মোট অবধি ছয় পক্ষের ডাই রোল করুন । গড় পরিমাণ যা ছাড়িয়ে গেছে?

Question

এখানে প্রশ্ন:

ডাইস রোলসের যোগফল এম এর চেয়ে বড় বা সমান না হওয়া পর্যন্ত আপনি একটি ফর্সা 6-পার্শ্বযুক্ত ডাইসকে পুনরাবৃত্তভাবে রোল করুন যখন এম = 300 যখন যোগফল বিয়োগ এম এর গড় এবং মান বিচ্যুতি কী?

এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমার একটি কোড লিখতে হবে?

দয়া করে আমাকে কিছু ইঙ্গিত দিন। ধন্যবাদ!

Comments

[self-study]ট্যাগ যুক্ত করুন এবং এর উইকি পড়ুন । তারপরে আপনি এতক্ষণ কী বোঝেন তা আমাদের বলুন, আপনি কী চেষ্টা করেছেন এবং কোথায় আটকে আছেন। আপনাকে আনস্টাক করতে সহায়তা করার জন্য আমরা ইঙ্গিতগুলি সরবরাহ করব।

— গুং - মনিকা পুনরায়

আমি সন্দেহ করি যে "খুব বড় " হিসাবে পড়া যেতে পারে বলে আমি বিশ্বাস করি যে বা প্রায় একই ফলাফল দেবে। আমি কি করতে হবে সমষ্টি বিয়োগ বিতরণের খুঁজতে । $M=300$$M$$M=301$$M=999$$M$

— হেনরি

Answer 1

আপনি অবশ্যই কোড ব্যবহার করতে পারেন, তবে আমি অনুকরণ করব না।

আমি "বিয়োগ এম" অংশটিকে অগ্রাহ্য করতে যাচ্ছি (আপনি এটি শেষে খুব সহজেই করতে পারেন)।

আপনি সম্ভাব্যতাগুলি খুব সহজেই পুনরাবৃত্তভাবে খুব সহজেই গণনা করতে পারেন, তবে আসল উত্তরটি (নির্ভুলতার একটি খুব উচ্চ ডিগ্রির কাছে) সাধারণ যুক্তি থেকে গণনা করা যায়।

রোলগুলি । যাক ।এস টি = ∑ টি আই = 1 এক্স $X_1, X_2, ...$$S_t=\sum_{i=1}^t X_i$

যাক ক্ষুদ্রতম সূচক যেখানে হতে ।এস τ ≥ $\tau$$S_\tau\geq M$

$P(S_\tau=M)=P(\text{got to }M-6\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }6) \\\qquad\qquad\qquad+ P(\text{got to }M-5\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }5)\\\qquad\qquad\qquad +\:\: \vdots\\\qquad\qquad\qquad+\:P(\text{got to }M-1\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }1)\\ \qquad\qquad\quad=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6 P(S_{\tau-1}=M-j)$

একভাবে

$P(S_\tau=M+1)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^5 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+2)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^4 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+3)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^3 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+4)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^2 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+5)=\frac{1}{6} P(S_{\tau-1}=M-1)$

উপরের প্রথমটির অনুরূপ সমীকরণগুলি তখন (কমপক্ষে নীতিগতভাবে) চালানো যেতে পারে যতক্ষণ না আপনি প্রাথমিক অবস্থার সাথে আঘাত না করে প্রাথমিক অবস্থার সাথে আমরা যে সম্ভাবনাগুলি চান (যা ক্লান্তিকর হবে এবং বিশেষত আলোকিত হবে না) , বা আপনি সম্পর্কিত সামনের সমীকরণগুলি তৈরি করতে পারেন এবং প্রাথমিক শর্ত থেকে তাদের এগিয়ে চালাতে পারেন, যা সংখ্যাসূচকভাবে করা সহজ (এবং আমি কীভাবে আমার উত্তরটি পরীক্ষা করেছি)। তবে আমরা সে সব এড়াতে পারি can

পয়েন্টগুলির সম্ভাব্যতা পূর্ববর্তী সম্ভাব্যতার ওজন গড়ে চলছে; এগুলি (জ্যামিতিকভাবে দ্রুত) প্রাথমিক বিতরণ (আমাদের সমস্যার ক্ষেত্রে পয়েন্ট শূন্যের সমস্ত সম্ভাব্যতা) থেকে সম্ভাবনার কোনও প্রকারকে মসৃণ করবে। দ্য

একটি আনুমানিক (খুব নির্ভুল একটি) আমরা বলতে পারি যে থেকে প্রায় একই সময়ে সম্ভাব্য হওয়া উচিত (সত্যই এটির নিকটে), এবং সুতরাং উপরের দিক থেকে আমরা লিখতে পারি যে সম্ভাবনাগুলি সাধারণ অনুপাতের সাথে খুব কাছাকাছি থাকবে এবং যেহেতু এগুলি অবশ্যই স্বাভাবিক করা উচিত, আমরা কেবল সম্ভাবনাগুলি লিখতে পারি।এম - 1 τ - $M-6$$M-1$$\tau-1$

কোনটা বলা হয়, আমরা দেখতে পারি যে যদি থেকে শুরু সম্ভাব্যতা থেকে ঠিক সমান ছিলেন, সেখানে 6 পাবার সমান সম্ভাবনা উপায় আছে পাবার, 5 , এবং তাই নিচে উপর যাওয়ার 1 টি উপায় ।এম - 1 এম এম + 1 এম + $M-6$$M-1$$M$$M+1$$M+5$

এটি হ'ল, সম্ভাবনাগুলি 6: 5: 4: 3: 2: 1 এবং অনুপাতের যোগফল 1, তাই তারা লিখতে তুচ্ছ।

এটা ঠিক (আমি আর এটা করেনি) শূন্য থেকে এগিয়ে সম্ভাব্যতা recursions চালিয়ে (ত্রুটি বন্ধ সংখ্যাসূচক বৃত্তাকার সঞ্চিত পর্যন্ত) কম্পিউটিং বিভাগ অনুক্রম পার্থক্য দেয় .Machine$double.eps( উপরে পড়তা থেকে আমার মেশিনে) (যা বলতে হয়, উপরের লাইনগুলিতে সহজ যুক্তি কার্যকরভাবে সঠিক উত্তর দেয়, যেহেতু তারা পুনরাবৃত্তি থেকে গণনা করা উত্তরগুলির কাছাকাছি হওয়ায় আমরা আশা করি যে সঠিক উত্তরগুলি হওয়া উচিত।$\approx$2.22e-16

এটির জন্য আমার কোডটি এখানে রয়েছে (বেশিরভাগ এটি কেবল চলকগুলির সূচনা করে, কাজটি সমস্ত এক লাইনে থাকে)। কোডটি প্রথম রোলের পরে শুরু হয় (আমাকে একটি ঘরে 0 বাছাই করা বাঁচাতে, যা আর এর সাথে মোকাবেলা করার জন্য একটি ছোট উপদ্রব); প্রতিটি পদক্ষেপে এটি সর্বনিম্ন কক্ষ নেয় যা দখল করতে পারে এবং ডাই রোল দ্বারা এগিয়ে যায় (পরবর্তী 6 কোষের উপরে সেই ঘরের সম্ভাবনা ছড়িয়ে দেয়):

 p = array(data = 0, dim = 305)
 d6 = rep(1/6,6)
 i6 = 1:6
 p[i6] = d6
 for (i in 1:299) p[i+i6] = p[i+i6] + p[i]*d6

(আমরা এটি আরও দক্ষতার সাথে করতে rollapply(থেকে zoo) ব্যবহার করতে পারি - বা এই জাতীয় আরও কয়েকটি ফাংশন - তবে আমি এটি স্পষ্ট রাখি তবে অনুবাদ করা আরও সহজ হবে)

নোট করুন যে d61 থেকে 6 এরও বেশি একটি পৃথক সম্ভাবনা ফাংশন, সুতরাং শেষ লাইনের লুপের অভ্যন্তরে কোডটি পূর্ববর্তী মানগুলির ওজন গড়ে গড়ে চলছে। এই সম্পর্কটিই সম্ভাব্যতাগুলিকে মসৃণ করে তোলে (আমরা আগ্রহী এমন শেষ কয়েকটি মান অবধি)।

সুতরাং এখানে প্রথম 50-বিজোড় মান (চেনাশোনাগুলির সাথে চিহ্নিত প্রথম 25 টি মান)। প্রতিটি -তে, y- অক্ষের মানটি সম্ভাব্যতার প্রতিনিধিত্ব করে যা আমরা পরবর্তী cells কোষে এগিয়ে যাওয়ার আগে এটি পূর্ববর্তী কক্ষে জমে ছিল।$t$

আপনি দেখতে পান যে এটি মসৃণ হয় ( , প্রতিটি ডাই রোল আপনাকে যে ধাপে ধাপে নিয়ে যায় তার সংখ্যাটির পারস্পরিক) খুব দ্রুত এবং স্থির থাকে।$1/\mu$

এবং একবার আমরা আঘাত করলে , সেই সম্ভাবনাগুলি চলে যায় (কারণ আমরা মানগুলির জন্য সম্ভাব্যতাটি রাখি না এবং পরিবর্তে আরও এগিয়ে)$M$$M$

সুতরাং থেকে এ থাকা মানগুলি সমানভাবেই হওয়া উচিত কারণ প্রাথমিক অবস্থার থেকে ওঠানামা খুব কম হবে বলে পরিষ্কারভাবে দেখা যাচ্ছে।এম - $M-1$$M-6$

যেহেতু যুক্তি কোনও কিছুর উপর নির্ভর করে না তবে এত বড় যে প্রাথমিক শর্তগুলি ধুয়ে যায় যাতে থেকে সময়ে প্রায় সমান সম্ভাবনা থাকে , সুতরাং বিতরণটি মূলত যে কোনওটির জন্য একই রকম হবে হেনরি মন্তব্য হিসাবে পরামর্শ হিসাবে বৃহত ,.এম - 1 এম - 6 ডিগ্রি - 1 $M$$M-1$$M-6$$\tau-1$$M$

বিপরীতে, হেনরির ইঙ্গিত (যা আপনার প্রশ্নের মধ্যেও রয়েছে) যোগফল বিয়োগ করে কাজ করার জন্য কিছুটা চেষ্টা বাঁচাতে পারে, তবে যুক্তিটি খুব অনুরূপ লাইন অনুসরণ করবে। আপনি এবং পূর্ববর্তী মানগুলির সাথে সম্পর্কিত অনুরূপ সমীকরণ লিখে আরও এগিয়ে যেতে পারেন।আর $R_t=S_t-M$$R_0$

সম্ভাব্যতা বিতরণ থেকে, সম্ভাবনার গড় এবং তারতম্যটি তখন সহজ।

সম্পাদনা: আমি মনে করি আমার চূড়ান্ত অবস্থান বিয়োগ এর অ্যাসিম্পটোটিক গড় এবং মান বিচ্যুতি দেওয়া উচিত :$M$

মধ্যে asymptotic গড় মাত্রা বৃদ্ধি করে, এবং মানক চ্যুতির হয় । এ এই তুলনায় আপনি সম্ভবত করছি যত্নের একটি অনেক বড় মাত্রায় সঠিক। 2$\frac{5}{3}$ এম=$\frac{2\sqrt 5}{3}$$M=300$

Comments

+1 আমি নিজের উত্তরটি বিকাশ না করা পর্যন্ত আমি এই উত্তরটি পুরোপুরি বুঝতে পারি নি, যা এখন অতিরিক্ত হিসাবে দেখা যায়। সম্ভবত কিছু পাঠক চিত্রণ এবং সিমুলেশন ফলাফলগুলিতে মান দেখতে পাবে, তাই আমি আমার উত্তরটি উন্মুক্ত রাখব।

— হোবার

@ হুবুহু আমার উত্তরটি আমার পছন্দের চেয়ে অনেক কম কংক্রিট কারণ আমি এই গৃহস্থালির অনুমানের অধীনে কাজ করছিলাম (সুতরাং আমি খুব বেশি উত্স আবিষ্কার বা কোনও কোড দেওয়া এড়াতে পারি নি - এটি একটি রূপরেখার চেয়ে বেশি উদ্দেশ্য ছিল)। এই সমস্যায় পরিষ্কারভাবে উত্তর লেখা আমার পক্ষে কঠিন হয়ে পড়েছে (এটি এমন এক যেখানে দৃre়তা স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি সাহায্য করে)। যেহেতু আপনি একটি উত্তর দিয়েছেন যাতে আসল সংখ্যা এবং কোড রয়েছে (যার উত্তরটি আমি অবশ্যই স্থির করব বলে মনে করি) আমার মনে হচ্ছে আমি এমন কিছু কাজ করতে পারি যা আশা করি আমার উত্তর বুঝতে সহজ করে দেবে (আরও স্পষ্ট করে বলুন, আমার নিজের কোড দিন) ।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি কয়েক বছর আগে কোথাও কোথাও এই ধরণের সমস্যার আরও ভাল ব্যাখ্যা লিখেছি। যদি আমি মনে করতে / বুঝতে পারি যে এটি কীভাবে চলে গেছে আমি এর কয়েকটি এখানে অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করব।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_বি সমীকরণগুলি কিছুটা বুঝতে পেরেছেন। আমি নবাগত। এভাবে ভাবতে শুরু করব কীভাবে? এই ধরণের উদ্দেশ্যে আপনি সুপারিশ করতে পারে এমন কোনও বই আছে? আপনার উত্তরটি বেশ সহায়ক হবে।

— সাধারণ সন্দেহজনক

ইউজুয়াল সাসপেক্ট - আমি লম্বা ট্র্যাকের মতো গেম বোর্ডের কল্পনা করে "এই জায়গাতে কী কী উপায় পাব যা সমস্যার শর্তগুলির সাথে মানিয়ে যায় এবং কী সম্ভাবনা রয়েছে?" দিয়ে সমীকরণগুলি লিখেছি; আমি এটি "এম" লেবেলযুক্ত স্পেসের জন্য করেছি, তারপরে স্থানটির জন্য, এবং আরও অনেক কিছু। আমি সূচনা কক্ষের কাছাকাছি থাকার কথা এবং এই বলে কোডটির জন্য এগিয়ে যাওয়ার অনুরূপ গণনা লিখেছিলাম "যদি আমি এখানে থাকতাম, তবে কি পরবর্তী সম্ভাবনা থাকতাম?" সমীকরণগুলি এই সমস্ত প্রশ্নের উত্তর মাত্র।

— গ্লেন_বি

Answer 2

আসুন পাশা রোলগুলির আংশিক যোগফলের ক্রমগুলির সেট হয়ে উঠুক (প্রতিটি ক্রম শুরু হবে )। যেকোন পূর্ণসংখ্যার জন্য এমন একটি ঘটনা ঘটুক যা ক্রমানুসারে প্রদর্শিত হবে; এটাই,0 এন ই এন$\Omega$$0$$n$$E_n$$n$

$$E_n = \{\omega\in\Omega\,|\, n \in \omega\}.$$

নির্ধারণ প্রথম মান হতে যে সমান বা অতিক্রম করে । প্রশ্নটি বৈশিষ্ট্য জিজ্ঞাসা করে । আমরা এর সঠিক বিতরণ পেতে পারি এবং এর থেকে সমস্ত কিছুই অনুসরণ করা হয়।$X_M(\omega)$$\omega$$M$$X_M-M$$X_M$

প্রথমত, যে বিজ্ঞপ্তি । ঘটনা পার্টিশন প্রক্রিয়ার দ্বারা অবিলম্বে পূর্ববর্তী মান অনুযায়ী , এবং লেট মুখ দেখে সম্ভাবনা হতে ডাই এক রোল ( ), এটি অনুসরণ করে$X_M(\omega) - M \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$X_M - M = k$$\omega$$p(i) = 1/6$$i$$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$\Pr(X_M - M = k) = \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}).$$

এই মুহুর্তে আমরা গুরুতরভাবে তর্ক করতে পারি যে, ক্ষুদ্রতম , সকলের জন্য খুব ভাল অনুমানের দিকেকারণ কোনও রোলের প্রত্যাশিত মান হ'ল এবং এর পারস্পরিক কোনও নির্দিষ্ট মানের সীমাবদ্ধ, স্থিতিশীল দীর্ঘমেয়াদী ফ্রিকোয়েন্সি হওয়া উচিত ।$M$

$$\Pr(E_i) \approx 2/7.$$ $(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2$$\omega$

এটি প্রদর্শনের একটি কঠোর উপায় কীভাবে ঘটতে পারে তা বিবেচনা করে । হয় হয় এবং পরবর্তী রোলটি ছিল ; বা ঘটে এবং পরবর্তী রোলটি ; বা ... বা দেখা দেয় এবং পরবর্তী রোলটি ছিল । এটি সম্ভাবনার একটি বিস্তৃত পার্টিশন, কোথা থেকে$E_i$$E_{i-1}$$1$$E_{i-2}$$2$$E_{i-6}$$6$

$$\Pr(E_i) = \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}).$$

এই ক্রমের প্রাথমিক মানগুলি

$$\Pr(E_0) = 1;\quad \Pr(E_{-i}) = 0, i = 1, 2, 3, \ldots .$$

বিপরীতে এর এই প্লটটি দেখায় যে কত দ্রুত সম্ভাবনাটি স্থির স্থিতিশীল বিন্দুযুক্ত রেখার দ্বারা দেখানো হয় settle$\Pr(E_i)$$i$$2/7$

এই জাতীয় পুনরাবৃত্তির ক্রমগুলির একটি আদর্শ তত্ত্ব রয়েছে। এটি জেনারেশন ফাংশন, মার্কভ চেইন বা এমনকি বীজগণিত কারসাজির মাধ্যমে বিকাশ করা যেতে পারে। সাধারণ ফলাফলটি হ'ল closed জন্য একটি বদ্ধ-ফর্মুলা বিদ্যমান। $\Pr(E_i)$ এটি একটি ধ্রুবক এবং বহুবর্ষের শিকড়ের$i^\text{th}$

$$x^6 - p(1) x^5 - p(2) x^4 - p(3) x^3 \cdots - p(6) = x^6 - (x^5 + x^4+x^3+x^2+x+1)/6.$$

এই শিকড়গুলির বৃহত্তম মাত্রা প্রায় । ডাবল স্পষ্টতা ভাসমান পয়েন্ট উপস্থাপনায়, মূলত শূন্য। অতএব, , আমরা ধ্রুবক ব্যতীত অন্য সমস্ত সম্পূর্ণ উপেক্ষা করতে পারি। এই ধ্রুবকটি ।$\exp(-0.314368)$$\exp(-36.05)$$i \gg -36.05 / -0.314368 = 115$$2/7$

ফলে, জন্য , সমস্ত ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে আমরা লাগতে পারে , কোথা$M = 300 \gg 115$$E_{M+k-j} = 2/7$

$$\Pr(X_M - M = (0,1,2,3,4,5)) = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{1}{6}\right)(6,5,4,3,2,1).$$

এই বিতরণটির গড় এবং বৈচিত্র্য গণনা করা সোজা এবং সহজ।

---

Rএই সিদ্ধান্তগুলি নিশ্চিত করার জন্য এখানে একটি সিমুলেশন রয়েছে। এটি মাধ্যমে প্রায় 100,000 সিক্যুয়েন্স তৈরি করে , এর মানগুলি ট্যাবলেট করে এবং ফলাফলগুলি পূর্বোক্তগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা নির্ধারণের জন্য একটি পরীক্ষা প্রয়োগ করে। এর পি-মান (এই ক্ষেত্রে) যথেষ্ট পরিমাণে তারা সুসংগত হিসাবে চিহ্নিত করতে পারে।এক্স 300 - 300 χ 2$M+5 = 305$$X_{300} - 300$$\chi^2$$0.1367$

M <- 300
n.iter <- 1e5
set.seed(17)
n <- ceiling((2/7) * (M + 3*sqrt(M)))
dice <- matrix(ceiling(6*runif(n*n.iter)), n, n.iter)
omega <- apply(dice, 2, cumsum)
omega <- omega[, apply(omega, 2, max) >= M+5]
omega[omega < M] <- NA
x <- apply(omega, 2, min, na.rm=TRUE)
count <- tabulate(x)[0:5+M]
(cbind(count, expected=round((2/7) * (6:1)/6 * length(x), 1)))
chisq.test(count, p=(2/7) * (6:1)/6)