যখননিয়ত পরিবর্তনশীল হয়

Question

আমি জানি যে ক্রমাগত পরিবর্তনশীল ।$P[X=x]=0$

তবে আমি ভিজ্যুয়ালাইজ করতে পারছি না যদি , সম্ভাব্য সংখ্যা অসীম । এবং এছাড়াও কেন তাদের সম্ভাবনা সীমিতভাবে ছোট হয়?$P[X=x]=0$$x$

Comments

ক্রমাগত পরিবর্তনশীলের শর্তাধীন সম্ভাবনার

— শিঘান

সদৃশ হিসাবে এই প্রশ্নটি বন্ধ করতে ইতিমধ্যে দুটি ভোট রয়েছে। আমি রাজি নই। এটি একটি চমত্কার প্রাথমিক বিষয়, সম্ভবত ভবিষ্যতে আবার প্রদর্শিত হবে তাদের মধ্যে একটি, সুতরাং যদি এর প্রত্যক্ষ এবং উচ্চ মানের উত্তর থাকে তবে ভাল হবে, তাই আমরা ভবিষ্যতে এটি উল্লেখ করতে পারি। @ শি'আন কর্তৃক প্রদত্ত লিঙ্কটি নকল হিসাবে ছড়িয়ে দেওয়া হতে পারে তবে অনুসন্ধানের মাধ্যমে এটি বেশ সুনির্দিষ্ট এবং কঠিন। লিঙ্কটিও একটি বিস্তৃত উত্তর সরবরাহ করে না, যদিও এই হুমকি মনে হয় এরকম রূপান্তরিত হয়। আমি মনে করি এটি ভবিষ্যতের রেফারেন্স হিসাবে খোলা ছেড়ে দেওয়া উচিত।

— টিম

এটি এই পরিস্থিতির বিপরীতমুখী বিবেচনা করতে সহায়তা করতে পারে। যাক হতে কোনো দৈব চলক দিন কোনো ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা হতে। কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা থাকতে পারে যার জন্য , অন্যথায় - বিচ্ছিন্ন ইভেন্টগুলিতে এই সমস্ত সম্ভাবনা যুক্ত করে - আপনি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে মোট সম্ভাবনা কমপক্ষে \ এপসিলন + \ এপসিলন + \ সিডটস , যা শেষ পর্যন্ত 1 ছাড়িয়ে যায় । (এটি আসল সংখ্যার আর্কিমিডিয়ান সম্পত্তি )) এই যুক্তিটিতে কেবল তিনটি অক্ষর ব্যবহার করা হয়েছে : বিচ্ছিন্ন ইভেন্টগুলির সম্ভাবনা যুক্ত হয়, মোট সম্ভাব্যতা 1 হয় এবং আর্কিমেডিয়ান অ্যাকসিওম।$X$$\epsilon$$\omega$$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$$\epsilon+\epsilon+\cdots$$1$$1$

— হোয়বার

@ টিম আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি এই চিন্তাকে একটি উত্তর হিসাবে মন্তব্য না করে পোস্ট করেছি, কারণ এটি অসম্পূর্ণ: সীমাতে happens এপিসিলন \ থেকে 0 হিসাবে কী ঘটে তা ব্যাখ্যা করার প্রাথমিক উপায় আমি খুঁজে পাইনি $\epsilon\to 0$। মনে হচ্ছে এটি অসীম সেটগুলির কার্ডিনালিটির কিছু জ্ঞান প্রয়োজন।

— হোয়বার

@ শি'আন আমি সম্মত, তবে আপনার প্রস্তাবিত থ্রেডটি যথেষ্ট নকল নয়। এটি অনুসন্ধান করা একটি কঠিন জিনিস। আপনি সম্ভবত অন্যান্য থ্রেড সম্পর্কে সচেতন যা এই প্রশ্নের সদৃশ হয়?

— whuber

Answer 1

সম্ভাবনাগুলি পর্যবেক্ষণের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির মডেল । যদি একটি ইভেন্ট ট্রায়ালগুলিতে বার সংঘটিত হতে দেখা যায় , তবে এর আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিটি এবং এটি সাধারণত বিশ্বাস করা হয় যে এর সংখ্যার মান উপরের অনুপাতটি নিকটতম সমীকরণ, যখন "বড়" থাকে যেখানে "বৃহত্তর" বলতে যা বোঝায় তা পাঠকের কল্পনা (এবং বিশ্বাসযোগ্যতা) পর্যন্ত সবচেয়ে ভাল থাকে।$A$$N_A$$N$

$$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$$ $P(A)$ $N$

এখন, এটা পরিলক্ষিত হয়েছে যে যদি আমাদের মডেল একটি ক্রমাগত দৈব চলক যে হয়, তাহলে নমুনা হয় স্বতন্ত্র সংখ্যা। সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি (বা আরও মূলত, ঘটনা ) হয় যদি এর একটিতে মান , বা সমস্ত আলাদা হয় তবে হয় থেকে । যদি আরও সংশয়ী পাঠক অতিরিক্ত নমুনা সংগ্রহ করেন তবে ইভেন্টের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি either হয়$X$$X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$$N$$x$$\{X = x\}$$\frac 1N$$x_i$$x$$\frac 0N$$x_i$$x$$N$$\{X=x\}$$\frac{1}{2N}$ বা অবধি মান উপভোগ করতে । সুতরাং, কেউ অনুমান করতে প্ররোচিত হয় যে মান নির্ধারণ করা উচিত যেহেতু এটি পর্যবেক্ষিত আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিটির জন্য একটি ভাল অনুমান।$\frac 0N$$P\{X = x\}$$0$

দ্রষ্টব্য: উপরোক্ত ব্যাখ্যাটি (সাধারণত) সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান প্রয়োগে আগ্রহী প্রকৌশলী এবং অন্যদের জন্য সন্তোষজনক (যেমন যারা বিশ্বাস করেন যে সম্ভাবনার অক্ষগুলি তত্ত্বকে বাস্তবের একটি ভাল মডেল হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল ) তবে সম্পূর্ণ অসন্তুষ্টিজনক অন্য অনেকের কাছে। খাঁটি গাণিতিক বা পরিসংখ্যানগত দৃষ্টিকোণ থেকে আপনার প্রশ্নের কাছে আসা এবং প্রমাণ করা সম্ভব যে মান হওয়া আবশ্যক, যখনই সম্ভাবনার অক্ষগুলি থেকে যৌক্তিক ছাড়ের মাধ্যমে একটি ক্রমাগত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল হয়, এবং কোনও রেফারেন্স ছাড়াই আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি বা শারীরিক পর্যবেক্ষণ ইত্যাদি।$P\{X = x\}$ $0$$X$

Comments

+1 "দ্রষ্টব্য: উপরোক্ত ব্যাখ্যাটি ... সন্তুষ্টিজনক ... যারা বিশ্বাস করেন যে সম্ভাবনার সূত্রগুলি তত্ত্বকে বাস্তবের একটি ভাল মডেল হিসাবে তৈরি করার জন্য বেছে নেওয়া হয়েছিল), তবে সম্পূর্ণ অসন্তুষ্টিজনক ..." ইন্টারনেটের পছন্দের শব্দচয়ন, লোল।

— গুং - মনিকা পুনরায়

আমি বুঝতে পারছি না আপনি কি বলতে চাইছেন দ্বারা না এটা পরিলক্ষিত হয়েছে যে যদি একটানা, তারপর ...$X$ । কীভাবে আমরা তা পর্যবেক্ষণ করতে পারি?

— স্টাফেন লরেন্ট

@ স্টাফেনলরেন্ট এই বাক্যটি কিছুটা জটিল, তাই এটি পুনরায় পড়ার মতো। কিছু বন্ধনীসমন্বিত মন্তব্য ছিনতাই, এটা বলছেন "এটা লক্ষ্য করা গেছে যে ... নমুনা ... হয় স্বতন্ত্র সংখ্যা।" অন্য কথায়, যখন কেউ ধরে নেয় যে এর অবিচ্ছিন্ন বিতরণ রয়েছে , তখন (প্রায় অবশ্যই) এর কোনও সীমাবদ্ধ আইড নমুনায় কোনও নকল থাকবে না । এটি গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে: এটি নিছক পর্যবেক্ষণ নয়। এক্স$N$$X$$X$

— হুবুহু

@ স্টাফেনলরেন্ট আমি মনে করি দিলীপের মন্তব্যগুলি তার চেয়ে আলাদা মনোভাব নিয়ে তৈরি হয়েছে। এই উত্তরটি গাণিতিকভাবে কঠোর বিক্ষোভ প্রদর্শনের চেষ্টা নয়, তবে ওপিতে ধাঁধা দেওয়ার সত্যের জন্য কিছু অন্তর্দৃষ্টি এবং অনুপ্রেরণা সরবরাহ করার জন্য। আমি এই পদ্ধতির দ্বারা উত্সাহিত কারণ এটির বিপর্যয়যুক্ত সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রথাগতভাবে শিক্ষানবিশদের শেখানো এবং পরিমাপ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে সম্ভাবনার আরও সমৃদ্ধ সাধারণ তত্ত্বের মধ্যে ব্যবধানটি সরিয়ে দেওয়ার এই সম্ভাবনা রয়েছে।

— হুবুহু

@ যাহা আমি আত্মাকে বুঝি, তবে প্রথম নজরে আমি নিশ্চিত হইনি যে নো-সম্পর্ক সম্পত্তি হ'ল শূন্য সম্ভাবনার সম্পত্তি থেকে বেশি স্বজ্ঞাত। জন্য এটি আসলে একই জিনিস: " " । এক্স 2  কখনই এক্স 1$N=2$$x_2 \text{ is never } x_1$$\iff$ $\Pr(X_2=x_1)=0$

— স্টাফেন লরেন্ট

Answer 2

Let এর অন্তর্নিহিত সম্ভাবনার স্থান হোক। আমরা বলি যে একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন an সম্ভাব্যতা পরিমাপ করলে ওভার দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় তবে একেবারে অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল , এর বিতরণ হিসাবে পরিচিত , লেবেসগু পরিমাপ দ্বারা প্রভাবিত হয় , এই অর্থে যে প্রতিটি বোরেল সেট , যদি , তবে । এই ক্ষেত্রে, রেডন-নিকডোডিম উপপাদ্য আমাদেরকে বলে যে একটি পরিমাপযোগ্য$(\Omega,\mathscr{F},P)$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$\mu_X$$(\mathbb{R},\mathscr{B})$$\mu_X(B)=P\{X\in B\}$$X$$\lambda$$B$$\lambda(B)=0$$\mu_X(B)=0$$f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, প্রায় সর্বত্র সমতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত, যেমন । আসুন একটি ধর্তব্য উপসেট হতে । যেহেতু countably যুত হয়, । তবে প্রতিটি । আসল সংখ্যার আর্কিমেডিয়ান সম্পত্তিটির কারণে, যেহেতু the , বৈষম্য প্রতিটি রাখে এবং যদি কেবলমাত্র$\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$$B=\{x_1,x_2,\dots\}$$\mathbb{R}$$\lambda$$\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

$$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$$ $n\geq 1$$\lambda(\{x_i\})\geq 0$$(*)$$n\geq 1$$\lambda(\{x_i\})=0$ , যে ing প্রেরণা দেয় । ধরে নেওয়া নিরঙ্কুশ ধারাবাহিকতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ।$\lambda(B)=0$$X$$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

Comments

অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল একেবারে অবিচ্ছিন্ন হওয়ার দরকার নেই (এটির কোনও ঘনত্ব থাকতে পারে না

— ঝাঁকশিওনগ

অর্থহীন কিছু। "ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবল" "একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা লেবেসগু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন" এর একটি অনানুষ্ঠানিক নাম। সুতরাং, রেডন-নিকডিম গ্যারান্টি দেয় যে একটি ঘনত্ব বিদ্যমান। একটি একক বিতরণ (উদাহরণস্বরূপ ক্যান্টর) সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল একটি আলাদা জিনিস। আপনি আপনার বোগাস মন্তব্য সহ সম্ভাব্য শিক্ষার্থীদের বিভ্রান্ত করছেন।

— জেন

আপনি যখন কারও সমালোচনা করেন, দয়া করে আপনার উল্লেখ করা উদ্ধৃতিটি প্রদর্শন করুন। কোন সম্ভাব্য পাঠ্যপুস্তক বলেছিল যে "কন্টিনিউস র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল" "একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল যা লেবেসগু পরিমাপের ক্ষেত্রে একেবারে ধারাবাহিক" এর অনানুষ্ঠানিক নাম ? উপরন্তু, এর ঘনত্ব রয়েছে প্রয়োজন ছাড়াই এই সমস্যার সমাধান করা যেতে পারে , নীচে আমার প্রমাণটি দেখুন। $X$

— ঝাঁসসিওনগ

উইকিপিডিয়া আপনার সাথে একমত নন, @ সোলটারি: " একটি অবিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বন্টন হ'ল সম্ভাব্যতা বন্টন যার একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্যকারিতা থাকে। গণিতবিদরাও এ জাতীয় বিতরণকে একেবারে অবিচ্ছিন্ন বলে [[]]" "

— অ্যামিবা

Answer 3

এফ পি ( এক্স = এক্স ) = $X$ একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল মানে এর বিতরণ ফাংশন অবিচ্ছিন্ন । এটি আমাদের একমাত্র শর্ত তবে যা থেকে আমরা সেই ।$F$$P(X = x) = 0$

প্রকৃতপক্ষে, ধারাবাহিকতায় , আমরা প্রতি for এর জন্য পেয়েছি , সুতরাং: $F$$F(x) = F(x-)$$x \in \mathbb{R}^1$

$$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$$

Comments

যদি কোনও আরভি এর বিতরণটি ক্যান্টর হয় তবে এর বিতরণ কার্য ক্রমাগত হয় তবে একক র্যান্ডম ভেরিয়েবল; এটি একটি ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়। $X$$X$

— জেন

আমার বন্ধু, এটি আসলে আপনার নিজের জবাবের পাল্টা নমুনা হতে পারে, আমার নয়। এই জাতীয় একক অবিচ্ছিন্ন আরভি এর অস্তিত্ব যেহেতু , নিরঙ্কুশ ধারাবাহিক আরভি এবং একক অবিচ্ছিন্ন আরভি পৃথক করা প্রয়োজন , যদিও তাদের বিতরণ কার্যগুলি সমস্ত অবিচ্ছিন্ন। অবিচ্ছিন্ন আরভি এবং পরম অবিচ্ছিন্ন আরভি সমান করা অস্পষ্ট।

— Zhanxiong

এটা না, তবে আপনি শুনবেন না, বন্ধু।

— জেন

যাইহোক, আপনি আসলে "প্রমাণ করছেন" যে যদি প্রতি জন্য , তবে প্রতিটি । এক্স পি ( এক্স = এক্স ) = 0 $P(X=x)=0$$x$$P(X=x)=0$$x$

— জেন