অবিচ্ছিন্নভাবে এন্ড বিরতি অঙ্কন করা, সম্ভাবনা যে কমপক্ষে একটি অন্তর অন্য সকলের সাথে ওভারল্যাপ হয়


17

এলোমেলোভাবে আঁকুন n থেকে অন্তরগুলি , যেখানে প্রতিটি শেষ বিন্দু A, B মধ্যে অভিন্ন বিতরণ থেকে নির্বাচিত হয় ।[0,1][0,1]

কমপক্ষে একটি বিরতি অন্য সকলের সাথে ওভারল্যাপ হওয়ার সম্ভাবনা কী?


আপনি শেষ অঙ্কিত An সমস্ত পূর্ববর্তী টানা এর সর্বনিম্নের চেয়ে ছোট A, এবং শেষ Bn এর পূর্ববর্তী সমস্ত অঙ্কিত এর সর্বাধিকের চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনাটি আপনি দেখতে পারেন Bএটি সহায়ক হতে হবে। তারপরে আমাদের শেষের প্রয়োজন নেই , তবে যে কোনও একটির জন্য অ্যাকাউন্টিং করার সম্ভাবনা বাড়িয়ে দিন । (এটির মাধ্যমে কাজ করার মতো সময় আমার কাছে নেই, তবে এটি একটি মজাদার সমস্যা হিসাবে মনে হচ্ছে Good শুভকামনা!)
এস। কোলাসা - মনিকা

কিছুটা অবাক হতে পারে যে (1) উত্তর বিতরণের উপর নির্ভর করে না (কেবল এটি ধারাবাহিক হবে) এবং (2) n>1 এটি স্থির!
whuber

1
এইভাবে কী n তম অন্তরকে বোঝানো হয়েছে: i) [0,1] থেকে এলোমেলোভাবে দুটি সংখ্যা আঁকো, ii) ছোটটি An এবং বড় একটি Bn ?
একওয়াল

উত্তর:


5

এই পোস্টটি প্রশ্নের উত্তর দেয় এবং এটি সঠিক প্রমাণের দিকে আংশিক অগ্রগতির রূপরেখা দেয়।


জন্য n=1 , উত্তর জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ হয় 1 । সব বড় জন্য n , এটা সবসময় (আশ্চর্যজনক) 2/3

কেন তা দেখতে, প্রথমে পর্যবেক্ষণ করুন যে প্রশ্নটি কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণ F (ইউনিফর্ম বিতরণের জায়গায়) তে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে । যে প্রক্রিয়াটির সাহায্যে n অন্তরগুলি উত্পন্ন হয় তা 2n আইড, X1,X2,,X2n থেকে থেকে বের হয় Fএবং অন্তরগুলি গঠন করে

[min(X1,X2),max(X1,X2)],,[min(X2n1,X2n),max(X2n1,X2n)].

কারণ সব 2n এর Xi স্বাধীন, তারা বিনিময়যোগ্য। এর অর্থ হ'ল সমাধানটি একই হবে যদি আমরা এলোমেলোভাবে তাদের সকলকে অনুমতি প্রদান করি। সুতরাং আমরা এক্স i কে বাছাই করে অর্ডার পরিসংখ্যানগুলিতে শর্ত করি :Xi

X(1)<X(2)<<X(2n)

(যেখানে, কারণ অবিরত, কোনও দুটি সমান হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য রয়েছে)) এন অন্তর একটি র্যান্ডম বিন্যাস নির্বাচন করে গঠিত হয় σ S 2 এন এবং জোড়া সংযোগFnσS2n

[min(Xσ(1),Xσ(2)),max(Xσ(1),Xσ(2))],,[min(Xσ(2n1),Xσ(2n)),max(Xσ(2n1),Xσ(2n))].

এর মধ্যে দুটি ওভারল্যাপ হোক বা না তা মানগুলির উপর নির্ভর করবে না ,X(i) কারণ ওভারল্যাপিং যে কোনও একঘেয়ে রূপান্তর দ্বারা সংরক্ষিত আছে এবং এমন রূপান্তর রয়েছে যা এক্সকে ( i ) প্রেরণ করে i । সুতরাং, সাধারণতার কোনও ক্ষতি ছাড়াই, আমরা এক্স ( i ) = i নিতে পারি এবং প্রশ্নটি হয়ে যায়:f:RRX(i)iX(i)=i

সেট করা যাক বিভক্ত করা এন গ্রন্থিচ্যুত doubletons। তাদের কাউকে দুই, { 1 , R 1 } এবং { 2 , R 2 } (সঙ্গে আমি < আমি ), ওভারল্যাপ যখন 1 > 2 এবং 2 > 1{1,2,,2n1,2n}n{l1,r1}{l2,r2}li<rir1>l2r2>l1। বলুন যে একটি পার্টিশনটি "ভাল" যখন এর অন্তত একটি উপাদান অন্য সমস্তকে ওভারল্যাপ করে (এবং অন্যথায় "খারাপ")। ফাংশন হিসাবে , ভাল পার্টিশনের অনুপাত কত?n

উদাহরণস্বরূপ, কেস বিবেচনা করুন । তিনটি পার্টিশন রয়েছে,n=2

{{1,2},{3,4}}, {{1,4},{2,3}}, {{1,3},{2,4}},

যার মধ্যে দুটি ভাল (দ্বিতীয় এবং তৃতীয়) রঙিন লাল হয়ে গেছে। সুতরাং ক্ষেত্রে উত্তর হয় 2 / 3n=22/3

আমরা এই জাতীয় পার্টিশনগুলি গ্রাফ করতে পারি পয়েন্ট ষড়যন্ত্র দ্বারা { 1 , 2 , ... , 2 এন } একটি সংখ্যা লাইনে এবং প্রতিটি মধ্যে রেখাংশ অঙ্কনআমি এবং r আমি তাদের সামান্য সমতা চাক্ষুষ ওভারল্যাপ সমাধান করতে। পূর্ববর্তী তিনটি পার্টিশনের প্লটগুলি একই রং সহ একই ক্রমে:{{li,ri},i=1,2,,n}{1,2,,2n}liri

Figure 1

এখন থেকে এই ফর্ম্যাটে সহজেই এই জাতীয় প্লট ফিট করার জন্য, আমি তাদের পাশের দিকে ঘুরিয়ে দেব। উদাহরণস্বরূপ, আবার ভাল রঙিন বর্ণের সাথে আবার এন = 3 এর জন্য পার্টিশন রয়েছে :15n=3

Figure 2

দশ, ভাল তাই জন্য উত্তর হয় 10 / 15 = 2 / 3n=310/15=2/3

প্রথম আকর্ষণীয় পরিস্থিতি তখন ঘটে যখন । এখন, প্রথমবারের জন্য, অন্তরগুলির মিলনের জন্য 1 এর মাধ্যমে 2 এন বিস্তৃত হওয়া তাদের কোনও একটিকে অন্যকে ছেদ না করা সম্ভব। একটি উদাহরণ { { 1 , 3 } , { 2 , 5 } , { 4 , 7 } , { 6 , 8 } } । লাইন বিভাগগুলির ইউনিয়ন 1 থেকে 8 পর্যন্ত অবিচ্ছিন্নভাবে চালিত হয়n=412n{{1,3},{2,5},{4,7},{6,8}}18তবে এটি একটি ভাল বিভাজন নয়। তা সত্ত্বেও, এর 105 পার্টিশন ভাল এবং অনুপাত রয়ে 2 / 3701052/3


সাথে পার্টিশনের সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায় : এটি 1 3 5 2 n - 1 = ( 2 n ) এর সমান ! / ( 2 এন এন ! ) । মাধ্যমে সম্ভাবনার সম্পূর্ণ শুমার এন = 7 উত্পাদ চলতে 2 / 3 উত্তর হিসাবে। মন্টে-কার্লো সিমুলেশনগুলি এন = 100 এর মাধ্যমে ( প্রতিটিতে 10000 পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে) 2 থেকে কোনও উল্লেখযোগ্য বিচ্যুতি দেখায় নাn1352n1=(2n)!/(2nn!)n=72/3n=100100002/3

আমি দৃ am় প্রতিজ্ঞ যে এখানে একটি চতুর, সহজ উপায় আছে যা দেখানোর পক্ষে সর্বদা অনুপাতের ভাল থেকে খারাপ পার্টিশন থাকে, তবে আমি এর সন্ধান পাই নি। সতর্কতার সাথে একীকরণের মাধ্যমে একটি প্রমাণ পাওয়া যায় ( এক্স i এর মূল ইউনিফর্ম বিতরণ ব্যবহার করে ) তবে এটি জড়িত এবং আলোকিত করা হয়।2:1Xi


খুব ঠান্ডা. "অর্ডার পরিসংখ্যানের শর্ত" এর অর্থ কী তা অনুসরণ করতে আমার বেশ কষ্ট হয়েছে, অন্তর্দৃষ্টি একটি লাইন যুক্ত করা কি সম্ভব হবে? একটি দরকারী কৌশল মত মনে হচ্ছে। আমি যে পর্যন্ত বুঝতে বিনিময়যোগ্য হয়, প্রকৃতপক্ষে এমনকি আমি আমি , যে এই আমাদের কোনো বিন্যাস বিবেচনা করতে পারেন। Xiiid
একওয়াল

1
@Student To "condition on" means to say, let's temporarily hold these values fixed and consider what we can learn from that. Later, we will let those values vary (according to their probability distribution). In this case, once we find that the answer is 2/3 regardless of the fixed values of the order statistics, then we no longer have to carry out the second step of varying the order statistics. Mathematically, the order stats are a vector-valued variable X and the indicator of being good is Y, so
E(Y)=E(E(Y|X))=E(2/3)=2/3.
whuber
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.