একটি কাউন্টারিক নমুনা প্রমাণ করুন বা সরবরাহ করুন:

যদি $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , তবে $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

আমার প্রচেষ্টা :

মিথ্যা: ধরুন $X$ কেবলমাত্র নেতিবাচক মানগুলি গ্রহণ করতে পারে এবং ধরুন $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

তাহলে $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , তবে এমনকি $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ কঠোরভাবে নেতিবাচক নয়। পরিবর্তে, এটি প্রতিকূল এবং নেতিবাচক নেতিবাচক বিকল্প। অতএব, $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ almost প্রায় অবশ্যই রূপান্তর করে না $X$ ।

এটি কি যুক্তিসঙ্গত উত্তর ?? যদি তা না হয় তবে আমি কীভাবে আমার উত্তরকে উন্নত করতে পারি?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
সূত্র

X_{i}

$X_i$ এটি কার্যকর হওয়ার জন্য কঠোরভাবে ইতিবাচক হতে হবে।

— ব্যবহারকারী765195

অবশ্যই, আপনার সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করার জন্য আপনার প্রয়োজন । প্রথমে প্রমাণ করুন যে হিসাবে রূপান্তরিত হয় (গুগল "সিজারো মানে" রিয়েল অ্যানালাইসিসে এবং যুক্তিকে অভিযোজিত)। তারপরে, ।

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— জেন

প্রয়োজনীয় বাস্তব বিশ্লেষণের ফলাফলটি হ'ল: যদি , তবে । প্রুফ: কোনো জন্য , একটি হল যেমন যে , যে জন্য । অতএব, । অতএব, আমরা যদি , তবে , প্রতি ।

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— জেন 21

স্বজ্ঞাততাটি হ'ল আপনি আরও বেশি বেশি এর সাথে যা এর আরও কাছাকাছি এবং কাছাকাছি রয়েছে , এবং তারা প্রভাব বিস্তার করে।

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— জেন 21

উত্তর:

আগ্রহের কিছু প্রমাণ করার আগে, লক্ষ্য করুন যে অবশ্যই সবার জন্য উভয় বক্তব্যকে বোধগম্য করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত নয়, যা নির্বিচারক ক্রম চিত্রিত করে। $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

তদুপরি, নিম্নলিখিত বিবৃতিবাদী ক্রমটি প্রমাণিত হিসাবে বিবৃতিটি সত্যই সত্যই মিথ্যা: । $(0, 1, 1, \dots)$

এখন, ধরুন অবশ্যই সকলের জন্য , তবে নীচের যুক্তি দ্বারা বিবৃতিটি সত্য: $X_i >0$ $i$

নির্ধারণ , সংক্ষেপে প্রায় অবশ্যই। সুতরাং, প্রায় অবশ্যই জন্য একটি ফলাফল দ্বারা মানে উপরের মন্তব্যেও প্রমাণিত। সুতরাং, , অবশ্যই অবশ্যই।

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
সূত্র

এই দাবিটি মিথ্যা। আমি একটি পাল্টা নমুনা সরবরাহ করে প্রমাণ দিই।

ধরুন এলোমেলো ক্রম নীচের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

স্পষ্টতই, হ'ল (১) অধঃপতন এবং (২) প্রায় নিশ্চিতভাবে তে রূপান্তর করেছেন হিসাবে বিপুল সংখ্যার শক্তিশালী আইন(এটি দেখতে, জন্য পুনর্লিখন করুন ) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

তবে, , । ফলস্বরূপ, , সুতরাং এটি সীমাতে তুচ্ছভাবে রূপান্তরিত হবে , এটি । $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— জেরেমিয়াস কে
সূত্র

আপনি সূচকটি ভুলে গেছেন বলে মনে হয় ।

1 / n

$1/n$

— whuber

ধন্যবাদ হুবুহু, আমি এটিকে ঠিক করেছি :) জিনিসগুলি আরও মনোযোগ সহকারে পড়ার জন্য আমার সত্যই কাজ করা উচিত ... আমি প্রথম যে বিবৃতিটি for এর পক্ষেও রাখে না কারণ আমি সঠিকভাবে পড়েনি।

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— জেরেমিয়াস কে

ধন্যবাদ। এই সমস্ত গণনাগুলি একটি সহজ ধারণাটিকে অস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে: যদি ননজারো হয় তবে আপনি এর কোনও সীমাবদ্ধ সংখ্যাটি শূন্যে পরিবর্তন করে সীমাটি পরিবর্তন করবেন না , তবে এটি পণ্যটি শূন্য করবে এবং আপনি একটি বৈপরীত্য পাবেন get যথেষ্ট ফর্সা। তবে, অন্যথায় আমাদের বলা না হলে, অসীম পণ্য সম্পর্কে বিবৃতিগুলি লগারিদমের অসীম পরিমাণ সম্পর্কে বিবৃতি হিসাবে বোঝা উচিত। বিশেষত, এই প্রশ্নের সেই ক্ষেত্রে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে যেখানে প্রতিটি প্রায় নিশ্চিতভাবেই ইতিবাচক ।

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@ যে শেষ মন্তব্যটি আকর্ষণীয় ub প্রকৃতপক্ষে কি এমন পরিস্থিতি রয়েছে যে পণ্যগুলির সীমাটি কনভেনশন দ্বারা বা সম্ভবত সংজ্ঞা (?) দ্বারা লগারিদমের ক্ষেত্রে বোঝা যায়? যদি তা হয় তবে আমি আমার উত্তরটির শব্দটির উপরেও পরিবর্তন করব change বিশেষত, ধারাবাহিকতার সর্বশেষ আবেদনটি অতিরিক্ত অতিরিক্ত হবে।

— একওয়াল

@ স্টুডেন্ট আপনার উত্তরের যুক্তিটি ঠিক আছে। পরিসংখ্যান সংক্রান্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে এটি বিরল যে কেউ যদি আগে থেকেই লগারিদমের ক্ষেত্রে চিন্তা না করে তবে জ্যামিতিক উপায়গুলির এমন একটি সীমাটির দিকে তাকিয়ে থাকবে।

— whuber