প্রায় নিশ্চিত রূপান্তরটি সম্পূর্ণ রূপান্তরকে বোঝায় না

Question

আমরা বলি $X_1, X_2, \ldots$ সম্পূর্ণ রূপান্তর $X$ যদি সবার জন্য $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$।

বোরেল ক্যান্তেলির সাথে লেমা সরাসরি প্রমাণ করে প্রমাণিত করে যে সম্পূর্ণ একীকরণটি প্রায় নিশ্চিত রূপান্তরকে বোঝায়।

আমি একটি উদাহরণ খুঁজছি প্রায় নিশ্চিত ছিল যে বোরেল কন্টেলির সাথে একত্রিত হওয়া প্রমাণিত হতে পারে না। এটি, এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম যা প্রায় অবশ্যই কিন্তু সম্পূর্ণরূপে রূপান্তর করে না।

Answer 1

দিন $\Omega=(0,1)$ বোরেল সিগমা-বীজগণিত সহ $\mathfrak{F}$ এবং অভিন্ন পরিমাপ $\mu$। নির্ধারণ করা

$$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$$

এবং $X_n(\omega)=0$অন্যথায়। দ্য$X_n$ সম্ভাব্যতার জায়গাতে স্পষ্টতই পরিমাপযোগ্য $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$।

কোন জন্য $\omega\in\Omega$ এবং সব $N \gt 1/\omega$ এটা কেস $X_n(\omega)=0$। সুতরাং, সংজ্ঞা অনুসারে, ক্রম$(X_n)$ রূপান্তর $0$ (প্রায় অবশ্যই না!)।

যাইহোক, যখনই $0 \lt \epsilon \lt 1$, $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$, কোথা থেকে

$$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$$

যা ।$\infty$

Comments

অনেক ধন্যবাদ!. দুটি মন্তব্য, instead পরিবর্তে সংজ্ঞা দেওয়ার কোনও কারণ আছে? ? দ্বিতীয়ত, এটি কি ? $$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$$ $$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$$ $\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— ম্যানুয়েল

1. কোন ভাল কারণ। আমি যখন এটির মধ্য দিয়ে চিন্তা করছিলাম তখন আমি শব্দটি একটি অনুস্মারক হিসাবে ব্যবহার করেছি যাতে এ জাতীয় পয়েন্টগুলিতে কনভার্সেশন নাও হতে পারে। 2. আমি টাইপো ঠিক করেছি, ধন্যবাদ। $\pm 1$$\lt$

— শুক্রবার

হয় স্বাধীন? তারা আমার কাছে মনে হয়, যা দ্বিতীয় বোরেল ক্যান্তেল্লি লেমা দ্বারা বোঝানো হয়েছিল যে কনভার্সেশনটি প্রায় নিশ্চিত নয়। $X_n$

— Rdrr

@ আরডিআর তারপর আপনার স্বাধীন নয় তা প্রদর্শন করতে কোনও সমস্যা হবে না। $X_n$

— হোবল