টানা 10 টি মাথা কি পরবর্তী টস লেজ হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায়?

Question

আমি অনুমান করি যে নিম্নলিখিতটি সত্য: একটি ন্যায্য মুদ্রা ধরে নেওয়া, একটি কয়েন টস দেওয়ার সময় এক সাথে পর পর দশটি মাথা পাওয়া পরবর্তী মুদ্রার টেইস হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায় না , যতই সম্ভাবনা এবং / অথবা পরিসংখ্যানগত জার্গনটি চারপাশে ছুঁড়ে দেওয়া হয় (পাঞ্জা মাফ করবেন)

কেসটি ধরে নিলে, আমার প্রশ্নটি হ'ল: কেহ কীভাবে কেসকে বোঝাতে পারব?

তারা স্মার্ট এবং শিক্ষিত কিন্তু তারা এই (যুক্তি) এর ডানদিকে থাকতে পারে তা বিবেচনা করতে আমি দৃ determined় সংকল্পবদ্ধ বলে মনে হচ্ছে।

Comments

তারা তাদের অবস্থান ধরে রাখতে কোন যুক্তি এনেছে? একটি মুদ্রার স্মৃতি নেই বলে আপনি হয়ত দৃষ্টি আকর্ষণ করতে পারেন। (অন্যথা, আপনি তাদের পরবর্তী টসে উপর বাজির অংকটা তাদের বাস্তব খাড়া মতভেদ দিয়ে শেখান পারে -। পুনরাবৃত্তি যতক্ষণ না তারা অর্থের একটি টন হারিয়েছে)

— এস Kolassa - পুনর্বহাল মনিকা

এটি জুয়ার্সের মিথ্যাচার

— ড্যান

তারা যা বলছে তা যদি সত্য হয় তবে আপনার মুদ্রার প্রতিটি ফ্লিপ রেকর্ড করতে হবে যেহেতু মুদ্রাটি এটি একটি "ন্যায্য মুদ্রা" কিনা তা জানার জন্য ঝুঁকেছিল

— মিকি মাউস

এখানে মূল কীটি এটি আসল মুদ্রা বা অনুমানকৃত কিনা। পরিসংখ্যানগুলিতে, 10 মাথা পাওয়ার অর্থ কিছুই নেই, এবং পরবর্তীটির সম্ভাবনা এখনও 50/50। বাস্তব জীবনে, 10 মাথা উল্টানো আমাকে মুদ্রা আরও ঘনিষ্ঠভাবে পরীক্ষা করতে চাইবে।

— anaximander

এই প্রশ্নটি আপনার বন্ধুর কাছে করুন: মনে করুন আমরা দশজন লোককে এক সাথে দশটি মুদ্রা ফ্লিপ করি যতক্ষণ না সমস্ত দশটি মাথা না আসে । যে মুহুর্তটি ঘটে - যা আপনি এক ঘণ্টারও কম সময়ে করতে পারতেন - আপনার একাদশ ব্যক্তির একাদশ মুদ্রা উল্টানো আছে। আপনার বন্ধুকে জিজ্ঞাসা করুন: সেই একাদশ ব্যক্তির লেজ ফ্লিপ হওয়ার সম্ভাবনা কি বেশি? যদি তারা হ্যাঁ বলে, তবে তাদের ব্যাখ্যা করুন যে মুদ্রায় ঝুঁকি রয়েছে এমন লোকেরা - ফুটবল দলগুলি কেন বলে - তাদের পক্ষে প্রতিকূলতাকে পরিবর্তন করতে এই কৌশলটি ব্যবহার করবেন না। যদি তারা না বলে, তাদের দুটি পরিস্থিতিটির মধ্যে আলাদা কি তা বোঝাতে দিন।

— এরিক লিপার্ট

Answer 1

তারা দৃ as়তার সাথে চেষ্টা করছে যে [...] যদি 10 টি মাথা হয়ে থাকে তবে ক্রমান্বয়ে পরবর্তীটি সম্ভবত একটি লেজ হবে কারণ পরিসংখ্যান বলছে এটি শেষ পর্যন্ত ভারসাম্য বজায় রাখবে

খুব নির্দিষ্ট অর্থে কেবলমাত্র একটি "ভারসাম্য রক্ষা"।

যদি এটি একটি মুদ্রা মুদ্রা হয়, তবে এটি এখনও প্রতিটি টসে 50-50 অবধি। মুদ্রা তার অতীত জানতে পারে না । এটি মাথা ছাড়ানোর অতিরিক্ত ছিল তা জানতে পারে না। এটি তার অতীতের ক্ষতিপূরণ দিতে পারে না। কখনও । এটি কেবল এলোমেলোভাবে মাথা হয়ে যায় বা একটি মাথার অবিচ্ছিন্ন সুযোগের সাথে লেজ থাকে।

তাহলে মধ্যে মাথা সংখ্যা এন = ঢ এইচ + + N টি tosses ( এন টি একটি ন্যায্য মুদ্রা জন্য মুদ্রার উলটা পিঠ সংখ্যা), এন এইচ / এন টি 1 সাহায্য করে, যেমন এন এইচ + + N টি চলে যায় অনন্ত .... তবে | n এইচ - এন টি | 0. আসলে যেতে না, এটি এছাড়াও অনন্ত যায়!$n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

অর্থাৎ কিছুই তাদের আরও বেশি করে তোলে to গণনাগুলি "ব্যালান্সিং আউট" করার দিকে ঝোঁক দেয় না । গড়পড়তা, মাথা এবং লেজগুলির গণনার মধ্যে ভারসাম্যহীনতা বৃদ্ধি পায়!

এখানে প্রতিটি 1000 টি টসসের 100 সেট ফলাফল, ধূসর ট্রেসগুলির সাথে প্রতিটি পদক্ষেপে লেজগুলির মাথা বিয়োগ সংখ্যার পার্থক্য দেখায়।

$n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

$\pm \sqrt{n}$$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$$\sqrt{n}$

$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

$n$$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

এটাই চলছে। সমতা থেকে ক্রমবর্ধমান-বৃহত্তর * এলোমেলো বিচ্যুতি এমনকি আরও বড় ডোনমিনেটর দ্বারা " ধুয়ে ফেলা " ।

* টিপিকাল পরম আকারে বাড়ছে

, মার্জিন মধ্যে ছোট অ্যানিমেশনের দেখুন এখানে

যদি আপনার বন্ধুটি বিনা সম্মতিতে থাকে তবে কিছু কয়েন টস করুন। প্রতিবার আপনি যখন একনাগাড়ে তিনটি মাথা বলবেন, পরবর্তী টসে (যা 50% এরও কম) তার মাথার সম্ভাবনার জন্য তাকে বা তার পক্ষে মনোনীত করুন যা তিনি মনে করেন যে তার যুক্তি দিয়ে ন্যায্য হতে হবে। আপনাকে অনুরূপ প্রতিক্রিয়া জানানোর জন্য তাদের জিজ্ঞাসা করুন (এটি হ'ল আপনি যদি মাথায় বাজি ধরেন তবে তিনি অবশ্যই 1: 1 এর চেয়ে কিছুটা বেশি দিতে ইচ্ছুক, যেহেতু তারা জোর দিয়েছিলেন যে লেজ বেশি হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে)। এটি অল্প পরিমাণ অর্থের জন্য প্রতিটিকে প্রচুর পরিমাণে বেটে সেট করা ভাল। (তারা যদি বাজির অর্ধেক অংশ নিতে না পারে সেজন্য যদি কিছু অজুহাত থাকে তবে অবাক হবেন না - তবে এটি কমপক্ষে নাটকীয়ভাবে পজিশনের সাথে যে ভক্তি প্রকাশ করেছে তা হ্রাস করতে পারে বলে মনে হয় না।)

[তবে, এই সমস্ত আলোচনা মুদ্রা ন্যায্য হওয়ার বিষয়ে পূর্বাভাস দেওয়া হয়েছে। মুদ্রাটি যদি সুষ্ঠু না হয় (50-50), তবে প্রত্যাশিত অনুপাত-পার্থক্য থেকে বিচ্যুততার আশেপাশে আলোচনার একটি আলাদা সংস্করণ প্রয়োজন হবে। 10 টোসে 10 মাথা থাকা আপনাকে পি = 0.5 এর অনুমান সম্পর্কে সন্দেহজনক করে তুলতে পারে। একটি উত্তোলিত মুদ্রা সুষ্ঠু - ওজনযুক্ত বা না - এর কাছাকাছি হওয়া উচিত, তবে বাস্তবে এখনও ছোট তবে শোষণমূলক পক্ষপাতিত্ব প্রদর্শন করা হয় , বিশেষত যদি এটির শোষণকারী ব্যক্তি পার্সিয়ান ডায়াকোনিসের মতো কেউ হয়। অন্যদিকে মুদ্রা কাটা , এক মুখের বেশি ওজনের কারণে পক্ষপাতের পক্ষে যথেষ্ট সংবেদনশীল হতে পারে]]

Comments

বাজি প্রমাণের জন্য, সম্ভবত 1 পি / 1 টি মুদ্রায় 2 £ / $ (আপনি যা কিছু ব্যবহার করুন) পান। পূর্ববর্তী বেটের সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে তাঁর অনুরোধ করা প্রতিকূলতার সাথে উপরের হিসাবে উল্লিখিত বাজি ধরুন, যতক্ষণ না আপনারা একজনের কাছে অন্যের সমস্ত অর্থ না থাকে। আপনি একবার তার অর্থ 100 বার নিলে তার পক্ষে তর্ক করা আরও শক্ত।

— জন গল্প

বাজি ধারণা জন্য +1। অর্থ হারানো একটি

— দৃinc়

আপনার শেষ বিবৃতিটি সম্পর্কে [একটি সামান্য মন্তব্য) in অ্যান্ড্রু গেলম্যানের মতে, অন্যায় মুদ্রা বলে কোনও জিনিস নেই ।

— হেনরিক

@ হেনরিক, আমি ইতিমধ্যে আমার পোস্টে সেই নিবন্ধটি লিঙ্ক করেছি। আপনি বাক্যটিতে অন্য লিঙ্কটি পরীক্ষা করতে পছন্দ করতে পারেন যার সাথে আমি এটি সংযুক্ত করছি। আপনি এটি বেশ শিক্ষণীয় মনে হতে পারে। যদিও মুদ্রাগুলি (খুব নির্দিষ্ট অর্থে গেলম্যান ইচ্ছা করে) "ন্যায্য" হতে পারে, অন্য অর্থে (আমার স্মরণে, একটি ধারণা যা ডায়াকনিস বারবার বিক্ষোভে শোষণ করতে সক্ষম হয় - দক্ষ যাদুকর পাশাপাশি পরিসংখ্যানবিদও) ফলাফলটি টসিং এটি ফেয়ার থেকে বেশ কিছুটা পথ হতে পারে।

— গ্লেন_বি

$n$$\sqrt n$

Answer 2

বিভ্রান্তি হ'ল কারণ তিনি ইতিমধ্যে কী ঘটেছে তা না দেখেই শুরু থেকেই সম্ভাবনাটি দেখছেন।

জিনিসগুলি সরল করতে দিন:

প্রথম ফ্লিপ:

T

এখন একটি টি এর সম্ভাবনা ছিল 50%, সুতরাং 0.5।

পরের ফ্লিপটি আবার টি হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 0.5

TT 0.5
TF 0.5

যাইহোক, প্রথম ফ্লিপ সম্পর্কে কি? আমরা যদি তা অন্তর্ভুক্ত করি তখন:

TT 0.25
TF 0.25

বাকি 50% এফ দিয়ে শুরু হয় এবং আবার টি এবং এফ এর মধ্যে একটি বিভাজনও রয়েছে again

এটি পর পর দশটি লেজ পর্যন্ত প্রসারিত করতে - আপনি ইতিমধ্যে যে সম্ভাবনাটি পেয়ে গেছেন তা 1/1024।

পরেরটি টি বা এফ হওয়ার সম্ভাবনা 50%।

তাই সুযোগ শুরু থেকে 11 মুদ্রার উলটা পিঠ এর 2048. সম্ভাব্যতা ইতিমধ্যে লেজ ফ্লিপ থাকার 10 বার আগামী উল্টানো হতে করবে একটি পুচ্ছ যদিও এখনও 50% জনের মধ্যে 1 জন হয়।

তারা 10 টির মধ্যে 1024 টির মধ্যে 1 টির মতো অন্য 1 টির অসতর্কতা প্রয়োগ করার চেষ্টা করছে, যখন বাস্তবে এটি ইতিমধ্যে ঘটেছে তাই এর সম্ভাব্যতা আর গুরুত্বপূর্ণ নয়।

এক টানা 11 টি লেজগুলি একটি মাথা অনুসারে 10 লেজের চেয়ে কম বা কম সম্ভাবনা থাকে।

11 টি ফ্লিপগুলি সমস্ত লেজ হওয়ার সম্ভাবনা সম্ভাবনা কম তবে এটি ইতিমধ্যে ঘটেছে বলে এর ফলে আর কিছু আসে যায় না!

Comments

আমি মনে করি এটি সত্যই পয়েন্ট উত্তরের সবচেয়ে বেশি। আমি মনে করি যে সমস্যাটির অংশটি হ'ল লোকেরা বরং এই দাবিতে প্যাডেন্টিক যে পরবর্তী কয়েনের মাথা হওয়ার সুযোগটি সর্বদা 50% থাকে যা স্পষ্টতই সত্য। আমি মনে করি এটি স্পষ্টভাবে স্পষ্ট যে লোকেরা যখন এটি 'অস্বীকার' করে, তারা স্পষ্টতই একসাথে 10 পাওয়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে কথা বলছে, কেবল 1 টি নয়। বিন্দুটি মানা করে যে এটি সম্ভবত এক সারিতে 10 টি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা কম less এটি 1 ফ্লিপ এ 1 মাথা পেতে খুব 'বিতর্ক' শেষ হবে।

— কিক

Answer 3

প্রতিক্রিয়াগুলি এখনও 50-50 যে পরবর্তী ফ্লিপ লেজ হবে ails

খুব সহজ ব্যাখ্যা: ক্রম অনুযায়ী 10 টি মাথা + 1 লেজ উল্টানোর প্রতিক্রিয়াগুলি খুব কম। তবে আপনি 10 টি মাথা পিছলে যাওয়ার পরে আপনি ইতিমধ্যে বেশিরভাগ প্রতিকূলতাকে পরাজিত করেছেন ... পরবর্তী মুদ্রা ফ্লিপের সাথে ক্রম শেষ করার আপনার 50-50 সম্ভাবনা রয়েছে।

Answer 4

আপনার তাদের বোঝানোর চেষ্টা করা উচিত যে পূর্ববর্তী ফলাফলগুলি যদি আসন্ন টসসগুলিকে প্রভাবিত করে তবে কেবল শেষ 10 টসগুলিই বিবেচনা করা উচিত ছিল না, তবে মুদ্রার জীবনে প্রতিটি টসই নেওয়া উচিত ছিল।

আমি মনে করি এটি একটি আরও যৌক্তিক পদ্ধতি।

Comments

এই. সাধারণ জ্ঞান হ'ল জুয়ার সমস্যা সমাধানের সর্বোত্তম উপায়, কারণ সাধারণ জ্ঞানই এর কারণ। এই উত্তরের মতো কিছু দিয়ে আপনার খণ্ডন শুরু করুন এবং তারা দ্রুত এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যাবে যে তারা নিজেরাই ভুল। তারপরে তারা সঠিক যুক্তিতে পুরোপুরি গ্রহণযোগ্য হবে।

— তালার্নু

কেন শুধু এই মুদ্রা? কেন প্রতিটি মুদ্রা কখনও টস করা হয় না?

— কলম্বে

Answer 5

এটি আসলে কোনও উত্তর নয় - আপনার সমস্যাটি মনস্তাত্ত্বিক, গাণিতিক নয়। তবে এটি সাহায্য করতে পারে।

sometimes$2^{10} \approx 10^3$

Answer 6

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ সুতরাং, সীমাতে, প্রথম 10 টি লেজগুলি মোটেই গুরুত্বপূর্ণ নয়, এর প্রভাব পরবর্তী সমস্ত টসস দ্বারা "ধুয়ে ফেলা" হয়। সুতরাং, সীমাবদ্ধতার ফলাফলটি ধরে রাখার জন্য "ভারসাম্য রক্ষা করার" দরকার নেই। গাণিতিকভাবে, এটি কেবল এই সত্যটি ব্যবহার করছে যে কোনও সংখ্যার ক্রমের সীমা (যদি উপস্থিত থাকে ...) কোনও সীমাবদ্ধ, প্রাথমিক বিভাগের উপর নির্ভর করে না ! সুতরাং আমরা নির্বিচারে সীমা প্রভাবিত না করে প্রথম দশ (বা প্রথম শত) টসসের জন্য ফলাফল নির্ধারণ করতে পারি। আমি আপনার জুয়াড়ি বন্ধুদের এটি ব্যাখ্যা করার উপায়টি অনুমান করি (সম্ভবত আরও সংখ্যা এবং উদাহরণ এবং কম বীজগণিত সহ ...) সেরা উপায় হতে পারে।

অন্য দিকটি হ'ল : দশটি টস টেইল করার পরে, কেউ কেউ সন্দেহ করতে শুরু করেন যে মুদ্রাটি ভাল কিনা, স্বাধীন, সমান সম্ভাবনা টসসের সাধারণ, সাধারণ মডেলের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। ধরে নিই যে "টসার" (টসিং করা ব্যক্তি) কোনওভাবে টসগুলি নিয়ন্ত্রণ করার প্রশিক্ষণ পায়নি, এবং সত্যই সত্যই টস করছে, লেজের সম্ভাবনা অবশ্যই অর্ধেক হতে হবে ( দেখুন এই জেলম্যান পেপার ))

সুতরাং অবশ্যই বিকল্প অনুমানের মধ্যে, মুদ্রা টসসের মধ্যে কিছুটা নির্ভরতা থাকতে হবে! এবং, এক নাগাড়ে দশটি লেজ দেখার পরে, প্রমাণগুলি হ'ল নির্ভরতাটি ইতিবাচক এক, যাতে একটি লেজ পরবর্তী মুদ্রা টস লেজ হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায়। কিন্তু তারপরে, বিশ্লেষণের পরে যুক্তিসঙ্গত উপসংহারটি হ'ল একাদশ টসের লেজ হওয়ার সম্ভাবনা বৃদ্ধি পেয়েছে , কমেছে না! সুতরাং উপসংহার, সেক্ষেত্রে আপনার জুয়াড়ির বন্ধুদের বিপরীতে ।

আমি মনে করি তাদের সিদ্ধান্তগুলি ন্যায়সঙ্গত করার জন্য আপনার খুব অদ্ভুত প্রকৃত মডেলের প্রয়োজন হবে।

Answer 7

ধরে নেওয়া মুদ্রা ফ্লিপগুলি স্বাধীন, এটি একটি পরিসংখ্যানবিদ থেকে অন্যটিতে প্রমাণ করা খুব সহজ। তবে, আপনার বন্ধুটি মুদ্রা ফ্লিপগুলি স্বাধীন বলে বিশ্বাস করে না বলে মনে হচ্ছে। স্বাধীন হিসাবে সমার্থক শব্দের চারপাশে ছোঁড়া ছাড়া অন্য উদাহরণস্বরূপ (মুদ্রার "স্মৃতি" নেই) আপনি তাকে প্রমাণ করতে পারবেন না যে মুদ্রা উল্টানো নিছক শব্দের যুক্তি দিয়ে স্বাধীন are আমি আপনার দাবিটি দৃ .় করার জন্য সিমুলেশনটি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি তবে সত্যি কথা বলতে, আপনার বন্ধু যদি মুদ্রা ফ্লিপগুলিকে বিশ্বাস করে না তবে আমি নিশ্চিত নই যে সে সিমুলেশন ফলাফলগুলিতে বিশ্বাস করবে।

Answer 8

ইতিমধ্যে প্রদত্ত কয়েকটি ব্যাখ্যা (@ টিমবি এবং @ জেমস কে দ্বারা) পুনঃস্থাপন করতে, একবার আপনি একবার 10 বার মুদ্রা উল্টিয়ে 10 টি মাথা পেয়ে গেলে , পরপর 10 টি মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা হুবহু 1.0! এটি ইতিমধ্যে ঘটেছে, সুতরাং ঘটনার সম্ভাবনা এখন স্থির।

আপনি যখন আপনার পরবর্তী ফ্লিপ (0.5) তে মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা দ্বারা এটির গুণ করবেন, আপনি ঠিক 0.5 পাবেন 0.5

সেই সময়ে এমনকি প্রতিকূলতার চেয়েও অন্য কোনও কিছুতে লেজের উপরে বাজি ধরে রাখা চুষে চুষার বাজি।

Answer 9

আসুন আমি বলি যে আমি নিশ্চিত যে মুদ্রাটি ন্যায্য। মুদ্রাটি যদি সঠিক ছিল তবে এক সারি 10 টি মাথা থাকার সম্ভাবনা হ'ল সুতরাং, তাত্পর্য হিসাবে একটি ঘন ঘন বিশেষজ্ঞ হিসাবে , আমাকে অবশ্যই : প্রত্যাখ্যানটি প্রত্যাখ্যান করতে হবে , এবং এই সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে : " কিছুর " সত্য। না, আমি জোর দিয়ে বলতে পারি না যে অন্য মাথাটি দেখার সম্ভাবনা এখনও

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

আমি বায়েশিয়ান পদ্ধতির প্রয়োগ করতে এবং আপনার অনুরূপ সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর জন্য এটি ছেড়ে দেব। আপনি heads মাথাগুলির পূর্বের সম্ভাবনাটি দিয়ে শুরু করবেন , তারপরে এটি পরপর 10 টি মাথা পর্যবেক্ষণ করে আপডেট করুন এবং আপনি কীভাবে heads মাথাগুলির উত্তরোত্তর সম্ভাবনা দেখতে পাবেন see$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

আপডেট আপ ওয়ার্কেলেনস উদাহরণটি দুটি উপায়ে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।

• আপনার বন্ধু THHTTHTTHT উপর বাজি ধরে, তারপরে 10 বার একটি মুদ্রা ফেলে এবং পেয়েছে: THHTTHTTHT। এই ক্ষেত্রে আপনি একনাগাড়ে 10 টি মাথা হিসাবে আশ্চর্য হবেন এবং একটি মুদ্রার ন্যায্যতা সম্পর্কে সন্দেহ করা শুরু করবেন। আপনি নিশ্চিত নন যে পরবর্তী টসে লেজের সম্ভাব্যতা সম্পর্কে কী ভাবেন, কারণ আপনার বন্ধুটি যা চান ঠিক তা পেতে সক্ষম হবেন বলে মনে হয়, এটি এলোমেলো নয়।
• আপনি একটি মুদ্রা 10 বার নিক্ষেপ করেছেন এবং এমন কিছু সংমিশ্রণ লক্ষ্য করেছেন যা টিএইচটিএইচটিএইচটিটিটি হয়েছে, আপনি দেখতে পাবেন যে এখানে 6 টি লেজ এবং 4 টি মাথা রয়েছে, যা , যা অবিস্মরণীয়। সুতরাং, পরবর্তী টসে একটি লেজের সম্ভাবনা সম্ভবত is , যেহেতু এর ন্যায্যতা নিয়ে সন্দেহ করার কোনও কারণ নেই।$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

এছাড়াও, কেউ যুক্তি দিতে পারে যে যদিও 0.001 একটি ছোট সম্ভাবনা, আপনি যদি 10 টি মুদ্রা 100,000 বার টস করেন তবে আপনি কয়েকটি 10-মাথা সংমিশ্রণ দেখতে বাধ্য bound সত্য, তবে এক্ষেত্রে আপনার মোট 1 মিলিয়ন কয়েন রয়েছে এবং আপনি ক্রমে কমপক্ষে 10-মাথা সংমিশ্রণটি সন্ধান করছেন। কমপক্ষে একটি 10-মাথা সংমিশ্রণ পর্যবেক্ষণের ঘনত্ববাদী সম্ভাবনা নিম্নরূপে গণনা করা হয়: সুতরাং, উপসংহার করবে দীর্ঘ কয়েক মাস ধরে একটি মুদ্রা 1 মিলিয়ন বার টস করে এবং 10-মাথা সংমিশ্রণ পর্যবেক্ষণ করা, এটি কোনও বড় বিষয় নয়, জিনিসগুলি ঘটে। তিনি পরবর্তী মাথার সম্ভাব্যতা সম্পর্কে তার প্রত্যাশাগুলিতে কোনও সামঞ্জস্য করবেন না এবং এটি 0.5 তে রেখে দেবেন

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

কম্পিউটার জনগণের জন্য যদি আপনার বন্ধুরা কম্পিউটার প্রোগ্রামার হয় তবে আমি খুঁজে পেলাম যে তাদের অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কে আবেদন করার সহজতম উপায় হল প্রোগ্রামিং through তাদের কয়েন টস পরীক্ষায় প্রোগ্রাম করতে বলুন। তারা কিছুটা ভাববে তারপর এরকম কিছু নিয়ে আসবে:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

আপনি তাদের জিজ্ঞাসা করব

এখানে এক সারি 10 টি হেড পরিচালনা করার জন্য আপনার কোডটি কোথায়? এটি প্রদর্শিত হয় যে আপনার কোডে প্রথম 10 লুপগুলিতে যা ঘটেছিল তা নির্বিশেষে, 11 তম টাসের মাথা হওয়ার 0.5 সম্ভাবনা রয়েছে।

যাইহোক, এই ক্ষেত্রে ফেয়ার কয়েন টসের জন্য আবেদন করে। কোডটি ফেয়ার কয়েন টস দিয়ে ডিজাইন করা হয়েছে। 10 টি মাথা থাকলেও, মুদ্রাটি সুষ্ঠু হওয়ার পক্ষে এটি খুব কমই।

Comments

তবে ওপি তার বন্ধুদের বোঝাতে চায়, এবং সেই বন্ধুরা বিশ্বাস করে যে অন্য মাথার পক্ষে সুযোগটি 1/2 এর চেয়ে কম হয় ।

— oerkelens

এইভাবে তাঁর প্রশ্নের ফ্রেম তৈরি করা এবং ব্যাখ্যা করা আপনার পক্ষে সুবিধাজনক। আপনি কি কখনও ন্যায্য মুদ্রার সাথে একটানা 10 টি মাথা দেখতে পেয়েছেন?

— আকসকল

আমি ফ্রেমিং করছি না, আমি পড়ছি :) প্রশ্নে বলা হয়েছে: একটানা 10 টি মাথা কি পরবর্তী টসের লেজ হওয়ার সম্ভাবনা বাড়ায়? , জুয়ার মিথ্যাচার। আপনার পদ্ধতির আকর্ষণীয়, তবে জবাব দেয় না কেন ন্যায্য মুদ্রার ক্ষেত্রে সম্ভাবনাটি এখনও 50/50 থাকবে :) একবারে মোটামুটি মুদ্রা সহ 10 টি মাথা একসাথে দেখার কথা বিবেচনা করে, আমি আপনাকে জিজ্ঞাসা করি যে আপনি নিম্নলিখিতটি দেখেছেন কিনা? সিরিজ: THHTTHTTHT? কারণ এটি এইচএইচএইচএইচইচএইচএইচএইচ দেখার মতো অসম্ভব is আশ্চর্যজনকভাবে যথেষ্ট, সেই সিরিজটির সাথে উপস্থাপিত, আপনার সূত্রটিও মুদ্রাটি অন্যায্য কিনা তাও সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত।

— oerkelens

@ ওরক্লেইনস, আপনার মন্তব্যে আমার উত্তর আপডেট করেছেন, ধন্যবাদ

— আকসকল

Answer 10

আদর্শ পরিস্থিতিতে উত্তরটি হয় না। প্রতিটি নিক্ষেপ আগে যা ঘটেছিল তার থেকে পৃথক। সুতরাং এটি যদি সত্যিই ন্যায্য মুদ্রা হয় তবে তাতে কিছু আসে যায় না। তবে আপনি যদি মুদ্রাটি ত্রুটিযুক্ত কিনা তা সম্পর্কে নিশ্চিত না হন (যা বাস্তব জীবনে ঘটতে পারে), লেজগুলির দীর্ঘ সিকোয়েন্স আপনাকে বিশ্বাস করতে পারে যে এটি অন্যায়।

Comments

না না না! "অন্যায্য মুদ্রা" বলে কোনও জিনিস নেই। এটি কেবল একটি পরিসংখ্যানের হ্যান্ডবুক আবিষ্কার। দেখুন: stat.columbia.edu/~gelman/research/published/diceRev2.pdf

— টিম

@ টিম মুদ্রার উভয় পক্ষের মাথা থাকলে কী হবে? আরও গুরুত্ব সহকারে, আপনি কী বলছেন তা আমি বুঝতে পারি। এমন কোনও মুদ্রা নেই যা খাঁটি দেখায় তবে ভারসাম্যহীন। আমি যে জানি না।

— নিকোলাস বাউরবাাকি

@ টিম ওয়েল, আমি গণিত করি, সুতরাং ধারণাটি বাস্তবসম্মত হলে আমি সত্যিই যত্নশীল নই! আমি কেবল উদাহরণের প্রয়োজনে এমন মুদ্রা রয়েছে বলে ভান করি। তবে ভবিষ্যতে, যদি আমাকে আবারও সম্ভাবনার তত্ত্বটি শেখাতে হয়, তবে আমি শিক্ষার্থীদের বলব যে বাস্তবে এই জাতীয় কয়েনের অস্তিত্ব নেই।

— নিকোলাস বাউরবাাকি

@ টিআইএম আইআরসি, সমস্ত ব্যবহারিক অভিপ্রায় এবং উদ্দেশ্যগুলির জন্য অন্যায্য মুদ্রা বলে কিছু নেই, তবে এর অর্থ এই নয় যে কোনও মুদ্রা যথাযথভাবে সুষ্ঠু। আপনার যদি সীমাহীন নমুনার আকার থাকে তবে আপনি নির্বিচারে ছোট "পরিসংখ্যানগতভাবে গুরুত্বপূর্ণ" পার্থক্যগুলি সনাক্ত করতে পারেন এবং কোনও সত্যিকারের বিশ্ব বস্তু এর তাত্ত্বিক মডেলের পরামর্শ মতো ঠিক আচরণ করে না ।

— ডিকরান মার্শুপিয়াল

@ ততক্ষণে যে রেফারেন্সটি বলে না যে সেখানে 'অন্যায্য মুদ্রা' নেই, এটি বিশেষত বলেছে যে একটি মুদ্রা উল্টানোর ক্ষেত্রে এটি অন্যায় নয় (এবং এটি এমনকি কোনও ব্যক্তির হাতকে অভিকর্ষ বলছে না), এবং এটি অভিজ্ঞতার সাথে প্রমাণিত হয়েছে শিক্ষার্থীদের দ্বারা কয়েন ফ্লিপিং সমীক্ষায় ডাইসের সাথে মুদ্রার তুলনা সঠিকভাবে করা যায় না, কারণ এটি দাবি করেছে যে পাশা ওজন করা যায়, তবে সেগুলি হাতে ফ্লিপ করার চেষ্টা করে না।

— ব্যবহারকারী -2147482637

Answer 11

এই উত্তরটি মন্টি হল সমস্যা সহ এই ধরণের সমস্ত প্রশ্নের জন্য কাজ করবে। তাদেরকে কেবল জিজ্ঞাসা করুন যে দশটি মাথার পরে একটি লেজ পাওয়ার পক্ষে বাধা কী বলে তারা মনে করেন। এগুলিকে কিছুটা ভাল (তাদের কাছে) খেলার জন্য অফার করুন তবে এখনও 50-50 মতবিরোধ রয়েছে। যে কোনও ভাগ্যের সাথে তারা কোনও কম্পিউটারকে ফ্লিপিং করতে দিতে সম্মত হবে যে ক্ষেত্রে আপনার পকেটে খুব দ্রুত অর্থের যোগান হবে। অন্যথায় এটি বেশি সময় নিবে তবে ফলাফলটি (অনিবার্যভাবে) একই।

Comments

+1 টি। অবশ্যই, আপনাকে প্রথমে দশটি মাথা একনাগাড়ে না আসা পর্যন্ত মুদ্রাটি ফ্লিপ করার জন্য যথেষ্ট ধৈর্য ধরতে হবে!

— শুক্র

হ্যাঁ, এবং এটি দেখার জন্য কে গড়পড়তা 2046 ফ্লিপগুলি অপেক্ষা করতে চায়?

— soakley

এবং সে কারণেই আমি বলেছিলাম যে সে ভাগ্যবান হলে তারা কম্পিউটার ফ্লিপ গ্রহণ করবে। তবুও, এটি এমপির প্রতি বিশ্বাসী ব্যক্তির জন্য নিখরচায় অর্থ এবং অবিশ্বাসীর জন্য একটি সস্তা পাঠ। আমি অবশ্যই কখনই প্রস্তাব করি নি যে অপশনটি তার দম ধরে রাখবে ইভেন্টটির জন্য অপেক্ষা করে। তদ্ব্যতীত, 10 সম্পর্কে কোনও যাদুকর কিছুই নেই, তাদের বিশ্বাস করতে হবে যে 9, 8, ... এমনকি এক সারিতে 2 টি মাথা প্রতিকূলতাকে প্রভাবিত করে। এখন মুদ্রা ফ্লিপ করার অপেক্ষার সময়টি যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হচ্ছে

— অ্যাজিনেস্কে

Answer 12

আপনি কিভাবে তাদের বোঝাতে হবে? একটি উপায় হ'ল বর্ণিত সঠিক সমস্যা থেকে ফলাফলের বিতরণ দেখানো।

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

Answer 13

ভালো করে দেখুন: ধরে আমরা ইতিমধ্যে আছে মাথা tosses - এর "সেখানে হচ্ছে" এর সম্ভাব্যতা নিয়ে খুব খুব বিরল ঘটনা । এখন আমরা আরও একটি টসের প্রস্তুতি নিই এবং এর আগে কী ঘটতে পারে তা নিয়ে চিন্তা করি:0.5 $10$$0.5^{10}$

• যদি লেজগুলি থাকে, তবে আমরা of এর সম্ভাব্যতা সহ ইভেন্টের অত্যন্ত বিরল সিরিজের রেকর্ডিং শেষ করি ;$0.5^{10}$
• যদি প্রধান হয় তবে পুরো সিরিজের সম্ভাবনা কিছুটা ছোট তবে এটি খুব ছোট নয়, ;$0.5^{11}$

এবং উভয়ের মধ্যে পার্থক্য কেবল একটি ন্যায্য মুদ্রা টস।

Comments

প্রথম বুলেটে, আপনি "ইভেন্ট" ঠিক কীটি উল্লেখ করেছেন?

— whuber

এমনকি "সেখানে থাকার জন্য" দুঃখিত, টাইপো

— কলমিনিয়ার

আপনি এগারো টাসসের নির্দিষ্ট অনুক্রমের জন্য কীভাবে obtain পাবেন? $0.5^{10}$

— whuber

0.5 ^ 10 * 1 ^ 1 আমি কেবল মহাবিশ্বে থাকি যেখানে আমরা কেবল এক সারিতে মোট মাথা যত্ন করি

— কুলেমিনিয়ার

আমি বুঝতে পারছি না। দশম মাথা পরে, পরবর্তী টসে অবতরণ শিরোনামের 50% সম্ভাবনা রয়েছে, তবে আপনি বলছেন যে এটি আসলে কিছুটা কম সম্ভাব্য ফলাফল। তুমি কি বলছ?

— স্মিগ