একটি বহুজাতিক (1 / এন,…, 1 / এন) একটি বিযুক্ত ডিরিচলেট (1, .., 1) হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে?

Question

সুতরাং এই প্রশ্নটি কিছুটা অগোছালো, তবে আমি এটির জন্য বর্ণিল গ্রাফগুলি অন্তর্ভুক্ত করব! প্রথমে পটভূমি তারপর প্রশ্ন (গুলি)।

পটভূমি

বলুন যে বিভাগগুলিতে সমান প্রোবাইলাইট সহ আপনার একটি মাত্রিক বহুমাত্রিক বিতরণ রয়েছে । যাক সাধারণ গন্য (হতে যে বন্টন থেকে) হল যে:$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

$$(c_1, \ldots, c_n) \sim \text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n) \\ \pi_i = {c_i \over n}$$

এখন $\pi$ এর বেশি বিতরণের $n$ সিমপ্লেক্সের উপর সমর্থন রয়েছে তবে পৃথক পদক্ষেপ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, $n = 3$ এই বিতরণটির নিম্নলিখিত সমর্থন রয়েছে (লাল বিন্দু):

অনুরূপ সমর্থনের সাথে আরও একটি বিতরণ হ'ল ডাইমেনশনাল বিতরণ, যা ইউনিট সিমপ্লেক্সের উপর অভিন্ন বিতরণ। উদাহরণস্বরূপ, এখানে একটি 3-ডাইমেনশনাল থেকে এলোমেলোভাবে অঙ্কন করা হয়েছে :ডিরিচলেট ( 1 , … , 1 ) ডিরিচলেট ( 1 , 1 , 1 $n$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

এখন আমার ধারণা ছিল যে the বহু from বিতরণ একটি থেকে অঙ্কিত হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা এর স্বতন্ত্র সমর্থনে বিযুক্ত হয় । আমার যে বিচক্ষণতাটি মনে ছিল (এবং এটি ভাল কাজ করে বলে মনে হচ্ছে) তা হল সরলতম প্রতিটি বিন্দু নিয়ে যাওয়া এবং it সমর্থনে থাকা নিকটতম বিন্দুটিতে "এটি বন্ধ করে দেওয়া" । ত্রি-মাত্রিক সিম্প্লেক্সের জন্য আপনি নিম্নলিখিত পার্টিশনটি পান যেখানে প্রতিটি রঙিন অঞ্চলের পয়েন্টগুলি নিকটতম লাল বিন্দুতে "বৃত্তাকার" হওয়া উচিত:বহু বহুবিধি ( 1 / এন , … , 1 / এন ) ডিরিচলেট ( 1 , … , 1 ) π $\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\pi$

যেহেতু ডারিচলেট বিতরণ অভিন্ন, ফলে প্রতিটি পয়েন্টের ফলে প্রাপ্ত ঘনত্ব / সম্ভাবনা সেই ক্ষেত্র / ভলিউমের সাথে সমানুপাতিক যা প্রতিটি বিন্দুতে "বৃত্তাকার" হয়ে যায়। দ্বিমাত্রিক এবং ত্রি-মাত্রিক ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনাগুলি হ'ল:

( এই সম্ভাবনাগুলি মন্টি কার্লো সিমুলেশনগুলি থেকে )

সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে, কমপক্ষে 2 এবং 3 টি মাত্রার জন্য, এই নির্দিষ্ট উপায়ে বিবেচনাধীন থেকে ফলস্বরূপ সম্ভাবনা বন্টন এর সম্ভাব্যতা বন্টনের সমান । এটি কোনও বিতরণের সাধারণ ফলাফল। আমি 4-মাত্রিক দিয়েও চেষ্টা করেছি এবং মনে হয় এটি সেখানে কার্যকর হবে।π মাল্টিনমিয়াল ( 1 / এন , ... , 1 / এন $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

প্রশ্ন (গুলি)

সুতরাং আমার মূল প্রশ্নটি হ'ল:

এই নির্দিষ্ট উপায়ে অভিন্ন ডিরিচলেটকে বিবেচনা করার সময়, কোনও বহু with সাথে কি সম্পর্ক আরও মাত্রা ধরে রাখে? সম্পর্ক কি আদৌ ধরে আছে? (আমি কেবল মন্টি কার্লো সিমুলেশন ব্যবহার করে এটি চেষ্টা করেছি ...)$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

আরও আমি অবাক:

• যদি এই সম্পর্কটি ধরে রাখে, তবে এটি কোনও পরিচিত ফলাফল? এবং এর কোন উত্স আমি উদ্ধৃত করতে পারি?
• যদি অভিন্ন ডিরিচলেটটির এই বিবেচনার বহিরাগতের সাথে এই সম্পর্ক না থাকে। এরকম কিছু নির্মাণও আছে কি?

কিছু প্রসঙ্গ

আমার এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করার কারণটি হ'ল আমি প্যারামিমেট্রিক নন এবং বুয়েশিয়ান বুটস্ট্র্যাপের মধ্যে সাদৃশ্যটি দেখছি এবং তারপরে এটি উঠে আসে। আমি আরও লক্ষ্য করেছি যে উপরের 3-ডাইমেনশনাল সিম্প্লেক্সের রঙিন অঞ্চলে প্যাটার্নটি ভোরোনাই চিত্রের মতো দেখাচ্ছে (এবং হওয়া উচিত)। একটি উপায় (আমি আশা করি) আপনি এটি সম্পর্কে ভাবতে পারেন এটি পাস্কেলের ত্রিভুজ / সিমপেক্সের অনুক্রম হিসাবে ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html )। যেখানে রঙিন অঞ্চলগুলির আকার 2-ডি ক্ষেত্রে প্যাসকের 'ত্রিভুজটির দ্বিতীয় সারি অনুসরণ করে, 3-ডি ক্ষেত্রে পাস্কালের তৃতীয় সারিটি তৃতীয় সারি, এবং আরও অনেক কিছু। এটি বহুজাতিক বিতরণের সাথে সংযোগটি ব্যাখ্যা করবে, কিন্তু এখানে আমি সত্যিই গভীর জলে ...

Comments

মজা! (যথারীতি।) তবে আমি মোজা সংযোগটি মিস করি।

— শিয়ান

ভাল, আমি প্রতিস্থাপন সঙ্গে মোজা অঙ্কন শুরু। তবে আমি বায়েশিয়ান বুস্ট্রাপ নিয়ে ভাবতে শুরু করি, একটি জিনিস অন্যটির দিকে পরিচালিত করে, এবং আমি এখানেই শেষ করেছি :)

— রাসমাস বুথ

@ শি'ন সম্ভবত এটি মোজা নয় বরং কুকুরছানা যে বায়সিয়ান মাস্কট হয়ে উঠবে?

— টিম

Answer 1

এই দুটি বিতরণ প্রতি জন্য আলাদা ।$n \geq 4$

স্বরলিপি

আমি আপনার সিমপ্লেক্সটিকে একটি ফ্যাক্টর দ্বারা পুনরুদ্ধার করতে যাচ্ছি , যাতে জাল পয়েন্টগুলিতে পূর্ণসংখ্যার স্থানাঙ্ক থাকে। এটি কোনও পরিবর্তন করে না, আমার মনে হয় এটি স্বরলিপিটি কিছুটা কম জটিল করে তুলেছে।$n$

যাক হতে -simplex, পয়েন্ট উত্তল জাহাজের কাঠাম হিসেবে দেওয়া , ..., মধ্যে । অন্য কথায়, এই পয়েন্টগুলি যেখানে সমস্ত স্থানাঙ্কগুলি অ-নেতিবাচক এবং যেখানে স্থানাঙ্কগুলি সমষ্টি হয় ।( এন - 1 ) ( এন , 0 , … , 0 ) ( 0 , … , 0 , এন ) আর এন$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

যাক জাল পয়েন্টগুলির সেটকে বোঝায় , অর্থাত্ পয়েন্টগুলিতে যেখানে সমস্ত স্থানাঙ্কগুলি অবিচ্ছেদ্য।$\Lambda$$S$

যদি একটি জাফরি বিন্দু, আমরা দিন তার বোঝাতে Voronoi সেল , ঐ পয়েন্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত যা হয় (কঠোরভাবে) কাছাকাছি অন্য কোন বিন্দু থেকে চেয়ে ।ভি পি এস পি $P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

আমরা দুটি সম্ভাব্যতা বিতরণ করেছি যা আমরা রাখতে পারি । একটি হ'ল মাল্টিনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন, যেখানে বিন্দুতে সম্ভাব্যতা । অন্যটি আমরা ডিরিচলেট মডেলটিকে কল করব এবং এটি প্রতিটি - এর ভলিউমের সমানুপাতিক একটি সম্ভাব্যতার ।( একটি 1 , । । । , একটি এন ) 2 - এন এন ! / ( একটি 1 ! ⋯ একটি এন ! ) পি ∈ Λ ভি $\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

খুব অনানুষ্ঠানিক ন্যায়সঙ্গততা

আমি দাবি করছি যে মাল্টিনোমিয়াল মডেল এবং ডিরিচলেট মডেল whenever , যখনই বিভিন্ন বিতরণ দেয় ।N ≥ $\Lambda$$n \geq 4$

এটি দেখতে, কেস এবং পয়েন্টগুলি এবং । আমি দাবি করি যে ভেক্টর অনুবাদ দ্বারা এবং । এর অর্থ এবং একই ভলিউম রয়েছে এবং এভাবে ডিরিচলেট মডেলটিতে এবং এর একই সম্ভাবনা রয়েছে। অন্যদিকে, মাল্টিনোমিয়াল মডেলটিতে তাদের বিভিন্ন সম্ভাবনা রয়েছে ( এবং ), এবং এটি অনুসরণ করে যে বিতরণ সমান হতে পারে না।এ = ( 2 , 2 , 0 , 0 ) বি = ( 3 , 1 , 0 , 0 ) ভি এ ভি বি ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) ভি এ ভি বি এ বি 2 - 4 ⋅ 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) 2 - $n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

সত্য যে এবং সর্বসম নিম্নলিখিত বিশ্বাসযোগ্য কিন্তু অ সুস্পষ্ট (এবং কিছুটা অস্পষ্ট) দাবি থেকে অনুসরণ করে আছেন:ভি $V_A$$V_B$

প্লাজেবল দাবি : আকার এবং আকার কেবলমাত্র "আশেপাশের প্রতিবেশী" দ্বারা প্রভাবিত হয় (যেমন যা দেখতে ভেক্টর দ্বারা থেকে পৃথক , যেখানে এবং অন্যান্য জায়গায় থাকতে পারে) পি Λ পি ( 1 , - 1 , 0 , … , 0 ) 1 - $V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এবং এর "তাত্ক্ষণিক প্রতিবেশী " কনফিগারেশন একই এবং এবং হয়।বি ভি এ ভি $A$$B$$V_A$$V_B$

এর ক্ষেত্রে , আমরা এবং সহ একই গেমটি খেলতে পারি , উদাহরণস্বরূপ।$n \geq 5$বি = ( 3 , 1 , এন - 4 , 0 , … , 0 $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

আমি মনে করি না যে এই দাবিটি সম্পূর্ণ সুস্পষ্ট, এবং আমি কিছুটা ভিন্ন কৌশল পরিবর্তে এটি প্রমাণ করতে যাচ্ছি না। যাইহোক, আমি মনে করি এটি কেন জন্য বিতরণগুলি আলাদা to তার আরও স্বজ্ঞাত উত্তর ।$n \geq 4$

কঠোর প্রমাণ

উপরের অনানুষ্ঠানিক ন্যায়সঙ্গত হিসাবে এবং নিন । আমাদের কেবল এবং তা প্রমাণ করতে হবে ।বি ভি এ ভি $A$$B$$V_A$$V_B$

প্রদত্ত , আমরা সংজ্ঞায়িত করতে হবে নিম্নরূপ: পয়েন্ট সেট , যার জন্য । (ক আরও হজম পদ্ধতিতে: যাক । পয়েন্ট সেট, যার জন্য সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মধ্যে পার্থক্য 1. কম)ডব্লু পি ডাব্লু পি ( এক্স 1 , … , এক্স এন ) ∈ $P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$v i = $\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$W P v $v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

আমরা সেই প্রদর্শন করব ।$V_P = W_P$

ধাপ 1

দাবি: ।$V_P \subseteq W_P$

এই মোটামুটি সহজ: যে ধরুন নেই । আসুন , এবং ধরে নিন (সাধারণতা হারানো ছাড়াই) যে , । যেহেতু , আমরা এটিও জানি যে ।$X = (x_1, \ldots, x_n)$ভি আমি = এক্স আমি - পি আমি v 1 = সর্বোচ্চ 1 ≤ আমি ≤ এন ভি আমি বনাম 2 = মিনিট 1 ≤ আমি $W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$বনাম 1 - V 2 ≥1 । N i = 1 ভি i =0 ভি $v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

এখন । যেহেতু এবং উভয়েরই অ-নেতিবাচক সমন্বয় রয়েছে, তাই এবং এটি এবং তাই । অন্যদিকে, । সুতরাং, কমপক্ষে হিসাবে কাছাকাছি , সুতরাং । এটি (পরিপূরক গ্রহণ করে) দেখায় যে ।পি এক্স কিউ কিউ ∈ এস কিউ ∈ Λ ডি আই এস টি 2 ( এক্স , পি ) - ডি আই এস টি 2 ( এক্স , কিউ) ) = ভি 2 1 + ভি 2 2 - $Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$$P$$X$$Q$$Q \in S$$Q \in \Lambda$এক্স কিউ পি এক্স ∉ ভ পি ভি পি ⊆ ডব্লু $\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$$X$$Q$$P$$X \not\in V_P$$V_p \subseteq W_P$

ধাপ ২

দাবি : বিযুক্ত$W_P$

মনে করুন অন্যথায়। যাক এবং মধ্যে স্বতন্ত্র পয়েন্ট হতে , এবং দিন । যেহেতু এবং মধ্যে স্বতন্ত্র এবং উভয় , হতে হবে এক সূচক যেখানে , এবং যেখানে । সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, আমরা ধরে নিই যে , এবং । পুনরায় সাজানো এবং একসাথে যুক্ত হয়ে আমরা পেয়ে ।প্রশ্ন = ( কিউ $P=(p_1,\ldots, p_n)$Λ এক্স ∈ ডাব্লু পি ∩ ডাব্লু কি পি পি Q Λ i পি আই ≥ $Q = (q_1,\ldots,q_n)$$\Lambda$$X \in W_P \cap W_Q$$P$$Q$$\Lambda$$i$পি আই ≤ কি i - 1 পি 1 ≥ কিউ 1 + 1 পি 2 ≤ কি 2$p_i \geq q_i + 1$$p_i \leq q_i - 1$$p_1 \geq q_1 + 1$কি 1 - পি 1 + পি 2 - কিউ 2 ≥ $p_2 \leq q_2 - 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

এখন এবং সংখ্যাগুলি বিবেচনা করুন । সত্য যে থেকে , আমরা । একইভাবে, বোঝায় । এগুলি একসাথে যুক্ত করার পরে আমরা পেয়েছি এবং আমাদের একটি বৈপরীত্য রয়েছে।x 2$x_1$$x_2$x 1 - পি 1 - ( x 2 - পি 2 ) < 1 এক্স ∈ ডাব্লু কিউ x 2 - কি $X \in W_P$$x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$$X \in W_Q$কি 1 - পি 1 + পি 2 - q 2 < $x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

ধাপ 3

আমরা দেখিয়েছি যে , এবং থেকে রয়েছে। কভার পরিমাপ শূন্য একটি সেট আপ, এবং এটি অনুসরণ করে যে (পরিমাপ শূন্য একটি সেট পর্যন্ত)। [যেহেতু এবং উভয়ই উন্মুক্ত, আমাদের কাছে আসলে ঠিক আছে তবে এটি প্রয়োজনীয় নয়]]ডব্লু পি ভি $V_P \subseteq W_P$$W_P$$V_P$ডব্লু পি = ভি পি ডব্লু পি ভি পি ডব্লু পি = ভি $S$$W_P = V_P$$W_P$$V_P$$W_P = V_P$

এখন, আমরা প্রায় সম্পন্ন। এবং পয়েন্টগুলি বিবেচনা করুন । এটি সহজেই দেখা যায় যে এবং একে অপরের অনুবাদ এবং অনুবাদ: একমাত্র উপায় যে তারা পৃথক হতে পারে, তা হ'ল সীমানা (যে মুখ এবং এবং উভয় মিথ্যা থাকে) ব্যতীত `` কেটে যায় '' ' হয় বা তবে নয়। তবে এর সীমানার এমন একটি অংশে পৌঁছতে আমাদের বা এর সমন্বয় কমপক্ষে 1 দ্বারা পরিবর্তন করতে হবে, যা আমাদের থেকে সরিয়ে নেওয়ার গ্যারান্টি যথেষ্টবি = ( 3 , 1 , এন - 4 , 0 , … , 0 ) ডাব্লু $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$$W_A$ এস একজন বি ডব্লিউ একটি ওয়াট বি এস একজন বি ডব্লিউ একজন ডব্লু বি এস এ বি ডব্লিউ এ ডব্লু বি ডাব্লু $W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$এবং যাইহোক। সুতরাং, যদিও সুবিধাজনক পয়েন্ট থেকে বর্ণন বিভিন্ন করেন এবং , পার্থক্য আপ সংজ্ঞা দ্বারা বাছাই অতিদূরে দূরে করা এবং , এবং এইভাবে এবং সর্বসম।$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$W_A$$W_B$

এরপরে এটি অনুসরণ করা হয় যে এবং একই ভলিউম রয়েছে এবং সুতরাং ডিরিচলেট মডেল তাদের একই জাতীয় সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে, যদিও তাদের বহুজাতিক মডেলের বিভিন্ন সম্ভাবনা রয়েছে।ভি $V_A$$V_B$

Comments

বাহ, কঠোর! ধন্যবাদ! তাই আমি যে সামান্য চিঠির জন্য আশা করছিলাম তা দুর্ঘটনাক্রমে হয়েছিল বলে আমি অনুমান করি ...

— রাসমুস বাথ