এলোমেলো অর্থ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলকে "জালিস" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার পিছনে কী?

15

সম্ভাব্যতার তত্ত্বে, একটি অ-নেগেটিভ র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল ল্যাটিস $X$ বলা হয় তবে সেখানে মতো থাকে যে $d \geq 0$ $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ ।

এই সংজ্ঞাটিকে কেন জালিক বলা হয় তার জন্য কোনও জ্যামিতিক ব্যাখ্যা আছে?

probability

— user1398057
সূত্র

19

এর অর্থ হ'ল $X$ পৃথক, এবং এর বিতরণে নিয়মিত ব্যবধানের একধরনের ব্যবস্থা রয়েছে; এটি হ'ল, সম্ভাব্যতা ভর সীমাবদ্ধ / গণনাযোগ্য বিন্দু উপর কেন্দ্রীভূত হয় ${d, 2d, 3d, \dots}$ ।

মনে রাখবেন যে সমস্ত বিচ্ছিন্ন বিতরণ জাল নয়। যেমন যদি মান নিতে পারেন , এই একটি জাফরি যেহেতু নেই নেই যেমন যে সব মান এর গুণিতক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে । $X$ $\{1, e, \pi, 5\}$ $d$ $d$

— হংক ওও
সূত্র

15

এই পরিভাষাটি গ্রুপ তত্ত্বের ধারণার সাথে এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে সংযুক্ত করে জ্যামিতিক প্রতিসাম্য অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত । অতএব আপনি আরও সাধারণ সংযোগটি দেখে উপভোগ করতে পারেন, যা জালযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অর্থ এবং সম্ভাব্য প্রয়োগগুলিকে আলোকিত করবে।

পটভূমি

গণিতে, একটি "জালিস" একটি টপোলজিকাল গ্রুপ ( সাধারণত একটি সীমাবদ্ধ কোভলিউম আছে বলে ধরে নেওয়া হয় ) এর একটি পৃথক উপগোষ্ঠী । $\mathcal{L}$ $G$

"বিচ্ছিন্ন" অর্থ প্রতিটি উপাদান প্রায় একটি খোলা সেট শুধুমাত্র ধারণকারী নিজেই: । এটা তোলে ন্যায্য মনে হবে পয়েন্ট একটি "প্যাটার্ন" বা "নিয়মিত" ব্যবস্থা হচ্ছে । $g\in\mathcal{L}$ $\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$ $g$ $\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$ $\mathcal{L}$ $G$
গ্রুপ উপর কাজ করে "চলন্ত পয়েন্টে চারপাশে ," একটি বিরচন কক্ষপথে প্রতিটি এক আউট। এই ক্রিয়াটির একটি মৌলিক ডোমেন প্রতিটি কক্ষপথে একক পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। একটি মাপ দিয়ে সজ্জিত হতে পারে - হার পরিমাপ - এর বোরেল পরিমাপযোগ্য উপগ্রহের আকার বা ভলিউম পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয় । একটি পরিমাপযোগ্য মৌলিক ডোমেন পাওয়া যাবে। এর ভলিউম হয় covolume এর । যখন এটি সসীম হয়, আমরা মনে করতে পারেন এই মৌলিক ডোমেন এবং উপাদান দ্বারা টালিকৃত হচ্ছে হিসাবে প্রায় টাইলস চলন্ত হিসাবে। $G$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $G$ $G$ $G$ $\mathcal{L}$ $G$ $\mathcal{L}$

Figure: Sea Horse (No. 11), M. C. Escher

এই সমুদ্রের ঘোড়ার পরিসংখ্যানগুলির যে কোনও জুড়ি - যেখানে একটি ডানদিকে এবং অন্যটি উল্টো দিকে - ইউক্লিডিয়ান বিমানের দৃশ্যমান স্পষ্ট জালির জন্য একটি মৌলিক ডোমেন হতে পারে। এমসি এসচার, সমুদ্র ঘোড়া (নং 11) ।

একটি "জালি" র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি জালিতে সমর্থিত । $X$ $(\mathbb{R}^n, {+})$ এর অর্থ এটির সমস্ত সম্ভাবনা জালির বন্ধে অন্তর্ভুক্ত। যেহেতু একটি জালাগুলি পৃথক, এটি বন্ধ, তাই মানগুলি ল্যাটিসে প্রায় নিশ্চিতভাবেই থাকে: । $X$ $\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

আবেদন

এই প্রশ্নটি দ্বারা উত্থাপিত গোষ্ঠীটি হ'ল আসল সংখ্যার যুক্তকারী গ্রুপ, , এর স্বাভাবিক (ইউক্লিডিয়ান) টপোলজি সহ। উপগোষ্ঠী হিসাবে, একটি জাল অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করে । এটি একাই যথেষ্ট হবে না, কারণ ভাগফল এর অসীম ভলিউম (এই 1 ডি ক্ষেত্রে "ভলিউম" = "দৈর্ঘ্য") রয়েছে। সুতরাং অন্তত একটি অশূন্য উপাদান । এই উপাদানটির সমস্ত শক্তি অবশ্যই উপগোষ্ঠীতে থাকতে হবে। যেহেতু অপারেশন ছাড়াও , শক্তি হয় $(\mathbb{R}, {+})$ $\mathcal{L}$ $0$ $\mathbb{R}/\{0\}$ $g\in\mathcal{L}$ $n^\text{th}$ $g$ $ng$ । অতএব এর সমস্ত অবিচ্ছেদ্য (negativeণাত্মকগুলি সহ) ধারণ করে । $\mathcal{L}$ $g$

যদি দুটি উপাদান যা একে অপরের শক্তি নয় তবে এটি সহজে দেখানো (সংখ্যা তত্ত্বের একটি ক্ষুদ্র বিট ব্যবহার করে) দেখানো সহজ যে (1) সমস্ত সংমিশ্রণ , , একের সাথে এক আদেশ জোড়া সঙ্গে চিঠিপত্রে হয় এবং (2) এই সমন্বয় ঘন মধ্যে , যা অর্থ হবে বিযুক্ত নয়। এ থেকে এটি উপসংহারে সোজা হয় যে এর সমস্ত উপাদানই একক সংখ্যার শক্তি $h,g\in\mathcal{L}$ $ng+mh$ $n,m\in\mathbb{Z}$ $(m,n)$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ । $g$ এইজেনারেটরএর । $\mathcal{L}$

(একজন অনুরূপ যুক্তি শো lattices যে থাকতে হবে জেনারেটর। Escher জল রং জন্য জেনারেটর হতে পারে, বলে, দুই এবং ডানে এক ইউনিট প্রায় নিচে একটি অনুবাদ এক ইউনিট নিচে ইউনিট এবং অনুবাদ। ) $(\mathbb{R}^n, {+})$ $n$

ফলে, কোনো বাস্তব-মান জাফরি দৈব চলক সংশ্লিষ্ট উপর হতে হবে জেনারেটরের , কোথা $X$ $(\mathbb{R}, {+})$ $g\ne 0$

\sum_{n = 0}^{\infty} Pr (X = n g) \leq \sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (X = n g) = Pr (X \in L) = 1.

$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$

সুতরাং প্রশ্নের সংজ্ঞাটি একটি অ-নেতিবাচক জাল ভেরিয়েবল হিসাবে বোঝা যায় । আমরা , অন্যথায় উপগোষ্ঠী সমর্থিত , যা অসীম কোভলিউমযুক্ত, একটি জাল নয়। $\Pr(X=0) \lt 1$ $X$ $\{0\}$

সাধারণীকরণ

ধনাত্মক আসল সংখ্যা একটি গুণক গ্রুপ গঠন করে। এই গোষ্ঠীর একটি জাল ফর্মের হবে $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ কিছু । (এই ল্যাটিসের কোভলিউম ) তদনুসারে, যেকোন র্যান্ডম ভেরিয়েবল জন্য $\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$ $g \gt 0$ $|\log(g)|$ $Y$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (Y = g^{n}) = 1

$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$

এই গ্রুপে একটি জাল পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। স্পষ্টতই, হ'ল একটি জালিক পরিবর্তনশীল হবে । $\log(Y)$ $(\mathbb{R}, {+})$

— whuber
সূত্র