মিডিয়ানটি কি "মেট্রিক" বা "টপোলজিকাল" সম্পত্তি?

Question

পরিভাষার সামান্য অপব্যবহারের জন্য আমি ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি; আমি আশা করি নীচে আমার অর্থ কী তা পরিষ্কার হয়ে যাবে।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন । মিন ও মিডিয়ান একটি optimality নির্ণায়ক দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে উভয়: গড় ওই নাম্বার টা হয় যে ছোট , এবং মধ্যমা যে সংখ্যা যা ছোট \ mathrm ই (| এক্স - \ মিউ |) । এই দৃষ্টিকোণে, গড় এবং মধ্যকের পার্থক্য হ'ল বিচ্যুতি, বর্গ বা পরম মানের মূল্যায়নের জন্য "মেট্রিক" পছন্দ ric$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

অন্যদিকে, মিডিয়ান হ'ল সেই সংখ্যাটি যার জন্য $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ (পরম ধারাবাহিকতা অনুমান করে), অর্থাত্ এই সংজ্ঞাটি কেবল এক্সের মানগুলি অর্ডার করার ক্ষমতার উপর নির্ভর করে এবং এর থেকে পৃথক কত তারা বিসদৃশ্য। এর পরিণতি হ'ল প্রতিটি কড়া ক্রমবর্ধমান ক্রিয়াকলাপের জন্য f (x) , \ mathrm {median} (f (X)) = f (th mathrm {median} (X)) , অর্থাত এটি "টপোলজিকাল" অর্থে "রাবারের মতো" রূপান্তরগুলির অধীনে আক্রমণ।$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

এখন আমি গণিতটি করেছি এবং আমি জানি যে অনুকূল মানদণ্ড থেকে শুরু করে আমি $\frac12$ frac12- কোয়ান্টাইল এ পৌঁছতে পারি, সুতরাং উভয়ই একই জিনিস বর্ণনা করে। তবে তবুও আমি বিভ্রান্ত, কারণ আমার অন্তর্নিহিততা আমাকে বলেছে যে একটি "মেট্রিক" এর উপর নির্ভর করে এমন কোনও কিছু "টপোলজিকাল" সম্পত্তি হতে পারে না।

কেউ কি আমার জন্য এই ধাঁধা সমাধান করতে পারে?

Comments

দুর্দান্ত শিরোনাম! :-)

— লুইস মেন্ডো

Answer 1

আপনার যুক্তির ত্রুটিটি হ'ল মেট্রিকের উপর নির্ভর করে এমন কিছু কোনও টপোলজিকাল সম্পত্তি হতে পারে না।

মেট্রিক স্পেসগুলির সংক্ষিপ্ততা নিন। এটি মেট্রিকের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: কমপ্যাক্টনেস মানে হল যে স্থানটি সম্পূর্ণ (মেট্রিকের উপর নির্ভরশীল) এবং সম্পূর্ণ সীমাবদ্ধ (মেট্রিকের উপর নির্ভরশীল)। যদিও দেখা যাচ্ছে যে এই সম্পত্তিটি হোমিওমর্ফিজমের অধীনে একটি আক্রমণকারী এবং প্রকৃতপক্ষে কেবল টপোলজির (কোনও প্রচ্ছদের সীমাবদ্ধ সাব কভার, স্বাভাবিকভাবে) সংজ্ঞা দেওয়া যেতে পারে।

আরেকটি উদাহরণ হ'ল বিভিন্ন হোমোলজি তত্ত্ব। কেবলমাত্র একক হোমোলজির সংজ্ঞাটি সত্যই টপোলজিক্যাল। সরল, সেলুলার, ডি রাহাম (কোহোমোলজি, তবে আমাকে কিছুটা আলগাতা দিন) ইত্যাদি সমস্ত অতিরিক্ত কাঠামোর উপর নির্ভর করে, তবে সমান হয়ে উঠুন (এবং এর সাথে কাজ করা কিছুটা সহজ)।

এটি গণিতে প্রচুর পরিমাণে আসে, কখনও কখনও কোনও কিছুর সংজ্ঞা দেওয়ার সহজতম উপায় হ'ল কিছু আনুষঙ্গিক কাঠামোর শর্তে এবং তারপরে এটি প্রদর্শিত হয় যে ফলস্বরূপ সত্তা আদৌ আনুষাঙ্গিক কাঠামোর পছন্দের উপর নির্ভর করে না।

Comments

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! মনে হচ্ছে আপনি আমার পরিভাষাটি যতটা সম্ভব ভেবেছিলেন তার চেয়ে বেশি গুরুত্ব সহকারে নিচ্ছেন। আমাকে স্বীকার করতে হবে যে টপোলজিক্যাল এবং মেট্রিক স্পেস সম্পর্কে আমার কাছে কেবলমাত্র প্রাথমিক জ্ঞান রয়েছে, সুতরাং এটি একটি মূ question় প্রশ্ন হতে পারে: আমি বুঝতে পারি যে আনুষাঙ্গিক কাঠামো ব্যবহার করা জীবনকে সহজ করে তোলে যদিও এটি কঠোরভাবে প্রয়োজনীয় নয় - ঠিক আছে, সম্ভবত এটিই কেস এখানেও.

— এ। ডোন্ডা 4'15

তবে আপনি এটিও বলেছিলেন যে "ফলস্বরূপ সত্তা আদৌ আনুষাঙ্গিক কাঠামোর পছন্দের উপর নির্ভর করে না"। আমি কি সঠিকভাবে বুঝতে পারি যে সঠিক টোপোলজিতে পৌঁছানোর জন্য কেউ বিভিন্ন আনুষঙ্গিক কাঠামো ব্যবহার করতে পারে? যদি হ্যাঁ, তবে সাদৃশ্যটি এখানে ভেঙে যায়, কারণ "স্কয়ার মেট্রিক" ব্যবহার করে আমি মিডিয়ায় পৌঁছাই না, তবে গড়পড়তা , যা একঘেয়ে রূপান্তরের অধীনে অদম্য নয় ।

— এ। ডোন্ডা 4'15

ভাল যুক্তি. আমি কি বলছি, তাই নয় বিস্ময়কর যে যখন এমন কিছু বিষয় যা অনুমান করা করতে পারেন এবং প্রায়ই এই ঘটনার যখন আপনি একটি দরকারী ধারণা পাওয়া যায় - একটি কাঠামো পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা আউট tuns একটি দুর্বল কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা হোক! আপনার ক্ষেত্রে, আপনি পাটিগণিত এবং আসল সংখ্যার একীকরণের ক্ষেত্রে মধ্যস্থকে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন, এটি অনেক কাঠামো, তবে বাস্তবে এমন একটি সংজ্ঞা রয়েছে যা অর্ডিংয়ের জন্য পাটিগণিতকে একটি দুর্বল কাঠামোকে কেনাবেচা করে। আমার কেসগুলি চূড়ান্ত ছিল, যেখানে দুর্বল কাঠামোটি প্রায় কোনও কাঠামো হিসাবে দেখা দেয়।

— ম্যাথু ড্র্যারি

আর একটা কথা. আপনি বলতে পারে যে কারণ যে একঘেয়ে রূপান্তরের মধ্যমা সংরক্ষণ হয় কারণ তাদের গঠন পদ, যার জন্য একঘেয়ে রূপান্তরের হয় সংজ্ঞায়িত করতে একটি উপায় আছে morphisms । মরফিজম একটি সাধারণ বিমূর্ত বাজে শব্দ, যার অর্থ এমন ফাংশন যা কিছু কাঠামো সংরক্ষণ করে ।

— ম্যাথু ড্র্যারি

ঠিক আছে, আমি সাধারণ পয়েন্ট পাই তবে আমার এখনও অনুভূতি আছে যে অব্যক্ত কিছু রয়েছে, বিশেষত উপরে বর্ণিত পয়েন্টটি। আমি উজ্জীবিত হয়েছি, কিন্তু এই কারণে আমি আপনার উত্তর গ্রহণ করব না - সম্ভবত কেউ অতিরিক্ত কিছু অন্তর্দৃষ্টি নিয়ে আসে। আবার ধন্যবাদ!

— এ। ডোন্ডা