কোহেনের পরিসংখ্যানের বৈকল্পিকতা

Question

কোহেন এর সবচেয়ে সাধারণ উপায় আমরা একটি প্রভাব পড়ে না (আকার পরিমাপ এক উইকিপিডিয়া দেখতে )। এটি কেবল পুল স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির ক্ষেত্রে দুটি মাধ্যমের মধ্যে দূরত্ব পরিমাপ করে। আমরা কোহেনের এর বৈচিত্র্য অনুমানের গাণিতিক সূত্রটি কীভাবে অর্জন করতে পারি ? $d$$d$

ডিসেম্বর 2015 সম্পাদনা: এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত হ'ল কাছাকাছি আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান গণনা করার ধারণা । এই নিবন্ধে বলা হয়েছে যে$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

যেখানে দুটি নমুনা আকারের যোগফল এবং the দুটি নমুনা আকারের গুণফল। ঢ $n_{+}$$n_{\times}$

এই সূত্রটি কীভাবে উত্পন্ন?

Comments

@ ক্লারিনেটিস্ট: এটিতে আরও পদার্থ এবং আরও প্রশ্ন যুক্ত করার জন্য অন্য ব্যক্তির প্রশ্নের সম্পাদনা করা কিছুটা বিতর্কিত (শব্দটির উন্নতির বিপরীতে)। আমি আপনার সম্পাদনা অনুমোদনের জন্য স্বাধীনতা নিয়েছি (আপনি একটি উদার অনুগ্রহ রেখেছেন এবং আমি মনে করি যে আপনার সম্পাদনাটি প্রশ্নটির উন্নতি করে) তবে অন্যরা আবার ফিরে যেতে সিদ্ধান্ত নিতে পারে।

— অ্যামিবা বলছেন মনিকাকে

@ অ্যামিবা কোন সমস্যা নেই যতক্ষণ না the (যেখানে আগে ছিল না) সূত্র রয়েছে এবং এটি পরিষ্কার যে আমরা সূত্রটির গাণিতিক করছি, এটি ঠিক আছে। $\sigma^2_d$

— Clarinetist

আমি মনে করি দ্বিতীয় ভগ্নাংশের ডিনোমিনিটারটি । আমার উত্তর নীচে দেখুন। $2(n_{+}-2)$

Answer 1

নোট করুন যে প্রশ্নের বৈচিত্র্য প্রকাশটি একটি আনুমানিক। হেজেস (1981) একটি সাধারণ সেটিং (অর্থাত্ একাধিক পরীক্ষা / পড়াশুনা) -এ এবং সান্নিধ্যের বৃহত নমুনার বৈচিত্রটি পেয়েছিল এবং আমার উত্তরটি বেশ কয়েকটি কাগজে ডাইরিভিশনগুলির মধ্য দিয়ে চলে।$d$

প্রথমত, আমরা যে অনুমানগুলি ব্যবহার করব তা হ'ল:

ধরে নেওয়া যাক আমাদের দুটি স্বতন্ত্র চিকিত্সা গ্রুপ, (চিকিত্সা) এবং (নিয়ন্ত্রণ) রয়েছে। যাক এবং স্কোর / প্রতিক্রিয়া / সাবজেক্ট থেকে যাই হোক না কেন হতে দলের এবং বিষয় দলের যথাক্রমে।সি ওয়াই টি আমি ওয়াই সি ঞ আমি টি ঞ $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

আমরা ধরে নিই যে প্রতিক্রিয়াগুলি সাধারণত বিতরণ করা হয় এবং চিকিত্সা এবং নিয়ন্ত্রণ গ্রুপগুলি একটি সাধারণ বৈকল্পিক ভাগ করে

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

প্রভাব আকার আমরা একে গবেষণায় আনুমানিক হিসাব করতে আগ্রহী হন হয় । আমরা যে প্রভাবের আকারটি ব্যবহার করব তার হ'ল যেখানে গ্রুপ এর নিরপেক্ষ নমুনা বৈকল্পিক । d= ˉ Y টি- ˉ ওয়াই$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

আসুন এর বৃহত-নমুনা বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি । $d$

প্রথমে নোট করুন: এবং (আমার শিথিল হচ্ছে): এবং

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

সমীকরণ (1) এবং (2) এ সত্যটি নিয়ে যায় যে (আবার আমার স্বরলিপিটি আলগা হয়ে উঠছে):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

এখন, কিছু চতুর বীজগণিত: যেখানে

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, , এবং । সুতরাং, হ'ল একটি ভেরিয়েবল যা ডিগ্রি স্বাধীনতা এবং- অ-কেন্দ্রীভূত প্যারামিটারের সাথে একটি কেন্দ্রীয়-বিতরণ অনুসরণ করে।$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

অ-কেন্দ্রীয় বিতরণের মুহুর্তের বৈশিষ্ট্যগুলি$t$ ব্যবহার করে , এটি অনুসরণ করে: যেখানে

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

সুতরাং সমীকরণ (3) সঠিক বৃহত নমুনার বৈকল্পিকতা সরবরাহ করে। নোট জন্য একটি পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক হয় ভ্যারিয়েন্স সঙ্গে:$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

বৃহত্তর ডিগ্রি মুক্তির জন্য (যেমন বৃহত্তর ), এক নন-সেন্ট্রাল ভেরিয়েটের iance ডিগ্রি সহ স্বাধীনতা এবং নন-সেন্ট্রালটি প্যারামিটার by দ্বারা যেতে পারে u ( জনসন, কোটজ, বালাকৃষ্ণান, 1995 )। সুতরাং, আমাদের কাছে রয়েছে: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

জন্য আমাদের অনুমানকারীটি প্লাগ করুন এবং আমরা শেষ করেছি done$\delta$

Comments

খুব, খুব সুন্দর ডেরাইভেশন। মাত্র কয়েকটি প্রশ্ন: ১) আপনি কি ব্যাখ্যা করতে পারবেন যে অর্থ (আমি জানি এটি পার্থক্য সহ কিছু করার দরকার নমুনাটির অর্থ, তবে কীভাবে তারা উভয় একই সূচক থাকতে পারে?)? 2) আপনি কীভাবে জন্য আনুমানিকতা সম্পন্ন করতে পারেন (আমার সমস্ত বিবরণের দরকার নেই, একটি উত্স ভাল এবং সম্ভবত একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা)? নাহলে আমি এতে বেশ সন্তুষ্ট। (+1 টি) এটাও পর্যবেক্ষণ যে আমি তৈরি করেছি যে সঙ্গে সম্মত একটি স্বাভাবিক বন্টন, অপ সংযুক্ত প্রবন্ধে ব্যাখ্যা বিপরীত অনুসরণ করে না। b$\bar{Y}^{T}_{i} - \bar{Y}^{C}_{i}$$b$$d$

— ক্লারিনেটিস্ট

ক্লারিনেটিস্ট ধন্যবাদ! 1) তাদের একই সূচক থাকতে পারে? টাইপো, এভাবেই! : পি তারা আমার উত্তর প্রথম খসড়া একটি নিদর্শন। আমি এটা ঠিক করব। 2) আমি এটিকে হেজেস পেপার থেকে টানলাম - এই মুহুর্তে এর উত্পন্নকরণটি জানেন না তবে এটি সম্পর্কে আরও কিছু ভাবেন।

আমি শিক্ষাদীক্ষা এখন দেখছি, কিন্তু অবগতির জন্য, লব হওয়া উচিত । Γ ( এন টি + এন সি - $b$$\Gamma\left(\dfrac{n_T+n_C-2}{2}\right)$

— ক্লারিনেটিস্ট

রেফারেন্সের জন্য উত্স সরবরাহ করা হয়েছে: math.stackexchange.com/questions/1564587/… । দেখা যাচ্ছে যে সম্ভবত একটি লক্ষণ ত্রুটি রয়েছে।

— Clarinetist

@ মাইকে: খুব চিত্তাকর্ষক উত্তর। আমাদের সাথে এটি ভাগ করে নেওয়ার জন্য সময় দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ।

— ডেনিস কাজিনো 21