কল্পনা করুন যে আমাদের জনসংখ্যা রয়েছে এবং Y সেই জনসংখ্যার সংক্ষিপ্তসার। তারপরে P(Y∈(y,y+Δy)) এমন ব্যক্তির অনুপাত গণনা করছে যেগুলি পরিসরে ( y , y + Δ y ) এর পরিবর্তনশীল Y রয়েছে । আপনি একটি আকারের "বিন" হিসাবে এই বিবেচনা করতে পারেন Δ Y এবং আমরা গণনা করা হয় কিভাবে বহু ব্যক্তির বিন ভিতরে আছে।(y,y+Δy)Δy
এখন আসুন আমরা সেই ব্যক্তিকে অন্য ভেরিয়েবল, X এর ক্ষেত্রে পুনরায় প্রকাশ করি । প্রদত্ত আমরা জানি যে Y এবং X যেমন সম্পর্কিত হয় Y=X2 , ঘটনা Y∈(y,y+Δy) ঘটনা হিসাবে একই X2∈(x2,(x+Δx)2) যা ঘটনা হিসাবে একই X∈(|x|,|x|+Δx) or X∈(−|x|−Δx,−|x|) । সুতরাং,বাক্সেথাকা ব্যক্তিদের(y,y+Δy) এছাড়াও আবদ্ধ হতে হবে(|x|,|x|+Δx) এবং(−|x|−Δx,−|x|) । অন্য কথায়, এই বিনগুলিতে ব্যক্তিদের একই অনুপাত থাকতে হবে,
P(Y∈(y,y+Δy))=P(X∈(|x|,|x|+Δx))+P(X∈(−|x|−Δx,−|x|))
ঠিক আছে, এখন ঘনত্ব পেতে দেওয়া যাক। প্রথমত, আমাদের সম্ভাব্য ঘনত্ব কী তা নির্ধারণ করতে হবে। নাম অনুসারে, এটি প্রতি ক্ষেত্র প্রতি ব্যক্তিদের অনুপাত । অর্থাৎ, আমরা সেই বিনের উপর ব্যক্তির অংশ গণনা করি এবং বিনের আকার দ্বারা বিভক্ত করি । যেহেতু আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে এখানে মানুষের অনুপাত একই, তবে বিনয়ের আকার পরিবর্তিত হয়েছে, আমরা সিদ্ধান্ত নিয়েছি যে ঘনত্ব আলাদা হবে। তবে কতটা আলাদা?
আমরা যেমন বললেন, সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বিন মানুষের অনুপাত বিন আকার, এইভাবে ঘনত্ব দ্বারা বিভক্ত হয় Y দেওয়া হয় fY(y):=P(Y∈(y,y+Δy))Δy । একত্রে,Xএর সম্ভাব্যতা ঘনত্বএফএক্স(এক্স)দ্বারা দেওয়া হয়েছে:=পি(এক্স∈(এক্স,এক্স+Δএক্স))fX(x):=P(X∈(x,x+Δx))Δx ।
আমাদের পূর্ববর্তী ফলাফল থেকে যে প্রতিটি বিনের জনসংখ্যা আমাদের সমান হয় তখন আমরা তা পেয়েছি,
fY(y):=P(Y∈(y,y+Δy))Δy=P(X∈(|x|,|x|+Δx))+P(X∈(−|x|−Δx,−|x|))Δy=fX(|x|)Δx+fX(−|x|)ΔxΔy=ΔxΔy(fX(|x|)+fX(−|x|))=ΔxΔy(fX(y√)+fX(−y√))
অর্থাৎ ঘনত্ব fX(y√)+fX(−y√)দ্বারা ফ্যাক্টর পরিবর্তনΔxΔy , যা দ্বীনের আকারটিকে প্রসারিত করে বা ছড়িয়ে দেওয়ার তুলনামূলক আকার। আমাদের ক্ষেত্রে,y=x2যেহেতুআমাদের কাছে সেইy+Δy=(x+Δx)2=x2+2xΔx+Δx2। যদিΔxযথেষ্ট পরিমাণে ছোট হয় তবে আমরাΔx2উপেক্ষা করতে পারি, যা বোঝায়Δy=2xΔxএবংΔxΔy=12x=12y√ , এবং সে কারণেই1ফ্যাক্টর12y√ রূপান্তরকালে দেখায়।
