মিডিয়ান মানে কি এক ধরণের অর্থ, কিছুটা সাধারণকরণের জন্য?

Question

"গড়" ধারণাটি প্রচলিত গাণিতিক গড়ের চেয়ে অনেক বেশি বিস্তৃত ঘোরে; এটি মিডিয়ান অন্তর্ভুক্ত করার জন্য এখনও পর্যন্ত প্রসারিত না? তুলনা দ্বারা,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

আমি যে সাদৃশ্যটি আঁকছি তা হল অর্ধ-গাণিতিক গড়ের দ্বারা দেওয়া:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

তুলনা করার জন্য, যখন আমরা বলি যে পাঁচ আইটেমটি ডেটাসেটের মধ্যমা তৃতীয় আইটেমটি সমান, আমরা দেখতে পারেন সমতুল্য হিসাবে পাঁচটি (যা আমরা একটি ফাংশন দ্বারা চিহ্নিত পারে থেকে ডেটা র্যাঙ্কিং থেকে $f$ ); রূপান্তরিত তথ্যের গড় গ্রহণ (যা তিনটি); এবং তিনটি র‌্যাঙ্কযুক্ত ডেটা আইটেমটির মূল্য ফিরে পঠন (এক ধরণের $f^{-1}$ )।

জ্যামিতিক গড়, সুরেলা গড় এবং আরএমএসের উদাহরণগুলিতে, $f$ একটি স্থির ফাংশন ছিল যা বিচ্ছিন্নতার কোনও সংখ্যায় প্রয়োগ করা যেতে পারে। বিপরীতে, হয় র‌্যাঙ্ক বরাদ্দ করতে, বা মূল ডেটা থেকে র‌্যাঙ্কগুলি থেকে ফিরে কাজ করার জন্য (যেখানে প্রয়োজন সেখানে ইন্টারপোলটিং) পুরো ডেটা সেটটির জ্ঞান প্রয়োজন। তদুপরি আমি সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সংজ্ঞাটি পড়েছি, $f$ ক্রমাগত হওয়া দরকার। মাঝারিটি কি কখনও অর্ধ-গাণিতিকের বিশেষ কেস হিসাবে বিবেচিত হয় এবং যদি তাই হয় তবে $f$ সংজ্ঞা কীভাবে দেওয়া হয় ? বা মিডিয়ান কখনও কখনও "গড়" এর আরও কিছু বিস্তৃত ধারণার উদাহরণ হিসাবে বর্ণনা করা হয়? অর্ধ-গাণিতিক গড়টি কেবল একমাত্র জেনারালাইজেশন উপলভ্য নয়।

ইস্যুটির অংশটি পরিভাষাীয় (বিশেষত "কেন্দ্রীয় প্রবণতা" বা "গড়" এর বিপরীতে "মানে" এর অর্থ কী?)। উদাহরণস্বরূপ, জন্য সাহিত্যে ঝাপসা কন্ট্রোল সিস্টেম , একটি অ্যাগ্রিগেশন ফাংশন $F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$ সঙ্গে একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন $F(a,a)=a$ এবং $F(b,b)=b$ ; যার জন্য একটি সমষ্টি ফাংশন$\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$ সবার জন্য$x,y \in [a,b]$ একটি "গড়" (একটি সাধারণ অর্থে) বলা হয়। এই জাতীয় সংজ্ঞাটি বলা বাহুল্য, অবিশ্বাস্যভাবে প্রশস্ত! এবং এই প্রসঙ্গে মধ্যমকে প্রকৃতপক্ষে গড়ের এক ধরণের হিসাবে উল্লেখ করা হয়। [ 1 ] তবে আমি কৌতূহল বোধ করছি যে গড়ের কম বিস্তৃত বৈশিষ্ট্যগুলি এখনও মিডিয়াকে ঘিরে যথেষ্ট পরিমাণে প্রসারিত করতে পারে - তথাকথিতসাধারণীকরণের গড়টি$^{[1]}$(যা আরও ভাল "পাওয়ার মানে" হিসাবে বর্ণিত হতে পারে) এবং লেহেমার মানে না, তবে অন্যরাও হতে পারে। এটির জন্য মূল্যবান, উইকিপিডিয়া তার "অন্যান্য উপায়" এর তালিকায় "মিডিয়ান" অন্তর্ভুক্ত করেছে , তবে কোনও মন্তব্য বা উদ্ধৃতি ছাড়াই।

: গড়ের এই ধরণের বিস্তৃত সংজ্ঞাটি যথোপযুক্তভাবে দুটিরও বেশি ইনপুটগুলির জন্য প্রসারিত, অস্পষ্ট নিয়ন্ত্রণের ক্ষেত্রে আদর্শ বলে মনে হয় এবং মিডিয়ানকে মিডিয়ান হিসাবে বর্ণনা করার উদাহরণ অনুসন্ধানের জন্য ইন্টারনেট অনুসন্ধানের সময় বহুবার ছাঁটাই হয়; আমি উদাহরণস্বরূপ Fodor, JC, এবং Rudas, IJ (2009), "একত্রিতকরণের কিছু শ্রেণীর উপর যেগুলি Migrative হয়",IFSA / EUSFLAT কনফেরেশন উল্লেখ করব। (পৃষ্ঠা 653-656)। ঘটনাক্রমে, এইকাগজটিতেউল্লেখ করা হয়েছে যে "মিডিয়া" (মোয়েন)শব্দটির প্রথমদিককারব্যবহারকারীদের মধ্যে অন্যতমছিলেনকৌচি, কোর্স ডি'নালিজে দে ল'কোলে রোয়েলে পলিটেকনিউক, 1ère পার্টিতে; অ্যালগ্রেব্রিক (1821) বিশ্লেষণ করুন । পরবর্তী অবদানAczél,Chisini,$[1]$Kolmogorov এবং ডি Finetti এর "গড়" আরও সাধারণ ধারণা উন্নয়নশীল চেয়ে কোশি, Fodor, জে, এবং Roubens, এম (1995) মধ্যে স্বীকৃত হয় "এ উপায়ে অর্থপূর্ণতা উপর ", কম্প্যুটেশনাল এবং ফলিত গণিত জার্নাল , 64 (1) , 103-115।

Comments

আমি মনে করি পাটিগণিত গড়, মাঝারি এবং মোড আকরিক প্রায়শই সাধারণভাবে "গড়" হিসাবে ডাকা হয় এবং শব্দটি কখনও কখনও অস্পষ্টভাবে ব্যবহৃত হয়। পরিসংখ্যান সহ কীভাবে মিথ্যা বইটি পরিসংখ্যান সহ "মিথ্যা বলার" উদাহরণ হিসাবে এটি ব্যবহার করে। (আমি বুঝতে আপনার প্রশ্নের আরও সাধারণ তাই একটি মন্তব্য হিসাবে এটা পোস্ট।)

— টিম

@ টিম আমার কাছে অবৈজ্ঞানিক ধারণা রয়েছে যে "মোড" কে "গড়" হিসাবে উল্লেখ করা বিরল। তবে অবশ্যই "গড়" ব্যবহারের চারপাশে বিভ্রান্তির একটি বিশাল সংযোগ রয়েছে (যা মাঝে মাঝে "পাটিগণিত গড়" এর প্রতিশব্দ হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং অন্যান্য সময়ে কেন্দ্রীয় প্রবণতার এমন কিছু পদক্ষেপ অন্তর্ভুক্ত করে যা মোটেও অর্থ নয়) এবং "গড়" (যার মধ্যে রয়েছে) প্রযুক্তিগত দিক থেকে না করে সাধারণ ব্যবহার বেশিরভাগ ক্ষেত্রে তবে "গাণিতিক গড়" জন্য একচেটিয়াভাবে ব্যবহৃত হয় না)। ঘটনাচক্রে এটি "ইন্টারনেট " এর অন্যান্য অর্থের কারণে ইন্টারনেট অনুসন্ধানগুলির পক্ষে একটি শক্ত বিষয়ও !

— সিলভারফিশ

অর্থ (গাণিতিক, জ্যামিতিক, সুরেলা, চালিত, ঘৃণ্য, সংযুক্তি ইত্যাদি) "বিশ্লেষণমূলক গড়"। মিডিয়ান, কোয়ান্টাইলস, ট্যানটাইলগুলি "অবস্থানগত গড়" al র‌্যাঙ্কটি লগ, বর্গক্ষেত্র ইত্যাদির থেকে একেবারেই আলাদা কারণ এটি কোনও রূপের ইউনিট বৈকল্পিকের একঘেয়ে রূপান্তর এবং আনট্রান্সফর্মের কোনও পিছনের পথ নেই।

— ttnphns

BTW শব্দ "গড় সাধারণ" আচ্ছন্ন হয় en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean

— ttnphns

আপনি যদি গণনায় গণনার ওজন মঞ্জুরি দেন তবে মধ্যমা সহজেই এক ধরণের গড় হিসাবে গণ্য হতে পারে। একইভাবে, তবে অভিন্ন নয়, ছাঁটাই মানেই অবশ্যই একটি সীমাবদ্ধ বা সৌজন্যমূলক বিশেষ কেস হিসাবে মিডিয়ানদের অন্তর্ভুক্ত করে। stata-jorter.com/article.html?article=st0313 মোটামুটি সাম্প্রতিক পর্যালোচনা। $\sum_i w_i x_i, \sum_i w_i = 1$

— নিক কক্স

Answer 1

এখানে একটি উপায় যা আপনি কোনও মিডিয়ানকে "সাধারণ ধরণের গড়" হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন - প্রথমে সাবধানে অর্ডার পরিসংখ্যানের বিচারে আপনার সাধারণ গাণিতিক গড়টি সংজ্ঞায়িত করুন:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

তারপরে অন্য সাধারণ ওজন ফাংশনের সাথে সেই সাধারণ গড়ের অর্ডার পরিসংখ্যানকে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা "জেনারেলাইজড গড়" ধারণাটি পাই যা অর্ডারের জন্য অ্যাকাউন্ট।

সেক্ষেত্রে কেন্দ্রের সম্ভাব্য ব্যবস্থাগুলির একটি হোস্ট "সাধারণভাবে বিভিন্ন ধরণের মাধ্যম" হয়ে যায়। মিডিয়ানের ক্ষেত্রে, বিজোড় , ডাব্লু ( এন + 1 ) / 2 = 1 এবং অন্য সমস্ত 0 হয়, এবং এমনকি এন , ডাব্লু $n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$ ।$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

একইভাবে, যদি আমরা এম-অনুমানের দিকে নজর রাখি তবে অবস্থানের অনুমানগুলিও গণিতের গড়ের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে (যেখানে গড়ের জন্য, চতুর্ভুজ, line লিনিয়ার, বা ওজন-কার্যকারিতা সমতল), এবং মিডিয়ান সাধারণীকরণের এই শ্রেণিতেও পড়ে। এটি আগেরটির চেয়ে কিছুটা আলাদা সাধারণীকরণ।$\rho$$\psi$

আমরা 'গড়' ধারণাটি প্রসারিত করতে পারি এমন বিভিন্ন উপায়ে রয়েছে যা মিডিয়ানকে অন্তর্ভুক্ত করতে পারে।

Comments

ইহা খুব সুন্দর. এই উত্তরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, এবং যা প্রশ্নে উদ্ধৃত কাগজগুলিতে আলোচনা করা হয়েছে: অর্ডার ওয়েট এভারেজ, বা ওডব্লিউএ

— সিলভারফিশ

Answer 2

আপনি যদি বিন্দুটিকে চতুর্ভুজ ক্ষতির ফাংশন এসএসইকে ন্যূনতম হিসাবে বিবেচনা করেন, তবে মিডিয়ানটি হ'ল পয়েন্টটি লিনিয়ার লস ফাংশন এমএডি হ্রাস করা হয় এবং মোডটি হ'ল বিন্দুটিকে কিছুটা 0-1 ক্ষতি ফাংশন হ্রাস করে। কোনও রূপান্তর প্রয়োজন।

সুতরাং মিডিয়ান একটি ফ্র্যাচেট গড়ের উদাহরণ ।

Comments

: অ্যান্ডারসন @Mike: ওয়েল, এই শো সেই গণমাধ্যমেরই Frechet গড় (উইকিপিডিয়া নিবন্ধ দেখুন) en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean

— kjetil খ halvorsen

@ কেজেটিল চমৎকার! মিডিয়ান হ'ল ফ্র্যাচেটের গড়ের উদাহরণ হ'ল আমার প্রশ্নের ঠিক উত্তর "মিডিয়ান কি কখনও" মানে "এর আরও কিছু বিস্তৃত ধারণার উদাহরণ হিসাবে বর্ণনা করা হয়?" এবং মাইক অ্যান্ডারসনের কাছে +1। আমি আশা করি এই তথ্যটি উত্তরে সম্পাদিত হয়েছে।

— সিলভারফিশ

আমি উত্তরে @ কেজেটিলের মন্তব্য যুক্ত করেছি যাতে এটি "ফ্রাচেট মানে" এর জন্য কোনও অনুসন্ধান অনুসন্ধানে প্রদর্শিত হবে। আপনাদের দুজনকেই ধন্যবাদ।

— সিলভারফিশ 23

Answer 3

এক সহজ কিন্তু ফলপ্রসূ সাধারণীকরণ হয় ভরযুক্ত মানে , যেখানেΣ এন আমি = 1 Wআমি=1। স্পষ্টতই সাধারণ বা উদ্যানের মাঝারিটি সমান ওজনেরডাব্লুi=1/n এরসাথে সর্বাধিক সাধারণ বিশেষ কেস।$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

ওজনকে ছোট থেকে বড় পর্যন্ত আকারের মানের উপর নির্ভর করে, অন্যান্য বিভিন্ন বিশেষ ক্ষেত্রে নির্দেশ করে, উল্লেখযোগ্যভাবে একটি ছাঁটাইযুক্ত গড়ের ধারণা , যা অন্যান্য নামেও পরিচিত।

যেখানে প্রয়োজন নেই বা বিশেষত সহায়ক নয় সেখানে স্বরলিপি ব্যবহারের অতিরিক্ত ব্যবহার এড়াতে উদাহরণস্বরূপ ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মানগুলিকে উপেক্ষা করে অন্যের (সমান ওজনযুক্ত) অর্থ গ্রহণ করা কল্পনা করুন। বা কল্পনা করুন যে দুটি সবচেয়ে ছোট এবং দুটি বৃহত্তমকে উপেক্ষা করুন এবং অন্যদের গড় গ্রহণ করুন; এবং তাই এগিয়ে। সর্বাধিক জোরালো ছাঁটাইটি এক বা দুটি মাঝারি মানের ব্যতীত অন্য সবগুলিকে অগ্রাহ্য করবে, নির্ভর করে মানগুলির সংখ্যাটি বিজোড় বা এমনকি ছিল যা স্বাভাবিকভাবেই কেবল পরিচিত মিডিয়ান । ছাঁটাই করার ধারণার কোনও কিছুই আপনাকে কোনও নমুনার প্রতিটি লেজের সমান সংখ্যাকে উপেক্ষা করার প্রতিশ্রুতি দেয় না, তবে অসমোট্রিক ট্রিমিংয়ের বিষয়ে আরও কিছু বললে আমাদের এই থ্রেডের মূল ধারণা থেকে আরও দূরে সরিয়ে নেওয়া হবে।

সংক্ষেপে, অর্থ (অযোগ্য) এবং মিডিয়ানরা (প্রতিসাম্য) ছাঁটাইযুক্ত পরিবারের পরিবারের চরম সীমিত ক্ষেত্রে রয়েছে cases সামগ্রিক ধারণাটি হ'ল ডেটাতে সমস্ত তথ্য ব্যবহারের একটি আদর্শ এবং চূড়ান্ত ডেটা পয়েন্ট থেকে নিজেকে রক্ষা করার অন্য একটি আদর্শের মধ্যে আপসকে মঞ্জুরি দেওয়া, যা অবিশ্বাস্য বিদেশী হতে পারে।

মোটামুটি সাম্প্রতিক পর্যালোচনার জন্য এখানে রেফারেন্সটি দেখুন ।

Answer 4

প্রশ্নটি আমাদের সমস্ত সাধারণ উপায়কে বোঝার জন্য পর্যাপ্ত বিস্তৃত অর্থে "গড়" ধারণাটি চিহ্নিত করার জন্য আমন্ত্রিত করে - শক্তি মানে, মানে, মিডিয়ান, ছাঁটাই উপায় - তবে এত বিস্তৃতভাবে নয় যে ডেটা বিশ্লেষণের জন্য এটি প্রায় অকেজো হয়ে যায় । এই জবাবটিতে কয়েকটি অডিওগ্যাম্যাটিক বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে যা "গড়" এর কোনও যুক্তিসঙ্গতভাবে কার্যকর সংজ্ঞা থাকা উচিত।$L^p$

---

বেসিক অ্যাক্সিয়ামস

তথ্য বিশ্লেষণ করার উদ্দেশ্যে এর "গড়" একজন থেকে কার্যকররূপে বিস্তৃত সংজ্ঞা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত নির্ণায়ক ফাংশন কোনো ক্রম হবে জন্য একটি ⊂ আর এবং এন = 1 , 2 , ... যেমন যে$f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) সবার জন্য এক্স = ( x এর 1 , x 2 , ... , x এন ) ∈ একটি এন , (চরমে মধ্যে একটি গড় মিথ্যা)$\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) এর আর্গুমেন্টগুলি (মানে ডাটা ক্রম যত্ন সম্পর্কে না) এর একাধিক বিন্যাসন অধীনে পরিবর্তিত হয়, এবং$f_n$

(3) প্রতিটি এর প্রতিটি আর্গুমেন্টে nondecreasing হয় (সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে তাদের গড় হ্রাস করতে পারে না)।$f_n$

আমরা উচিত জন্য অনুমতি (যেমন সব ইতিবাচক সংখ্যার হিসেবে) বাস্তব সংখ্যার কারণ জ্যামিতিক উপায় হিসেবে মানে, প্রচুর, শুধুমাত্র যেমন সাব-সেট নির্বাচন উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি উপসেট যাবে।$A$

আমরা এটি যুক্ত করতে চাই

(1 ') কমপক্ষে কিছু $\x\in A$ যার জন্য (অর্থ চূড়ান্ত নয়)। (এটি আমাদের সর্বদা রাখার প্রয়োজন হয় না instance উদাহরণস্বরূপ, ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) এর মধ্যমান 0 এর সমান হয় যা সর্বনিম্ন is)$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

এই বৈশিষ্ট্যগুলি একটি "গড়" এর পিছনে ধারণাটি কিছুটা (অর্ডারযুক্ত) ডেটার একটি সেটের "মাঝারি মান" বলে মনে করে capture

ধারাবাহিকতা

আমি আরও কম সুস্পষ্ট ধারাবাহিকতা মাপদণ্ড আরোপ করার জন্য প্রলুব্ধ হই

(4.a) যেমন টি ব্যবধান সর্বত্র পরিবর্তিত হয় [ মিনিট ( এক্স ) , সর্বোচ্চ ( এক্স ) ] অন্তর্ভুক্ত চ এন ( এক্স ) । অন্য কথায়, একটি উপযুক্ত মান টি সংলগ্ন করে গড়টি অপরিবর্তিত রাখা সর্বদা সম্ভব$f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$একটি ডেটাসেটে। (3) এর সাথে একত্রে এটি সূচিত করে যে কোনও ডেটাসেটের সাথে চূড়ান্ত মানগুলি সংযুক্তিগুলি সেই চূড়ান্ততার দিকে অর্থ টানবে।

যদি আমরা কোনও বন্টন বা "অসীম জনসংখ্যার" গড়ের ধারণাটি প্রয়োগ করতে চাই , তবে একটি উপায় হ'ল এটি নির্বিচারে বৃহত এলোমেলো নমুনার সীমাতে প্রাপ্ত হওয়া। অবশ্যই সীমাটি সর্বদা বিদ্যমান না থাকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যখন বন্টনটির কোনও প্রত্যাশা থাকে না তখন এটি গাণিতিক অর্থের জন্য বিদ্যমান না)। অতএব আমি এ জাতীয় সীমাবদ্ধতার অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দিতে কোনও অতিরিক্ত অলঙ্কার চাপিয়ে দিতে চাই না, তবে নিম্নলিখিতটি প্রাকৃতিক এবং দরকারী বলে মনে হচ্ছে:

(4.b) যখনই বেষ্টিত করা হয়েছে এক্স এন একটি বিতরণ থেকে নমুনা একটি ক্রম এফ সমর্থিত একটি , তারপর সীমা চ এন ( এক্স এন ) প্রায় নিশ্চয় বিদ্যমান। নমুনার আকারগুলি আরও বড় হতে শুরু করে এমনকী এটি এ এর মধ্যে চিরকাল "আশেপাশে" বাধা দেয় ।$A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

একই লাইন বরাবর, আমরা নমুনা আকার বাড়ার সাথে সাথে এটি "অবস্থান" এর আরও ভাল অনুমানকারী হয়ে উঠতে বাধ্য করার একটি উপায়ের ধারণাটি আরও সংকুচিত করতে পারি:

(4.c) যখনই বেষ্টিত করা হয়, তাহলে এর স্যাম্পলিং বন্টন ভ্যারিয়েন্স চ এন ( এক্স ( এন $A$ একটি র্যান্ডম নমুনা জন্য এক্স ( এন ) = ( এক্স 1 , এক্স 2 , ... , এক্স এন ) এর এফ হয় nondecreasing in n ।$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

ধারাবাহিকতা axiom

আমরা জিজ্ঞাসা করার উপায়গুলি ডেটা সহ "সুন্দরভাবে" পরিবর্তিত হতে বিবেচনা করতে পারি:

(5) প্রতিটি যুক্তিতে পৃথকভাবে অবিচ্ছিন্ন থাকে (ডাটা মানগুলির মধ্যে একটি ছোট পরিবর্তন হ'ল তাদের হঠাৎ হঠাৎ লাফ দেয় না)।$f_n$

এই প্রয়োজনীয়তাটি কিছু অদ্ভুত সাধারণকরণগুলি মুছে ফেলতে পারে তবে এটি কোনও সুপরিচিত অর্থকে অস্বীকার করে না। এটি কিছু সংশ্লেষিত ক্রিয়াকে বাতিল করে দেবে।

একটি বিমূর্ত অক্ষর

অন্তর বা অনুপাতের ডেটা (স্টিভেন্সের সুপরিচিত অর্থে) এর প্রয়োগ হিসাবে আমরা উপায়গুলি ধারণা করতে পারি । আমরা দাবি করতে পারি না যে তারা স্থানটির শিফ্টের অধীনে অবিচ্ছিন্ন হয়ে উঠুক (জ্যামিতিক গড়টি নয়), তবে আমাদের প্রয়োজন হতে পারে

()) জন্য$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$ এবং সব λ > 0 , যার জন্য λ এক্স ∈ একটি এন । এটি কেবলমাত্র বলে যে আমরাআমাদের পছন্দ মতো পরিমাপের কোনও ইউনিট ব্যবহার করে চ n গণনা করতে মুক্ত।$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

প্রশ্নের মধ্যে উল্লিখিত সমস্ত মাধ্যম কিছু সংহত ফাংশন ব্যতীত এই স্বতঃসংশ্লিষ্টটিকে সন্তুষ্ট করে।

---

আলোচনা

সাধারণ অ্যাগ্রিগেশন ফাংশন , যেমন প্রশ্নে বর্ণিত, না না অগত্যা উপপাদ্য ব্যবহার (1 '), (2), (3), (5), অথবা (6) সন্তুষ্ট। তারা যে কোনও ধারাবাহিকতার অক্ষগুলি সন্তুষ্ট করছে কিনা তার উপর নির্ভর করে কীভাবে তারা এন > 2 এ প্রসারিত হবে ।$f_2$$n\gt 2$

সাধারণ নমুনা মিডিয়ান এই সমস্ত অ্যাক্সিয়োম্যাটিক বৈশিষ্ট্য উপভোগ করে।

আমরা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ধারাবাহিকতার অক্ষগুলি বাড়িয়ে তুলতে পারি

(4. ডি) সমস্ত এক্স ∈ এ এন এর জন্য$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

$100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

আমি জানি না কোনটি ধারাবাহিকতার অক্ষ (4a), (4.b), বা (4.c) সবচেয়ে আকাঙ্ক্ষিত বা দরকারী হবে। তারা স্বতন্ত্র বলে মনে হয়: আমি মনে করি না যে তাদের মধ্যে দু'জনই তৃতীয়কে বোঝায়।

Comments

(+1) আমি মনে করি (1 '), "মানে চূড়ান্ত নয়", একটি আকর্ষণীয় বিষয়। সর্বনিম্ন এবং বিশেষ বা সীমিত ক্ষেত্রে যেমন সর্বোচ্চ অন্তর্ভুক্ত করা ঘটতে অনেক গড় অন্যথায় প্রাকৃতিক সংজ্ঞা: এই সত্য ক্ষমতা মানে , Lehmer মানে , Fréchet গড় , Chisini গড় এবং Stolarsky গড় । যদিও এগুলিকে "গড়" হিসাবে উল্লেখ করা কিছুটা বিজোড় বলে মনে হচ্ছে না!

— সিলভারফিশ

হ্যাঁ, সীমাবদ্ধ কেসগুলি অনিবার্য। তবে সীমাবদ্ধ ডেটাসেটের জন্য আমরা জোর দিয়ে বলতে চাই যে সর্বোচ্চ বা নূন্যতম উভয়ই "মানে" হিসাবে যোগ্য নয়।

— whuber

অন্যদিকে, কেবল এটিই সত্য নয় যে "সাধারণ নমুনা মিডিয়ান এই সমস্ত অ্যাক্সিয়োমেটিক বৈশিষ্ট্য উপভোগ করে", তবে সাধারণ নমুনা কোয়ান্টাইলটি (যদি আমি কিছু মিস না করি) করি। এটি উদাহরণস্বরূপ উপরের চৌম্বকটিকে "গড়" হিসাবে উল্লেখ করতে কিছুটা অদ্ভুত বোধ করে (যদিও আমি এটি খুব স্কিউড ডেটার উপর কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ হিসাবে ব্যবহার করেছি)। আমরা যদি অন্য সমস্ত কোয়ান্টাইলগুলি গ্রহণ করি তবে মিনিমা এবং ম্যাক্সিমাকে স্বীকার করার জন্য এটি এতটা বিকৃত মনে হয় না। তবে আমি অবশ্যই দেখতে পাচ্ছি যে এগুলি বাদ দেওয়ার জন্য অন্ততপক্ষে অধিকার বজায় রাখা বাঞ্ছনীয় হতে পারে।

— সিলভারফিশ

কোয়ান্টাইলের মাধ্যমের উপায়ে প্রবেশের কারণে আমি বিচলিত হই না। সর্বোপরি, বিতরণগুলির জন্য নির্দিষ্ট পরিবারগুলির জন্য, নির্দিষ্ট কিছু নন-মিডিয়ান কোয়ান্টাইলগুলি গাণিতিক পদ্ধতির সাথে মিলিত হবে, তাই আপনি যদি এই সম্ভাবনাটি অক্ষতভাবে বাদ দেওয়ার চেষ্টা করেন তবে আপনি সমস্যায় পড়তে পারেন। (উদাহরণস্বরূপ ধ্রুবক জ্যামিতিক এসডি লগনের সাধারণ বিতরণের একটি পরিবারকে বিবেচনা করুন)) পাটিগণিতটি যদি গড় হিসাবে যোগ্যতা অর্জন করতে না পারে তবে সমস্ত ক্ষতি হয়!

— শুক্র

$n \gt 2$

— whuber

Answer 5

আমি মনে করি মিডিয়ানকে পাটিগণিত গড়ের এক ধরণের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। বিশেষত, পাটিগণিত গড় এবং মিডিয়েন (অন্যদের মধ্যে) চিসিনি মানে বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে একত্রিত করা যেতে পারে। আপনি যদি মানগুলির একটি সেটের উপর কিছু ক্রিয়াকলাপ করতে চলেছেন, চিসিনি মানে এমন একটি সংখ্যা যা আপনি সেটের মূল মানগুলির জন্য পৃথক করতে পারেন এবং এখনও একই ফলাফল পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি নিজের মানগুলি যোগ করতে চান তবে সমস্ত মানগুলি গাণিতিক গড়ের সাথে প্রতিস্থাপন করলে একই যোগফল পাওয়া যাবে। ধারণাটি একটি নির্দিষ্ট মান সেই সংখ্যার উপর একটি নির্দিষ্ট ক্রিয়াকলাপের প্রসঙ্গে সেটে সংখ্যার প্রতিনিধি। (এই চিন্তাভাবনার একটি আকর্ষণীয় নিদর্শন হ'ল যে একটি নির্দিষ্ট মান — পাটিগণিতের অর্থ কেবলমাত্র এই সংখ্যার সাথে আপনি নির্দিষ্ট কিছু করছেন বলে অনুমানের অধীনে প্রতিনিধি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে))

এটি মিডিয়ানের পক্ষে কম স্পষ্ট (এবং আমি লক্ষ করি যে মিডিয়ানটি চুসিিনীর অর্থ ওল্ফ্রাম বা উইকিপিডিয়ায় অন্যতম হিসাবে তালিকাভুক্ত নয় ) তবে আপনি যদি পদে পদে অপারেশন করতে দিয়ে থাকেন তবে মধ্যম একই ধারণাটির মধ্যে ফিট হতে পারে।

Comments

$M$$f(M,M,...,M)=f(x_1,x_2,...,x_n)$

এটি একটি ভাল প্রশ্ন, @ সিলভারফিশ, আমি সে সম্পর্কে ভাবছিলাম ;-)। আমার চিন্তাভাবনা আরও বেশি, আপনার প্রশ্নোত্তরে এবং মন্তব্যে আলোচনায়, ধারণাগত কাঠামোটি মনে হয় কীভাবে গড় পাবেন এবং কীভাবে ডেটাটি অর্থ থেকে ফিরে পাবেন; OTOH, আমার ফ্রেমিংটি হ'ল আমরা এর অর্থটি কীভাবে ব্যবহার করি: যেমন ডাব্লু / ন্যূনতম তথ্য হ্রাসের সংকীর্ণ প্রতিনিধিত্ব হিসাবে।

— গুং - মনিকা পুনরায়

$f$

@ সিলভারফিশ, আমি মঞ্জুরি দিচ্ছি যা আমার অবস্থানে কিছুটা সমস্যাযুক্ত গর্তের মতো বলে মনে হচ্ছে না।

— গুং - মনিকা পুনরায়

$(\bar{x}, \bar{x}, ..., \bar{x})$$\bar{x}$

Answer 6

প্রশ্নটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয়নি। আমরা যদি n এর দ্বারা বিভক্ত n সংখ্যার যোগফল হিসাবে গড়ের "রাস্তার" সংজ্ঞাটির সাথে একমত হই তবে আমাদের জমিটিতে একটি অংশ রয়েছে। আরও যদি আমরা কেন্দ্রীয় প্রবণতার পদক্ষেপগুলি দেখি তবে আমরা বলতে পারি যে গড় এবং মধ্যমা উভয়ই জেনারালাইজেশন তবে একে অপরের নয়। আমার পটভূমির কিছু অংশ প্যারামিমেট্রিক্সে নেই তাই আমি মিডিয়েন এবং এটি সরবরাহ করে এমন দৃ rob়তা, একঘেয়ে রূপান্তরকরণের অদম্যতা এবং আরও অনেক কিছু পছন্দ করি। কিন্তু প্রতিটি পরিমাপের উদ্দেশ্য অনুসারে এটির জায়গা রয়েছে।

Comments

আমাদের সাইটে আপনাকে স্বাগতম, বব। আমি বিশ্বাস করি যে আপনি যদি প্রশ্নটির শেষে পড়ে থাকেন - বিশেষত দীর্ঘতম সমান্তরাল অনুচ্ছেদ - আপনি আবিষ্কার করতে পারবেন যে এটি সুনির্দিষ্ট এবং সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত। (যদি না হয়, এটি একটি ভাল ধারণা হবে কি ব্যাখ্যা করতে আপনি "দ্বারা ভাল সংজ্ঞায়িত করা মানে।) আপনার মন্তব্য সত্যিই কি জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে ঠিকানায় মনে হচ্ছে না।

— whuber

আমি আসলে বব এর অনুভূতির সাথে সহানুভূতি জানাই যে প্রশ্নটি ভয়ঙ্করভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, এই অর্থে যে "মানে" ধারণাটির কোনও একক সংজ্ঞা নেই, তবে আমি যতটা সম্ভব পরিষ্কার করার জন্য যথাসাধ্য চেষ্টা করেছি। আমি আশা করি আমার সাম্প্রতিক সম্পাদনাটি বিষয়গুলিকে স্পষ্ট করতে সহায়তা করে।

— সিলভারফিশ

আমি যে কারণটি অনুভব করি তার কারণটি নিছক পরিভাষা ব্যতীত অন্য কিছু মূল্য রয়েছে (যাহাই হউক না কেন এর অর্থ কী? গড়ের সাধারণীকরণের পরিবারের সদস্য; ছাঁটাই গড়ার সীমাবদ্ধ কেস হিসাবে মিডিয়ায় নিক কক্সের উদাহরণটি খুব সুন্দর - এটি আপনার পছন্দমত "দৃust়তা" সম্পত্তিটির সাথে খুব সুন্দরভাবে জড়িত। ছাঁটাইযুক্ত পরিবারগুলির মধ্যে, "রাস্তার" গাণিতিক গড় এবং মধ্যবর্তীটি বিপরীত দিকে থাকে যার মধ্যে স্পেকট্রাম থাকে।

— সিলভারফিশ