এই বিতরণের একটি নাম আছে? বা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া কী এটি তৈরি করতে পারে?

ভর ফাংশন সহ একটি পৃথক বিতরণ

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

এই পেপার 9 পৃষ্ঠায় উত্থিত ।

জন্য এটি একটি হল ইউল-সাইমন বন্টন সঙ্গে , কিন্তু আমি অন্য কোন উদাহরণ পাই নি। $k=1$ $\rho=1$

এটির কি একটি নাম আছে? এটি কি অন্য কোনও প্রসঙ্গে দেখা যায়? এমন কোনও সাধারণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া রয়েছে যা এটি তৈরি করতে পারে?

distributions

— সাইমন বাইর্ন
সূত্র

এটি একটি পৃথক ক্ষমতা আইন।

(এটি একটি বিবরণ - যার অর্থ নীচে সুনির্দিষ্টভাবে তৈরি করা হবে - একটি প্রযুক্তিগত শর্ত না করে "" বিচ্ছিন্ন শক্তি আইন "বাক্যাংশটির কিছুটা আলাদা প্রযুক্তিগত অর্থ রয়েছে, যা এই উত্তরটির মন্তব্যে @ কার্ডিনাল দ্বারা নির্দেশিত হয়েছে।)

এটি দেখতে, লক্ষ্য করুন যে আংশিক ভগ্নাংশ পচন লেখা যেতে পারে

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

সিডিএফ টেলিস্কোপগুলি একটি বদ্ধ আকারে:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(ঘটনাচক্রে, এটি সহজেই উল্টে যায় তাই এটি তাত্ক্ষণিকভাবে এই বিতরণ থেকে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি উত্পন্ন করার কার্যকর উপায় সরবরাহ করে: কেবল গণনা যেখানে অভিন্নভাবে বিতরণ করা হয় ।) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

এই সম্মানের সাথে এই অভিব্যক্তিটিকে আলাদা করে দেখায় যে কীভাবে সিডিএফকে অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লেখা যায়, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

কোথা হইতে

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

এই লেখার এই ফর্মটি ঘনত্ব দ্বারা নির্ধারিত (অবিচ্ছিন্ন) বন্টন পরিবারের জন্য স্কেল প্যারামিটার হিসাবে প্রদর্শন করে $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

এবং শো কিভাবে discretized এর সংস্করণ (দ্বারা ছোটো ) থেকে ব্যবধান ধরে একটানা সম্ভাব্যতা একীভূত দ্বারা প্রাপ্ত থেকে । এটি স্পষ্টতই ঘাতক সহ একটি পাওয়ার আইন । এই পর্যবেক্ষণটি আপনাকে বিদ্যুৎ আইন এবং বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং পরিসংখ্যানগুলিতে কীভাবে উত্থিত হয় সে সম্পর্কে বিস্তৃত সাহিত্যে প্রবেশের সুযোগ দেয় যা আপনার শেষ দুটি প্রশ্নের অনেক উত্তর প্রস্তাব দিতে পারে। $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
সূত্র

(+1) সম্ভাব্যতা ভর কার্য থেকে, এটা পরিষ্কার যে হিসাবে , যা এটি একটি পাওয়ার-আইন বিতরণ উপসংহারে যথেষ্ট বলে মনে হয়। আসলে, হিসাবে ।

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— কার্ডিনাল

তুমি ডান @cardinal, কিন্তু এই যুক্তি করার জন্য একটি সীমাবদ্ধতা আছে: এটি শুধুমাত্র অনুষ্ঠান হয় এসিম্পটোটিকভাবে একটি ক্ষমতা আইন। গণনাগুলি দেখায় যে এটি একটি পাওয়ার আইনের একেবারে বিযুক্ত সংস্করণ।

p

$p$

— হোবার

আপনি যে পার্থক্যটি আঁকতে চেষ্টা করছেন তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এ সম্পর্কে সাবধানতার সাথে চিন্তা করার সুযোগ পাইনি, তবে মনে হচ্ছে আপনি একটি বিচ্ছিন্ন বিদ্যুৎ আইন বিতরণকে এমন একটি হিসাবে সংজ্ঞা দিচ্ছেন যা একটি অবিচ্ছিন্ন শক্তি আইন বিতরণের একটি বিচক্ষণ সংস্করণ। আমি কি আপনার মন্তব্যের সঠিক ব্যাখ্যা দিচ্ছি? যে কোনও হারে, আমি যখন সাহিত্যে বিচ্ছিন্ন শক্তি আইনগুলির রেফারেন্স দেখতে পাই, তখন সাধারণ সংজ্ঞাটি আমি ব্যবহার করেছি এমনটি দুর্বল (অর্থাত্ অ্যাসিম্পটোটিক) বলে মনে হয়। (অবিরত)

— কার্ডিনাল

(অবিরত) অন্যদিকে, একটি জিপফ বিতরণ যতটা সম্ভব বিচ্ছিন্ন বিদ্যুৎ আইনের তুলনায় খাঁটি মনে হবে, তবুও আমি বিশ্বাস করি না যে এটি একটি অবিচ্ছিন্ন শক্তি আইনের বিচক্ষণতার হিসাবে উত্পন্ন হতে পারে। আমি কি আপনার উদ্দেশ্যটির ভুল ব্যাখ্যা করেছি? (যাইহোক, উপরের আপনার উন্নয়নটি বেশ দুর্দান্ত the সিডিএফের জন্য দূরবীনসংখ্যার সমষ্টিটির স্বীকৃতি দুর্দান্ত, যেমন একটি সহজ নমুনা প্রকল্পের স্বীকৃতি))

— কার্ডিনাল

ঠিক আছে, আরও কিছু তদন্তের পরে আমি আরও কিছু বিশদ পেয়েছি।

এটি একটি বিটার সাথে জ্যামিতিক বিতরণের একটানা মিশ্রণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, তাই বিটা-জ্যামিতিক বিতরণও বলা যেতে পারে । বিশেষত, যদি: এবং: তবে এর প্রান্তিক বিতরণে এই বিতরণ রয়েছে। এর মতো, এটি একটি বিটা-নেগেটিভ দ্বিপদী বিতরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে ।

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

এটিতে আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

এর অসীম গড় আছে
এটা তার নিজের লেজ বিতরণ বর্ণনা: যদি পরামিতি সঙ্গে এই ডিস্ট্রিবিউশন আছে , তারপর প্যারামিটার । $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— সাইমন বাইর্ন
সূত্র