চি-বর্গ পরিবর্তনের অসীম সংগ্রহের অর্ডার পরিসংখ্যান (যেমন, সর্বনিম্ন)?

এটি এখানে আমার প্রথমবার, সুতরাং আমি যদি কোনওভাবেই আমার প্রশ্নটি স্পষ্ট করতে পারি (দয়া করে বিন্যাসকরণ, ট্যাগগুলি, ইত্যাদি) দয়া করে আমাকে জানান। (এবং আশা করি আমি পরে সম্পাদনা করতে পারি!) আমি রেফারেন্সগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করেছি এবং প্রবর্তনটি ব্যবহার করে নিজেকে সমাধান করার চেষ্টা করেছি, তবে উভয় ক্ষেত্রেই ব্যর্থ হয়েছি।

আমি এমন একটি বিতরণকে সহজ করার চেষ্টা করছি যা স্বাধীনতার বিভিন্ন ডিগ্রি সহ স্বাধীন এলোমেলো ভেরিয়েবলের অগণিত অসীম সেটগুলির একটি অর্ডার পরিসংখ্যানকে হ্রাস করতে পারে বলে মনে হচ্ছে ; বিশেষত, স্বতন্ত্র মধ্যে সর্বনিম্ন মানের বিতরণ কী ? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

আমি বিশেষ ক্ষেত্রে আগ্রহী হব : ন্যূনতম (স্বতন্ত্র) বিতরণ কী ? $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

সর্বনিম্ন ক্ষেত্রে, আমি অসীম পণ্য হিসাবে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) লিখতে সক্ষম হয়েছি, তবে এটিকে আরও সহজ করতে পারি না। আমি যে এর সিডিএফ ব্যবহৃত $\chi^2_{2m}$ হয়

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$ (

m = 1

$m=1$ , এটি প্রত্যাশা 2 এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে বিতরণের সমতুল্যতা সম্পর্কে নীচের দ্বিতীয় মন্তব্যে নিশ্চিত হয়েছে) ন্যূনতম সিডিএফ এর পরে

হিসাবে লেখা যেতে পারে

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$ প্রোডাক্টের প্রথম পদটি কেবল

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$ , এবং "শেষ" শব্দটি

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ । তবে সেখান থেকে কীভাবে (সম্ভব হলে?) সরল করার উপায় আমি জানি না। বা সম্ভবত একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন পদ্ধতির ভাল।

আরেকটি সম্ভাব্য সহায়ক অনুস্মারক: $\chi^2_2$ প্রত্যাশা 2 একটি সূচকীয় বন্টন হিসাবে একই, এবং $\chi^2_4$ যেমন দুই exponentials, ইত্যাদি এর সমষ্টি

যদি কারও কৌতূহলী হয়, তবে আমি ধ্রুবকটির উপর রিগ্রেশনের ক্ষেত্রে এই পেপারে থিওরেম 1 সহজ করার চেষ্টা করছি ( $x_i=1$ সকলের জন্য )। ( যেহেতু আমি দ্বারা বহুগুণ আমার কাছে বিতরণের পরিবর্তে )) $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— ডেভিড এম কাপলান
সূত্র

না এই আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে?

— এমপিটিকাস

@ এমপিক্টাস: পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ। এটি একই রকম, বিভিন্ন হারের প্যারামিটারগুলির সাহায্যে এক্সপেনশিয়ালের পরিবর্তে আমার কাছে চি-স্কোয়ারগুলি রয়েছে স্বাধীনতার বিভিন্ন ডিগ্রি সহ (এবং এগুলির একটি অসীম সংখ্যা, সীমাবদ্ধ নয়)। এবং যখন হ'ল , তবে , নয়; এগুলি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র themselves (এবং আদর্শগতভাবে আমি একটি সাধারণ আদেশের পরিসংখ্যানের প্রত্যাশা করছি, যদিও মিনিটটি দুর্দান্ত শুরু হবে))

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— ডেভিড এম কাপলান

আমি সন্দেহ করি এর জন্য একটি বদ্ধ ফর্ম আছে। এটির একটি কৌতূহল বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে: যখন আইড পোইসন ( ) হয়, , তখন হ'ল সমস্ত ।

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

— শুক্র

@ হুইবার: পইসন প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করার সময় এটি সম্ভবত এতটা কৌতূহলজনক নয়, যা আমি যে সূত্রটি নিয়ে খেলছিলাম। যাক হতে IID র্যান্ডম ভেরিয়েবল সংশ্লিষ্ট পইসন প্রক্রিয়ার সঙ্গে rate হারের । যাক , , , ইত্যাদি তারপর স্বাধীন ও একটি পইসন প্রক্রিয়ার নিশ্চল স্বাধীন-বাড়তি সম্পত্তি দ্বারা, আমরা সেই ।

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল অবশ্যই: এটি দেখার একটি ভাল উপায়। কৌতূহলটি পয়েসন এবং গ্যামাসের মধ্যে সম্পর্কের নয়; ঘটনাটির বিবরণেই এটি নিহিত!

— whuber

উত্তর:

অসীম পণ্যের শূন্যগুলি পদগুলির শূন্যগুলির মিলন হবে। 20 তম মেয়াদে গণনা করা সাধারণ প্যাটার্নটি দেখায়:

জটিল শূন্যের প্লট

জটিল প্লেনের শূন্যগুলির এই প্লটটি বিভিন্ন চিহ্নের সাহায্যে পণ্যটিতে পৃথক পদগুলির অবদানকে পৃথক করে: প্রতিটি পদক্ষেপে, আপাত বক্ররেখা আরও প্রসারিত হয় এবং আরও একটি বাম বাঁকা শুরু করা হয়।

এই চিত্রটির জটিলতা প্রমাণ করে যে হুইটেকারের মতো ক্লাসিক পাঠ্যে জরিপ হিসাবে উচ্চতর বিশ্লেষণের সুপরিচিত ফাংশনগুলির (যেমন গামাস, থ্যাটাস, হাইপারজোমেট্রিক ফাংশন ইত্যাদি) হিসাবে প্রাথমিক ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে কোনও বন্ধ-ফর্ম সমাধান নেই solution ও ওয়াটসন )।

সুতরাং, সমস্যাটি আরও কার্যকরভাবে কিছুটা আলাদাভাবে উত্থাপিত হতে পারে : আদেশের পরিসংখ্যানগুলির বিতরণ সম্পর্কে আপনার কী জানতে হবে? তাদের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির অনুমান? কম অর্ডার মুহুর্ত? কোয়ান্টাইলগুলির প্রায় অনুমান? অন্যকিছু?

— whuber
সূত্র

কেন পণ্যটির শূন্যগুলি গুরুত্বপূর্ণ? আমার মনে হচ্ছে আমি তুচ্ছ কিছু অনুভব করছি।

— এমপিটকাস

@ এমপি শূন্য এবং খুঁটিগুলি ফাংশনের জটিলতা সম্পর্কে কিছু দেখায়। যুক্তিযুক্ত ফাংশনগুলির মধ্যে একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা রয়েছে। প্রাথমিক ফাংশনগুলিতে সাধারণত শূন্যের একটি লাইন থাকে যেমন , ইন্টিগ্রাল, ; সাধারণ "ট্রানসেন্টালেন্টাল" ফাংশনগুলির শূন্যগুলির কিছুটা আরও জটিল নিদর্শন রয়েছে, যেমন সমস্ত অ-ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার (গামা ফাংশনটির পারস্পরিক) বা পয়েন্টগুলির একটি জালিতে (থিটা ফাংশন এবং উপবৃত্তীয় ফাংশন)। এখানে প্রদর্শিত জটিল প্যাটার্নটি সুপারিশ করে যে এই পরিচিত ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে সিডিএফ প্রকাশ করা কঠিন বা অসম্ভব হবে।

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@ শুভ (১/২), ধন্যবাদ! জটিল প্লেনে জিরোদের বিভিন্ন ধরণের ফাংশনগুলির বিভিন্ন শ্রেণীর সম্পর্কে আমি জানতাম না; এটি খুব কার্যকর মনে হচ্ছে এবং আপনার গ্রাফটি আমার প্রশ্নের উত্তর বলে মনে হচ্ছে (যেমন ভঙ্গ করা হয়েছে)।

— ডেভিড এম কাপলান

@ হুইবার (২/২), এটি অন্য কাগজে প্রদত্ত একটি অনুমানকারীকে বিতরণ করার (জটিল) বিশেষ কেসটি পরীক্ষা করছিল। তারা বুটস্ট্র্যাপ ব্যবহার করে ন্যায়সঙ্গত করতে বিতরণের অস্তিত্ব ব্যবহার করেছিল; আমার উপদেষ্টা প্রস্তাবিত আমি বিতরণ আনুমানিক চেষ্টা করার চেষ্টা করুন। দেখে মনে হচ্ছে তাদের এই বিতরণটি এই বিশেষ মামলার জন্য বন্ধ রয়েছে (যেখানে আমি জানি এটি কী হওয়া উচিত), তাই আমি তার অনুদানের সময়সীমার পরে ডাব্লু / আমার পরামর্শদাতাকে পরীক্ষা করব; কিন্তু সম্ভাব্য, আমি একটি উচ্চ-অর্ডার সম্প্রসারণ নিতে চেষ্টা করতে চাই ম অর্ডার-STAT (দ্বারা বিভক্ত হিসাবে) , একটি আরো জটিল সেটিং। তা হলে আবার পোস্ট করবে; আবার ধন্যবাদ!

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— ডেভিড এম কাপলান

সর্বনিম্ন (স্বতন্ত্র) বিতরণ কী ? $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

প্রায় 6 বছর দেরীতে আসার জন্য ক্ষমা প্রার্থনা করছি। যদিও এখন ওপি সম্ভবত অন্যান্য সমস্যার দিকে এগিয়ে গেছে, প্রশ্নটি এখনও তাজা রয়ে গেছে, এবং আমি ভেবেছিলাম আমি কোনও ভিন্ন পদ্ধতির পরামর্শ দিতে পারি।

আমাদের দেওয়া হয়েছে যেখানে যেখানে পিডিএফ এর : $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

জন্য নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে সম্পর্কিত পিডিএফ এর এর একটি প্লট এখানে রয়েছে : $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

আমরা । $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

প্রতিবার যখন আমরা একটি অতিরিক্ত শব্দ যুক্ত করি তখন প্রান্তিক শেষ টার্মের পিডিএফ আরও এবং আরও ডানদিকে সরিয়ে নিয়ে যায়, যাতে আরও এবং আরও পদ যুক্ত করার প্রভাব কেবল কম এবং কম প্রাসঙ্গিক হয় না, তবে মাত্র কয়েকটি শর্তের পরে , প্রায় নগণ্য হয়ে যায় - নমুনা সর্বনিম্নে। এর অর্থ হল, বাস্তবে, কেবলমাত্র খুব অল্প সংখ্যক শর্তাবলীর পক্ষে আসলেই গুরুত্বপূর্ণ ... এবং অতিরিক্ত শর্তাদি (বা পদগুলির একটি অসীম সংখ্যার উপস্থিতি) নমুনা ন্যূনতম সমস্যার জন্য মূলত অপ্রাসঙ্গিক।

পরীক্ষা

এটি পরীক্ষা করার জন্য, আমি থেকে 1 পদ, 2 পদ, 3 পদ, 4 পদ, 5 পদ, 6 পদ, 7 পদ, 8 পদ, 9 টি পদ, এবং 10 শর্তাবলীতে। এই কাজের জন্য, আমি ব্যবহার করেছি থেকে ফাংশন mathStatica নমুনা কমপক্ষে PDF (নিরূপণ করা, এটা এখানে নির্দেশ অর্ডার পরিসংখ্যাত) আকারের একটি নমুনা , এবং পরামিতি যেখানে (পরিবর্তে স্থির হওয়া) : $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$

পদগুলির সংখ্যা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে এটি কিছুটা জটিল হয়ে যায় ... তবে আমি 1 টার্ম (1 ম সারি), 2 পদ (দ্বিতীয় সারি), 3 পদ (3 য় সারিতে) এবং 4 টি পদ উপরে আউটপুট দেখিয়েছি।

নিম্নলিখিত চিত্রটি নূন্যতম পিডিএফের তুলনা করে 1 শব্দ (নীল), 2 পদ (কমলা), 3 পদ এবং 10 পদ (লাল)। মাত্র 3 টি শর্তাবলীতে 10 টি শর্তাবলীর সাথে ফলাফলগুলি কতটা সমান তা লক্ষ্য করুন:

নিম্নলিখিত চিত্রটি 5 টি পদ (নীল) এবং 10 টি শর্ত (কমলা) এর সাথে তুলনা করে - প্লটগুলি এতটাই সমান, তারা একে অপরকে নির্মূল করে দেয় এবং কেউ পার্থক্যও দেখতে পায় না:

অন্য কথায়, পদগুলির সংখ্যা 5 থেকে 10 এ বৃদ্ধি করা স্যাম্পল ন্যূনতম বিতরণে প্রায় কোনও বিচক্ষণ দৃশ্য নয়।

অর্ধ-লজিস্টিক আনুমানিকতা

অবশেষে, নমুনা মিনিটের পিডিএফের একটি দুর্দান্ত সাধারণ আনুমানিকতা হ'ল পিডিএফ সহ অর্ধ-লজিস্টিক বিতরণ:

g (x) = \frac{2 e^{- x}}{{(e^{- x} + 1)}^{2}} for x > 0

$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$

নিম্নলিখিত চিত্রটি সঠিক পদার্থের সাথে 10 টি পদ (যা 5 টি পদ বা 20 টি শর্ত থেকে পৃথক নয়) এবং অর্ধ-লজিস্টিক আনুমানিক (ড্যাশড) সাথে তুলনা করে:

20 টি পদে বৃদ্ধি করা কোনও বিচ্ছিন্ন পার্থক্য করে না।

— wolfies
সূত্র