনার সাথে সবার একই বন্টন রয়েছে যার মধ্যে একটি নেতিবাচক ( ) এবং অন্যটি ইতিবাচক ( )। সমষ্টি সম্ভাব্য মান সীমাবদ্ধ জন্য । এর প্রতিটি সম্ভাব্যতার সাথে ঘটে$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

চরম খুঁজে পাওয়া যাবে

1. নির্বাচন এবং যাতে ; এবং এটি সম্পন্ন করবে। এটি গ্যারান্টি দেয় যে নেতিবাচক হবে কেবলমাত্র সমস্ত ইতিবাচক হলে। এই সুযোগটি সমান ।এটি যখন ছাড়িয়ে যায় , এর কোয়ান্টাইল বোঝায় অবশ্যই কঠোরভাবে নেতিবাচক হতে হবে।$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. নির্বাচন এবং যাতে ; এবং এটি সম্পাদন করবে। এটি গ্যারান্টি দেয় যে শুধুমাত্র তখনই নেতিবাচক হবে যখন সমস্ত নেতিবাচক থাকে। এই সুযোগের সমান । এটি চেয়ে কম যখন , এর কোয়ান্টিল বোঝায় অবশ্যই কঠোরভাবে ধনাত্মক হতে হবে।$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

এটি দেখায় যে এর কোয়ান্টাইলটি নেতিবাচক বা ধনাত্মক হতে পারে, তবে শূন্য নয়। এর আকার কি হতে পারে? এটা কিছু অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সমন্বয় সমান হয়েছে এবং । এই দুটি মানকে পূর্ণসংখ্যার তৈরি করা নিশ্চিত করে যে এর সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলি অবিচ্ছেদ্য। স্কেলিং করার পরে একটি অবাধ ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা , আমরা গ্যারান্টি পারেন যে সব অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সমন্বয় এবং এর অবিচ্ছেদ্য গুণিতক । যেহেতু , এটা অন্তত হওয়া আবশ্যক আকার । অতএব,$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$এর সম্ভাব্য মান (এবং এর কোথা ) সীমাহীন হয়$q_W$$q_Z$ কোন ব্যাপার কি সমান হতে পারে।$n\gt 1$

---

শুধুমাত্র সম্পর্কে কোন তথ্য আহরণ করা উপায় এর ডিস্ট্রিবিউশন নির্দিষ্ট এবং শক্তিশালী সীমাবদ্ধতা করতে হবে , প্রতিরোধ এবং ভারসাম্যহীন এই নেতিবাচক ফলাফলের আহরণ করার জন্য ব্যবহৃত ডিস্ট্রিবিউশন ধরন সীমাবদ্ধ হবে।$q_Z$$X_i$

Comments

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ @ হুবহু, ব্যাখ্যা এবং উদাহরণস্বরূপ উদাহরণের জন্য। উত্তরটি নেতিবাচক হলেও, আমি এটি অপ্রত্যাশিত বলতে পারি না was তারপরে আমি বিতরণের কোন পরিবারটি আমার ডেটা অনুসারে তা জানার চেষ্টা করব এবং এটির সাথে আমি যোগফলের পরিমাণটি বের করতে পারব কিনা তা দেখুন।

— আলবারজি