যদি স্বাধীন বিটা হয় তবে এছাড়াও বিটা হয় তা দেখান

এখানে কয়েক বছর আগে আমাদের বিশ্ববিদ্যালয়ে একটি সেমিস্টার পরীক্ষায় এসেছিল এমন একটি সমস্যা যা আমি সমাধানের জন্য লড়াই করছি।

যদি $X_1,X_2$ স্বতন্ত্র $\beta$ ঘনত্বগুলির সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি থাকে $\beta(n_1,n_2)$ এবং $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ যথাক্রমে দেখায় যে $\sqrt{X_1X_2}$ অনুসরণ করে $\beta(2n_1,2n_2)$ ।

of এর ঘনত্ব $Y=\sqrt{X_1X_2}$ নিম্নরূপ: এটি পেতে আমি জ্যাকবীয় পদ্ধতি ব্যবহার

চ_{ওয়াই} (Y) = \frac{4 Y^{2 {এন}_{1}}}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + \frac{1}{2}, {এন}_{2})} \int_{Y}^{1} \frac{1}{{এক্স}^{2}} (1 - {এক্স}^{2})^{{এন}_{2} - 1} (1 - \frac{Y^{2}}{{এক্স}^{2}})^{{এন}_{2} - 1} ঘ এক্স

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

আমি আসলে এই সময়ে হারিয়েছি। এখন, মূল কাগজে, আমি দেখতে পেলাম যে একটি ইঙ্গিত সরবরাহ করা হয়েছিল। আমি ইঙ্গিতটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি কিন্তু পছন্দসই অভিব্যক্তিগুলি অর্জন করতে পারলাম না। ইঙ্গিতটি নিম্নরূপ ভারব্যাটিম:

ইঙ্গিত: আহরণ ঘনত্ব জন্য একটি সূত্র $Y=\sqrt{X_1X_2}$ দেওয়া ঘনত্বের দিক থেকে $X_1$ এবং $X_2$ এবং সঙ্গে পরিবর্তনশীল পরিবর্তনের ব্যবহারের চেষ্টা $z=\dfrac{y^2}{x}$ ।

সুতরাং এই মুহুর্তে, আমি পরিবর্তনশীল এই পরিবর্তন বিবেচনা করে এই ইঙ্গিতটি ব্যবহার করার চেষ্টা করি। তাই আমি পেয়েছি, যা জন্য লেখার জন্য )

চ_{ওয়াই} (Y) = \frac{4 Y^{2 {এন}_{1}}}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + \frac{1}{2}, {এন}_{2})} \int_{Y^{2}}^{Y} \frac{{z- র}^{2}}{Y^{4}} (1 - \frac{Y^{4}}{{z- র}^{2}})^{{এন}_{2} - 1} (1 - Y^{2} । \frac{{z- র}^{2}}{Y^{4}})^{{এন}_{2} - 1} \frac{Y^{2}}{{z- র}^{2}} ঘ z- র

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

চ_{ওয়াই} (Y) = \frac{4 Y^{2 {এন}_{1}}}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + \frac{1}{2}, {এন}_{2})} \int_{Y^{2}}^{Y} \frac{1}{Y^{2}} (1 - \frac{Y^{4}}{{এক্স}^{2}})^{{এন}_{2} - 1} (1 - \frac{{এক্স}^{2}}{Y^{2}})^{{এন}_{2} - 1} ঘ এক্স

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

আমি কীভাবে এগিয়ে যেতে জানি না। আমি নিশ্চিতও নই যে আমি ইঙ্গিতটি সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করছি। যাইহোক, বাকি ইঙ্গিতটি এখানে যায়:

দেখুন যে পরিবর্তনশীল of এর পরিবর্তন ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় ঘনত্বটি করে দুটি উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে এখন সংহতকরণের পরিসরকে এবং এবং লিখুন এবং নিয়ে এগিয়ে যান । $z=\dfrac{y^2}{x}$
$চ_{ওয়াই} (Y) = গ ণ এন গুলি টি একটি এন টি । Y^{2 {এন}_{1} - 1} \int_{Y^{2}}^{1} (1 - \frac{Y^{2}}{এক্স})^{{এন}_{2} - 1} (1 - এক্স)^{{এন}_{2} - 1} (1 + + \frac{Y}{এক্স}) \frac{1}{\sqrt{এক্স}} ঘ এক্স$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

ঠিক আছে, সত্যই, আমি বুঝতে পারি না কীভাবে কেউ এই সঙ্কেতগুলি ব্যবহার করতে পারে: মনে হয় আমি কোথাও পাচ্ছি না। সাহায্য প্রশংসা করা হয়। আগাম ধন্যবাদ.

— ল্যান্ডন কার্টার
সূত্র

আমি একটি অনুরূপ সমস্যা দেখেছি যার আগে আমি কয়েকটি উল্লেখ সংকলন করেছি। দেখুন arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— সিড

@ সিড দুঃখিত, তবে আমি এই সমস্যাগুলিকে সেই তথ্যসূত্রগুলিতে বা অনুরূপ কিছুতে খুঁজে পাইনি। আপনি কি দয়া করে জায়গাগুলি নির্দেশ করতে পারেন? ধন্যবাদ !!

— ল্যান্ডন কার্টার

আপনি কি নিশ্চিতভাবেই জ্যাকবীয় পদ্ধতি সঠিকভাবে প্রয়োগ করেছেন? আমি যদি এটি করি তবে আমি পেয়েছি: আমার মনে হয় দ্বিগুণ হওয়া দরকার সূত্র দেখুন en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

চ_{ওয়াই} (Y) = \frac{2 Y^{2 {এন}_{1} - 1}}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + 0.5, {এন}_{2})} \int_{Y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{এক্স}} [(1 - \frac{Y^{2}}{এক্স}) (1 - এক্স)]^{{এন}_{1} - 1} ঘ এক্স

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

স্পষ্টতই মনে হয় সূত্রগুলি একই। আমার পেতে আপনার সূত্রে পরিবর্তনশীল । পরিবর্তনটি ব্যবহার করতে হবে। আমি জ্যাকবীয়দের কথা বলছি।

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— লন্ডন কার্টার

আমি তাদের এক হিসাবে মনে করি না। ভেরিয়েবলের পরিবর্তনটি যা আপনি আমার সূত্রে উল্লেখ করেছেন, আমি আপনার ওপিতে প্রথম অবিচ্ছেদ্য যা কিছু করেছি তার চেয়ে কিছুটা সহজ কিছু পেয়েছি।

— StijnDeVuyst

আমি মুহূর্ত উত্পন্ন ফাংশনগুলি ব্যবহার করে এটি অন্যভাবে প্রমাণ করব prove অথবা equivalently, দেখাচ্ছে যে দ্বারা তম মুহূর্ত সমান একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের তম মুহূর্ত সঙ্গে বন্টন। যদি এটি সমস্ত জন্য হয় তবে মুহুর্তের সমস্যার শক্তির দ্বারা অনুশীলনটি প্রমাণিত। $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

শেষ অংশ জন্য, আমরা থেকে প্রাপ্ত http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments যে তম মুহূর্ত হয় এখন প্রথম অংশের জন্য: $q$ $B$

E [{বি}^{কুই}] = Π_{ঞ = 0}^{কুই - 1} \frac{2 {এন}_{1} + + ঞ}{2 {এন}_{1} + + 2 {এন}_{2} + + ঞ} = ... = \frac{Γ (2 {এন}_{1} + + কুই) Γ (2 {এন}_{1} + + 2 {এন}_{2})}{Γ (2 {এন}_{1}) Γ (2 {এন}_{1} + + 2 {এন}_{2} + + কুই)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

ই [(\sqrt{{এক্স}_{1} {এক্স}_{2}})^{কুই}] = \int \int (\sqrt{{এক্স}_{1} {এক্স}_{2}})^{কুই} চ_{{এক্স}_{1}} ({এক্স}_{1}) চ_{{এক্স}_{2}} ({এক্স}_{2}) ঘ {এক্স}_{1} ঘ {এক্স}_{2} = \int {এক্স}^{কুই / 2} চ_{{এক্স}_{1}} ({এক্স}_{1}) ঘ {এক্স}_{1} \cdot \int {এক্স}_{2}^{কুই / 2} চ_{{এক্স}_{2}} ({এক্স}_{2}) ঘ {এক্স}_{2} = \frac{1}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2})} \int {এক্স}_{1}^{{এন}_{1} + + কুই / 2 - 1} (1 - {এক্স}_{1})^{{এন}_{2} - 1} ঘ {এক্স}_{1} \cdot \frac{1}{বি ({এন}_{1} + + \frac{1}{2}, {এন}_{2})} \int {এক্স}_{2}^{{এন}_{1} + + \frac{কুই + + 1}{2} - 1} (1 - {এক্স}_{2})^{{এন}_{2} - 1} ঘ {এক্স}_{2} = \frac{বি ({এন}_{1} + + \frac{কুই}{2}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + \frac{কুই + + 1}{2}, {এন}_{2})}{বি ({এন}_{1}, {এন}_{2}) বি ({এন}_{1} + + \frac{1}{2}, {এন}_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ এখন যা বাকী রয়েছে তা এবং তারপরে দ্বিগুণ সূত্র । এটি তখন দেখা যাচ্ছে যে প্রথম অংশ এবং দ্বিতীয় অংশটি ঠিক একই।

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
সূত্র

আমি মনে করি না আপনি বলতে পারেন মুহুর্তের সাম্যতা বন্টনের সাম্যকে বোঝায়। এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে এটি নাও থাকতে পারে।

— লন্ডন কার্টার

স্টিজনডেভ্যাস্ট, দুঃখিত, এটি একটি গ্রহণযোগ্য উত্তর নয়। আমার কাছে এমন উদাহরণ আছে যেখানে মুহুর্তগুলি সমান তবে বিতরণগুলি এক রকম নয়। উদাহরণ যদিও কিছুটা জটিল। আফসোস আমার কাছে এখন উদাহরণটি নেই; এটি একটি সেমিস্টার পরীক্ষায়ও এসেছিল। আপনি যদি আগ্রহী হন তবে শীঘ্রই আমি এই থ্রেডে উদাহরণটি পোস্ট করব। যাইহোক আমি নিজেই সমস্যাটি কাজ করেছি। আপনার সাহায্যের জন্য ধন্যবাদ.

— ল্যান্ডন কার্টার

@ আয়য়নার এবং স্টিজন: এ (দ্য) শাস্ত্রীয় উদাহরণ হেইডের কারণে: বিবেচনা করুন যেখানে হল পিডিএফ মান lognormal এবং । এই বিতরণ পরিবারের সকল সদস্যের একই মুহুর্ত রয়েছে (সমস্ত আদেশের)। নোট করুন যে স্ট্যান্ডার্ড লগনারমাল এই পরিবারের সদস্য এবং এর মুহুর্তগুলির একটি দুর্দান্ত বন্ধ ফর্ম রয়েছে।

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— কার্ডিনাল

তবে বিতরণটির স্বতন্ত্রতার গ্যারান্টি দেবে এমন মুহুর্তগুলিতে অতিরিক্ত শর্তাদি (যেমন, কার্লম্যানের) রয়েছে। এটি হ্যামবার্গার মুহুর্তের সমস্যা হিসাবে পরিচিত ।

— কার্ডিনাল

ওয়েব.উইলিয়ামস.ইডু / গণিত / এসজমিলার / প্রজাতন্ত্র_এইচটিএমএল / বই / পেপারস / এর উক্তি "... সীমাবদ্ধ সমর্থন সহ একটি ধনাত্মক পরিমাপটি তার মুহুর্তগুলির দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়েছে তা যাচাই করা প্রাথমিক রৈখিক বীজগণিত ..." এটি স্থির করে ওপিতে বিটা বিতরণের জন্য এম-নির্ধারণের জন্য কার্লম্যান শর্ত। @ কার্ডিনাল এবং ইয়েদেনারা উভয়ই সঠিক যে আমি এটি ধরে নিতে খুব দ্রুত ছিলাম। তবে স্পষ্টতই সীমাবদ্ধ সমর্থনটিই সেই দিনটি সংরক্ষণ করে।

— StijnDeVuyst