দুটি এলোমেলো নন-নরমালগুলির লিনিয়ার সংমিশ্রণ যা এখনও একই পরিবারের সদস্য

Question

এটি সুপরিচিত যে 2 র্যান্ডম সাধারণ ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সংমিশ্রণটিও এলোমেলো স্বাভাবিক পরিবর্তনশীল vari এমন কোনও সাধারণ-সাধারণ বিতরণ পরিবার (যেমন, ওয়েইবুল) যা এই সম্পত্তিটি ভাগ করে দেয়? অনেকগুলি পাল্টা উদাহরণ রয়েছে বলে মনে হয়। উদাহরণস্বরূপ, ইউনিফর্মগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ সাধারণত ইউনিফর্ম হয় না। বিশেষত, কোনও অ-স্বাভাবিক বিতরণ পরিবার রয়েছে যেখানে নিম্নলিখিত দুটিই সত্য:

1. পরিবার থেকে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের রৈখিক সংমিশ্রণটি সেই পরিবারে কিছু বিতরণের সমান।
2. ফলাফলের প্যারামিটারগুলি মূল পরামিতিগুলির একটি ফাংশন এবং রৈখিক সংমিশ্রণে ধ্রুবক হিসাবে চিহ্নিত করা যায়।

আমি বিশেষত এই লিনিয়ার সংমিশ্রণে আগ্রহী:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

যেখানে এবং কিছু সাধারণ-পরিবার থেকে নমুনা দেওয়া হয়েছে, প্যারামিটারগুলির এবং , এবং প্যারামিটার সহ একই-স্বাভাবিক পরিবার থেকে আসে ।$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

সরলতার জন্য আমি 1 টি প্যারামিটার সহ একটি বিতরণ পরিবার বর্ণনা করছি তবে আমি একাধিক পরামিতি সহ বিতরণ পরিবারগুলির জন্য উন্মুক্ত।

এছাড়াও, আমি উদাহরণ (গুলি) সন্ধান করছি যেখানে সিমুলেশন উদ্দেশ্যে কাজ করার জন্য এবং এ প্রচুর পরিমাণ প্যারামিটার স্থান রয়েছে । যদি আপনি কেবল এমন একটি উদাহরণ খুঁজে পেতে পারেন যা কিছু খুব নির্দিষ্ট এবং জন্য কাজ করে তবে এটি কম সহায়ক be$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Comments

ধন্যবাদ। আমি সত্যিই সাধারণ অ-স্বাভাবিক পরিবারগুলির (যেমন, ওয়েইবুল) সন্ধান করছি। আমি আরও পরিষ্কার করার চেষ্টা করব যে ফলাফলের পরামিতিগুলি মূল প্যারামিটারগুলির বিভিন্ন ধরণের জন্য মূল পরামিতিগুলির ফাংশন হওয়া উচিত। অর্থাৎ সিমুলেশন উদ্দেশ্যে কাজ করার জন্য প্রচুর পরিমাণ প্যারামিটার স্থান থাকতে হবে।

— অ্যান্টনি

ধরে নিই আমরা স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বেচ্ছাসেবী রৈখিক সংমিশ্রণের কথা বলছি , সেখানে (Lévy) স্থিতিশীল বিতরণ রয়েছে । এই জাতীয় ডিস্ট্রিবিউশনের পুরো শ্রেণি একটি নির্দিষ্ট ফর্ম গ্রহণ করে তাদের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বৈশিষ্ট্যযুক্ত। পরিচিত কয়েকটি ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন সহ ঘনত্ব রয়েছে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল দ্বারা বর্ণিত আলফা-আস্তাবলগুলি একটি উত্তর, এবং যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে পরামিতিগুলির অবস্থান এবং স্কেল হওয়া দরকার তবে একমাত্র উত্তর, তবে প্যারামিটারগুলির অবস্থান + স্কেল হওয়া প্রয়োজন না হলে অন্য উত্তরগুলি রয়েছে? (যদিও ওপি যা চেয়েছিল তা থেকে এটি এখনও অনেক দূরে যে এটি পৃথক প্রশ্ন হওয়া উচিত)।

— জুহো কোক্কালা

প্যারামিটারগুলি অবস্থান এবং স্কেল না হলেও আমি জবাবগুলিতে আগ্রহী।

— অ্যান্টনি

@ জুহো আমি বিশ্বাস করি উত্তরটি হ্যাঁ হয়। ডিস্ট্রিবিউশনের যোগফলগুলি (পয়েন্টওয়াইস) যোগফল উত্পাদনের ফাংশনের সমষ্টি (বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনের লোগারিদম হিসাবে সংজ্ঞায়িত), সুতরাং সংশ্লেষের অধীনে বিতরণগুলির একটি সেট বন্ধ হওয়া স্বাভাবিকভাবে সমস্ত বিতরণের সংস্থার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত যা (বাস্তব) লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলি হয় যারা সিজিএফ এর।

— whuber

Answer 1

এটি সুপরিচিত যে 2 র্যান্ডম সাধারণ ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সংমিশ্রণটিও এলোমেলো স্বাভাবিক পরিবর্তনশীল vari এমন কোনও সাধারণ-সাধারণ বিতরণ পরিবার (যেমন, ওয়েইবুল) যা এই সম্পত্তিটি ভাগ করে দেয়?

সাধারণ বন্টন একটি দুর্দান্ত পরিচয় সন্তুষ্ট করে: । আপনি যদি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বটি উল্লেখ করছেন, তবে উদাহরণস্বরূপ, একই আকারের সহগ সহ সেই গামা বিতরণগুলি সেই সম্পত্তি ভাগ করবে এবং গামা বিতরণ হিসাবে বিবেচিত হবে। কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদনের অনুরোধ সম্পর্কিত একটি সতর্কতা নোট দেখুন । সাধারণভাবে, তবে, অসম আকারের সহগের সাথে, গামা বিতরণগুলি একটি সংশ্লেষ দ্বারা "যুক্ত" হবে যা গামা বিতরণ হবে না বরং একা হিসাবে পাওয়া প্রথম ধরণের একটি হাইপারজমেট্রিক ফাংশনকে গুণিত একটি গামা ফাংশন। (2) এর$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$দুটি গামা বিতরণ সমঝোতা । যোগ করার অন্যান্য সংজ্ঞা, যা সম্পর্কিত নয় এমন প্রক্রিয়াগুলির একটি মিশ্রণ বিতরণ গঠন করা অগত্যা কোনও কেন্দ্রীয় সীমা প্রদর্শন করবে না, উদাহরণস্বরূপ, যদি উপায়গুলি আলাদা হয়।

সম্ভবত অন্যান্য উদাহরণ রয়েছে, আমি একটি বিস্তৃত অনুসন্ধান করিনি। সমঝোতার জন্য সমাপনটি খুব দূরের বলে মনে হচ্ছে না। লিনিয়ার সংমিশ্রণের জন্য, পিয়ারসন সপ্তম সহ পিয়ারসন সপ্তমের পণ্যটি অন্য পিয়ারসন সপ্তম ।

Comments

আপনি একই স্কেল প্যারামিটারের সাথে ইনপডেপেন্ডেন্ট গামাস এলোমেলো ভেরিয়েবল যুক্ত করতে পারেন এবং সেই একই স্কেল প্যারামিটারের সাথে অন্য গ্যামা পেতে পারেন, তবে আপনি নির্বিচারে লিনিয়ার সংমিশ্রণ নিতে পারবেন না। বেশ কয়েকটি সুপরিচিত বিতরণ রয়েছে যার জন্য আপনি অঙ্কগুলি নিতে পারেন তবে স্বেচ্ছাসেবী রৈখিক সংমিশ্রণগুলি না করে এবং পরিবারের মধ্যে থাকতে পারেন। (ইতিমধ্যে এখানে একটি মুছে ফেলা উত্তর রয়েছে যা একই ত্রুটি করে)

— Glen_b -Reninstate মনিকা

এটি সত্য যে দুটি গামা বিতরণের কনভলিউশন, একা দেখুন। 2, গামা বিতরণ ব্যতীত অন্য কিছু দেয়, যদি এটি আপনার বোঝায়।

— কার্ল

নিবন্ধে স্পষ্টভাবে বলা হয়েছে যে গামার একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ গামা নয় (আমি আগেই উল্লিখিত একই ব্যতিক্রমটি বাদ দিয়ে) এবং আমি যা বলেছিলাম তার সাথে পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে মনে হচ্ছে। আপনি আমাকে যা জিজ্ঞাসা করছেন সে সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই, তবে নিবন্ধটি আমার দাবিটিকে সমর্থন করে যে আপনার উত্তরটি এমন কিছু মনে করছে যা তেমনটি ঘটেনি।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে না, যোগফলটি সাধারণভাবে কী তা বলে। আমি "কিছু" বলার জন্য উত্তরটি পরিবর্তন করেছি। যদি এটি যথেষ্ট পরিমাণে ভাল না হয় তবে আমি সাহায্য করার ক্ষেত্রে আমার বিনীত প্রচেষ্টাটি মুছে ফেলব। এবং যে আমি জিজ্ঞাসা করছি, "যথেষ্ট ভাল, না?"

— কার্ল

উত্তরের জন্য এখন হালকা দিকে। আপনি আপনার মন্তব্য থেকে কিছু উত্তর উত্তর পর্যন্ত সরিয়ে নিতে চাইতে পারেন (কাগজে যা ছিল তার সাথে সম্পর্কিত তথ্য এবং এর লিঙ্কটি, কমপক্ষে যদিও আমি একটি যথাযথ রেফারেন্স অন্তর্ভুক্ত করেছি)

— Glen_b-Reinstate Monica

Answer 2

এটি সুপরিচিত যে 2 র্যান্ডম সাধারণ ভেরিয়েবলের একটি রৈখিক সংমিশ্রণটিও এলোমেলো স্বাভাবিক পরিবর্তনশীল vari এমন কোনও সাধারণ-সাধারণ বিতরণ পরিবার (যেমন, ওয়েইবুল) যা এই সম্পত্তিটি ভাগ করে দেয়?

আমি মনে করি আপনি লেভি-স্থিতিশীল বিতরণের শ্রেণীর সন্ধান করছেন । এই ক্লাস$\mathscr{P}$ সমস্ত বিতরণ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ যে স্থায়িত্ব সম্পত্তি সন্তুষ্ট:

$$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$$

অন্য কথায়, এই শ্রেণীর প্রতিটি বিতরণের জন্য, আপনি যদি সেই বন্টনের সাথে দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি লিনিয়ার ফাংশন গ্রহণ করেন, তবে এটির সেই বিতরণের সাথে একটি একক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অ্যাফাইন ফাংশন হিসাবে সমান বিতরণ রয়েছে। (নোট করুন যে সেট করে এই স্থায়িত্বের প্রয়োজনীয়তা আরও শক্ত করা যেতে পারে , যা কঠোরভাবে স্থিতিশীল বিতরণের সাবক্লাস দেয় gives )$d=0$

লেভি-স্থিতিশীল বিতরণগুলিকে তার নিজস্ব বন্টনগুলির একটি পরিবার হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই অর্থে এটি স্থিতিশীল সম্পত্তি সহ বিতরণের একমাত্র পরিবার, যেহেতু (সংজ্ঞা অনুসারে) এই সম্পত্তি সহ সমস্ত বিতরণকে অন্তর্ভুক্ত করে। সাধারণ বিতরণ লেভি-স্থিতিশীল বিতরণের শ্রেণীর মধ্যে পড়ে যেমন কাচি বিতরণ , ল্যান্ডউ বিতরণ এবং হলটমার্ক বিতরণ ।