এলোমেলোভাবে আঁকুন থেকে অন্তরগুলি , যেখানে প্রতিটি শেষ বিন্দু A, B মধ্যে অভিন্ন বিতরণ থেকে নির্বাচিত হয় ।
কমপক্ষে একটি বিরতি অন্য সকলের সাথে ওভারল্যাপ হওয়ার সম্ভাবনা কী?
এলোমেলোভাবে আঁকুন থেকে অন্তরগুলি , যেখানে প্রতিটি শেষ বিন্দু A, B মধ্যে অভিন্ন বিতরণ থেকে নির্বাচিত হয় ।
কমপক্ষে একটি বিরতি অন্য সকলের সাথে ওভারল্যাপ হওয়ার সম্ভাবনা কী?
উত্তর:
এই পোস্টটি প্রশ্নের উত্তর দেয় এবং এটি সঠিক প্রমাণের দিকে আংশিক অগ্রগতির রূপরেখা দেয়।
জন্য , উত্তর জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ হয় । সব বড় জন্য , এটা সবসময় (আশ্চর্যজনক) ।
কেন তা দেখতে, প্রথমে পর্যবেক্ষণ করুন যে প্রশ্নটি কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণ (ইউনিফর্ম বিতরণের জায়গায়) তে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে । যে প্রক্রিয়াটির সাহায্যে অন্তরগুলি উত্পন্ন হয় তা আইড, থেকে থেকে বের হয় এবং অন্তরগুলি গঠন করে
কারণ সব এর স্বাধীন, তারা বিনিময়যোগ্য। এর অর্থ হ'ল সমাধানটি একই হবে যদি আমরা এলোমেলোভাবে তাদের সকলকে অনুমতি প্রদান করি। সুতরাং আমরা এক্স i কে বাছাই করে অর্ডার পরিসংখ্যানগুলিতে শর্ত করি :
(যেখানে, কারণ অবিরত, কোনও দুটি সমান হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য রয়েছে)) এন অন্তর একটি র্যান্ডম বিন্যাস নির্বাচন করে গঠিত হয় σ ∈ S 2 এন এবং জোড়া সংযোগ
এর মধ্যে দুটি ওভারল্যাপ হোক বা না তা মানগুলির উপর নির্ভর করবে না , কারণ ওভারল্যাপিং যে কোনও একঘেয়ে রূপান্তর দ্বারা সংরক্ষিত আছে এবং এমন রূপান্তর রয়েছে যা এক্সকে ( i ) প্রেরণ করে i । সুতরাং, সাধারণতার কোনও ক্ষতি ছাড়াই, আমরা এক্স ( i ) = i নিতে পারি এবং প্রশ্নটি হয়ে যায়:
সেট করা যাক বিভক্ত করা এন গ্রন্থিচ্যুত doubletons। তাদের কাউকে দুই, { ঠ 1 , R 1 } এবং { ঠ 2 , R 2 } (সঙ্গে ঠ আমি < দ আমি ), ওভারল্যাপ যখন দ 1 > ঠ 2 এবং দ 2 > ঠ 1। বলুন যে একটি পার্টিশনটি "ভাল" যখন এর অন্তত একটি উপাদান অন্য সমস্তকে ওভারল্যাপ করে (এবং অন্যথায় "খারাপ")। ফাংশন হিসাবে , ভাল পার্টিশনের অনুপাত কত?
উদাহরণস্বরূপ, কেস বিবেচনা করুন । তিনটি পার্টিশন রয়েছে,
যার মধ্যে দুটি ভাল (দ্বিতীয় এবং তৃতীয়) রঙিন লাল হয়ে গেছে। সুতরাং ক্ষেত্রে উত্তর হয় 2 / 3 ।
আমরা এই জাতীয় পার্টিশনগুলি গ্রাফ করতে পারি পয়েন্ট ষড়যন্ত্র দ্বারা { 1 , 2 , ... , 2 এন } একটি সংখ্যা লাইনে এবং প্রতিটি মধ্যে রেখাংশ অঙ্কন ঠ আমি এবং r আমি তাদের সামান্য সমতা চাক্ষুষ ওভারল্যাপ সমাধান করতে। পূর্ববর্তী তিনটি পার্টিশনের প্লটগুলি একই রং সহ একই ক্রমে:
এখন থেকে এই ফর্ম্যাটে সহজেই এই জাতীয় প্লট ফিট করার জন্য, আমি তাদের পাশের দিকে ঘুরিয়ে দেব। উদাহরণস্বরূপ, আবার ভাল রঙিন বর্ণের সাথে আবার এন = 3 এর জন্য পার্টিশন রয়েছে :
দশ, ভাল তাই জন্য উত্তর হয় 10 / 15 = 2 / 3 ।
প্রথম আকর্ষণীয় পরিস্থিতি তখন ঘটে যখন । এখন, প্রথমবারের জন্য, অন্তরগুলির মিলনের জন্য 1 এর মাধ্যমে 2 এন বিস্তৃত হওয়া তাদের কোনও একটিকে অন্যকে ছেদ না করা সম্ভব। একটি উদাহরণ { { 1 , 3 } , { 2 , 5 } , { 4 , 7 } , { 6 , 8 } } । লাইন বিভাগগুলির ইউনিয়ন 1 থেকে 8 পর্যন্ত অবিচ্ছিন্নভাবে চালিত হয়তবে এটি একটি ভাল বিভাজন নয়। তা সত্ত্বেও, এর 105 পার্টিশন ভাল এবং অনুপাত রয়ে 2 / 3 ।
সাথে পার্টিশনের সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায় : এটি 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ⋅ 2 n - 1 = ( 2 n ) এর সমান ! / ( 2 এন এন ! ) । মাধ্যমে সম্ভাবনার সম্পূর্ণ শুমার এন = 7 উত্পাদ চলতে 2 / 3 উত্তর হিসাবে। মন্টে-কার্লো সিমুলেশনগুলি এন = 100 এর মাধ্যমে ( প্রতিটিতে 10000 পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে) 2 থেকে কোনও উল্লেখযোগ্য বিচ্যুতি দেখায় না ।
আমি দৃ am় প্রতিজ্ঞ যে এখানে একটি চতুর, সহজ উপায় আছে যা দেখানোর পক্ষে সর্বদা অনুপাতের ভাল থেকে খারাপ পার্টিশন থাকে, তবে আমি এর সন্ধান পাই নি। সতর্কতার সাথে একীকরণের মাধ্যমে একটি প্রমাণ পাওয়া যায় ( এক্স i এর মূল ইউনিফর্ম বিতরণ ব্যবহার করে ) তবে এটি জড়িত এবং আলোকিত করা হয়।