দ্বারা ভাগ করা একটি সাধারণ

দিন $Z \sim N(0,1)$ এবং $W \sim \chi^2(s)$ ।

যদি $Z$ এবং $W$ স্বাধীনভাবে বিতরণ করা হয় তারপর পরিবর্তনশীল $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ অনুসরণ a $t$ স্বাধীনতার ডিগ্রি সহ বিতরণ $s$ ।

আমি এই সত্যের একটি প্রমাণ খুঁজছি, আপনি সম্পূর্ণ যুক্তিটি লিখতে না চাইলে একটি রেফারেন্স যথেষ্ট ভাল।

probability distributions references

— Monolite
সূত্র

এটি আনুষ্ঠানিকভাবে stats.stackexchange.com/questions/52906 এ প্রদর্শিত হয় : অনুপাতটি, যখন অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লেখা হয় তখন গাউসিয়ানদের মিশ্রণ হিসাবে দেখা যায় এবং এই প্রদর্শনীতে দেখা যায় যে মিশ্রণটি বিতরণে রয়েছে।

— হোবার

কিছু পাঠ্যপুস্তকে এটি টি-বিতরণের সংজ্ঞা। আপনার এটি প্রমাণ করার দরকার নেই। এই জাতীয় সংজ্ঞা প্রদত্ত পিডিএফ কীভাবে অর্জন করবেন তা বৈধ প্রশ্ন।

— এমপিক্টাস

উত্তর:

দিন $Y$ এর সাথে চি-স্কোয়ারের এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে হবে $n$ স্বাধীনতার মাত্রা. তারপরে স্কোয়ার-রুট $Y$ , $\sqrt Y\equiv \hat Y$ চি-বিতরণ হিসাবে বিতরণ করা হয় সাথে হয় $n$ স্বাধীনতার ডিগ্রি, যার ঘনত্ব রয়েছে

\begin{matrix} (1) & চ_{\hat{ওয়াই}} (\hat{Y}) = \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} {\hat{Y}}^{এন - 1} মেপুঃ {- \frac{{\hat{Y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

নির্ধারণ করা $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ । তারপর $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$ , এবং-পরিবর্তনশীল সূত্র দ্বারা আমাদের আছে

চ_{এক্স} (এক্স) = চ_{\hat{ওয়াই}} (\sqrt{এন} এক্স) | \frac{\partial \hat{ওয়াই}}{\partial এক্স} | = \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} (\sqrt{এন} এক্স)^{এন - 1} মেপুঃ {- \frac{(\sqrt{এন} এক্স)^{2}}{2}} \sqrt{এন}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} {এন}^{\frac{এন}{2}} {এক্স}^{এন - 1} মেপুঃ {- \frac{এন}{2} {এক্স}^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

দিন $Z$ পূর্ববর্তীগুলির থেকে পৃথক, একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে হবে এবং এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংজ্ঞা দিন

টি = \frac{জেড}{\sqrt{\frac{ওয়াই}{এন}}} = \frac{জেড}{এক্স}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ ।

দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের অনুপাতের ঘনত্বের কার্যকারিতার জন্য আদর্শ সূত্র দ্বারা,

চ_{টি} (টি) = \int_{- \infty}^{\infty} | এক্স | চ_{জেড} (এক্স টি) চ_{এক্স} (এক্স) ঘ এক্স

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

কিন্তু $f_X(x) = 0$ বিরতি জন্য $[-\infty, 0]$ কারণ $X$ একটি অ-নেতিবাচক আরভি তাই আমরা নিখুঁত মান নির্মূল করতে পারি, এবং এর অবিচ্ছেদ্য হ্রাস করতে পারি

চ_{টি} (টি) = \int_{0}^{\infty} এক্স চ_{জেড} (এক্স টি) চ_{এক্স} (এক্স) ঘ এক্স

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} এক্স \frac{1}{\sqrt{2 π}} মেপুঃ {- \frac{(এক্স টি)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} {এন}^{\frac{এন}{2}} {এক্স}^{এন - 1} মেপুঃ {- \frac{এন}{2} {এক্স}^{2}} ঘ এক্স

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} {এন}^{\frac{এন}{2}} \int_{0}^{\infty} {এক্স}^{এন} মেপুঃ {- \frac{1}{2} (এন + + {টি}^{2}) {এক্স}^{2}} ঘ এক্স \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

ইন্টিগ্রেন্ড ইন $(3)$ অবশেষে গামা ঘনত্ব ফাংশনে রূপান্তরিত হওয়ার প্রতিশ্রুতিবদ্ধ দেখাচ্ছে। সংহতকরণের সীমাগুলি সঠিক, সুতরাং আমাদের সীমাটি পরিবর্তন না করে গামা ঘনত্বের ক্রিয়ায় রূপান্তর করতে ইন্টিগ্রেন্ডটি পরিচালনা করতে হবে। চলক সংজ্ঞায়িত করুন

মি \equiv {এক্স}^{2} \Rightarrow ঘ মি = 2 এক্স ঘ এক্স \Rightarrow ঘ এক্স = \frac{ঘ মি}{2 এক্স}, এক্স = {মি}^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ আমাদের যে সংখ্যায় সংহত হয়েছে তার স্থানে বিকল্প তৈরি করা

\begin{matrix} (4) & {আমি}_{3} = \int_{0}^{\infty} {এক্স}^{এন} মেপুঃ {- \frac{1}{2} (এন + + {টি}^{2}) মি} \frac{ঘ মি}{2 এক্স} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} {মি}^{\frac{এন - 1}{2}} মেপুঃ {- \frac{1}{2} (এন + + {টি}^{2}) মি} ঘ মি \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

গামা ঘনত্ব লেখা যেতে পারে

জি একটি মি মি একটি (মি; ট, θ) = \frac{{মি}^{ট - 1} মেপুঃ {- \frac{মি}{θ}}}{θ^{ট} Γ (ট)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

মিলের সহগগুলি, আমাদের অবশ্যই থাকা উচিত

ট - 1 = \frac{এন - 1}{2} \Rightarrow ট^{*} = \frac{এন + + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (এন + + {টি}^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(এন + + {টি}^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

এই মানগুলির জন্য $k^*$ এবং $\theta^*$ ভেরিয়েবলের সাথে জড়িত ইন্টিগ্রেন্ডের শর্তাদি গামা ঘনত্বের কর্নেল। সুতরাং আমরা যদি সংখ্যাকে ভাগ করে নিই $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$ এবং একই মাত্রার দ্বারা ইন্টিগ্রালের বাইরে গুন করলে অখণ্ডটি গামা ডিস্টার হবে। ফাংশন এবং equalক্য সমান হবে। সুতরাং আমরা পৌঁছেছি

{আমি}_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{ট^{*}} Γ (ট^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{এন + + {টি}^{2}})^{\frac{এন + + 1}{2}} Γ (\frac{এন + + 1}{2}) = 2^{\frac{এন - 1}{2}} {এন}^{- \frac{এন + + 1}{2}} Γ (\frac{এন + + 1}{2}) {(1 + + \frac{{টি}^{2}}{এন})}^{- \frac{1}{2} (এন + + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

EQ উপরোক্ত .োকানো। $(3)$ আমরা পেতে

চ_{টি} (টি) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{এন}{2}}}{Γ (\frac{এন}{2})} {এন}^{\frac{এন}{2}} 2^{\frac{এন - 1}{2}} {এন}^{- \frac{এন + + 1}{2}} Γ (\frac{এন + + 1}{2}) {(1 + + \frac{{টি}^{2}}{এন})}^{- \frac{1}{2} (এন + + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(এন + + 1) / 2]}{\sqrt{এন π} Γ (এন / 2)} {(1 + + \frac{{টি}^{2}}{এন})}^{- \frac{1}{2} (এন + + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... যাকে বলা হয় (এর ঘনত্ব ফাংশন) এর সাথে শিক্ষার্থীর টি-বিতরণ $n$ স্বাধীনতার মাত্রা.

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

যদিও ইএস পিয়ারসন এটি পছন্দ করেননি, ফিশারের মূল যুক্তি জ্যামিতিক, সরল, বিশ্বাসযোগ্য এবং কঠোর ছিল। এটি স্বল্প পরিমাণে স্বজ্ঞাত এবং সহজেই প্রতিষ্ঠিত তথ্যের উপর নির্ভর করে। এগুলি যখন সহজেই ভিজ্যুয়ালাইজড হয় $s=1$ অথবা $s=2$ , যেখানে জ্যামিতিটি দুটি বা তিন মাত্রায় ভিজ্যুয়ালাইজ করা যায়। কার্যত, এটি নলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবহারের পরিমাণ $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ বিশ্লেষণ $s+1$ iid সাধারণ ভেরিয়েবল।

$s+1$ স্বতন্ত্র এবং অভিন্নরূপে বিতরণ করা সাধারণ পরিবর্তনগুলি $X_1, \ldots, X_{s+1}$ গোলাকারভাবে প্রতিসম হয়। এর অর্থ বিন্দুটির রেডিয়াল প্রক্ষেপণ $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ ইউনিট গোলকের উপর $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ একটি অভিন্ন বিতরণ চালু আছে $S^s$ ।
একজন $\chi^2(s)$ বন্টন এর বর্গফলের যোগফল $s$ স্বাধীন মান সাধারণ পরিবর্তিত হয়।
সুতরাং, সেটিং $Z=X_{s+1}$ এবং $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ , অনুপাত $Z/\sqrt{W}$ অক্ষাংশের স্পর্শক $\theta$ বিন্দু $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ ভিতরে $\mathbb{R}^{s+1}$ ।
$\tan\theta$ রেডিয়াল প্রজেকশন দ্বারা অপরিবর্তিত হয় $S^s$ ।
অক্ষাংশের সমস্ত পয়েন্ট দ্বারা নির্ধারিত সেট $\theta$ চালু $S^s$ একটি $s-1$ ব্যাসার্ধের মাত্রিক গোলক $\cos \theta$ । এর $s-1$ মাত্রিক পরিমাপ তাই সমানুপাতিক
${কোসাইন্}^{গুলি - 1} θ = (1 + + {কষা}^{2} θ)^{- (গুলি - 1) / 2} ।$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
ডিফারেন্সিয়াল এলিমেন্টটি হ'ল $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$ ।
লেখা $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ দেয় $\tan\theta = t/\sqrt{s}$ , কোথা থেকে
$1 + + {টি}^{2} / গুলি = 1 + + {কষা}^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ এবং $ঘ টি = \sqrt{গুলি} ঘ কষা θ = \sqrt{গুলি} (1 + + {কষা}^{2} θ) ঘ θ ।$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ একসাথে এই সমীকরণ বোঝা $ঘ θ = \frac{1}{\sqrt{গুলি}} {(1 + + {টি}^{2} / গুলি)}^{- 1} ঘ টি ।$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ এর গুণককে অন্তর্ভুক্ত করা হচ্ছে $1/\sqrt{s}$ একটি স্বাভাবিক ধ্রুবক মধ্যে $C(s)$ এর ঘনত্ব দেখায় আনুপাতিক হয়

$(1 + + {কষা}^{2} θ)^{- (গুলি - 1) / 2} ঘ θ = (1 + + {টি}^{2} / গুলি)^{- (গুলি - 1) / 2} (1 + + {টি}^{2} / গুলি)^{- 1} ঘ টি = (1 + + {টি}^{2} / গুলি)^{- (গুলি + + 1) / 2} ঘ টি ।$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

এটি স্টুডেন্ট টি ডেনসিটি।

ব্যক্তিত্ব

চিত্রটি উপরের গোলার্ধকে (সহ) চিত্রিত করে $Z \ge 0$ ) এর $S^s$ ভিতরে $\mathbb{R}^{s+1}$ । অতিক্রম করা অক্ষগুলি স্প্যান করে $W$ -hyperplane। কালো বিন্দুগুলি এ এর এলোমেলো নমুনার অংশ $s+1$ -বিখ্যাত স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ: এগুলি একটি ধ্রুবক প্রদত্ত অক্ষাংশে প্রজেক্ট করা মান $\theta$ , হলুদ ব্যান্ড হিসাবে দেখানো হয়েছে। এই বিন্দুর ঘনত্বটি সমানুপাতিক $s-1$ - সেই ব্যান্ডের মাত্রিক পরিমাণ, যা নিজেই একটি $S^{s-1}$ ব্যাসার্ধের $\theta$ । সেই ব্যান্ডের উপরের শঙ্কুটি একটি উচ্চতায় শেষ করতে আঁকা $\tan \theta$ । একটি ফ্যাক্টর অব $\sqrt{s}$ , ছাত্র টি বিতরণ সঙ্গে $s$ ইউনিট গোলকের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফলকে স্বাভাবিক করার পরে হলুদ ব্যান্ডের পরিমাপের দ্বারা ওজন অনুসারে স্বাধীনতার ডিগ্রি হ'ল এই উচ্চতার বন্টন $S^s$ unityক্য।

ঘটনাচক্রে, স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটি অবশ্যই হওয়া উচিত $1/\sqrt{s}$ (পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে) ক্ষেত্রগুলির তুলনামূলক পরিমাণের বার ,

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

চূড়ান্ত অভিব্যক্তি, যদিও প্রচলিত সামান্য সুন্দর সহজ প্রাথমিক অভিব্যক্তি, যা স্পষ্টভাবে প্রকাশ করে ছদ্মবেশধারণকারী অর্থ এর $C(s)$ ।

ফিশার ডাব্লুএস গোসেটকে (মূল "ছাত্র") এই চিঠিটি একটি চিঠিতে ব্যাখ্যা করেছিলেন। গোসেট এটিকে প্রকাশের চেষ্টা করেছিলেন, ফিশারকে পুরো creditণ দিয়েছিলেন, তবে পিয়ারসন এই কাগজটি প্রত্যাখ্যান করেছিলেন। ফিশারের পদ্ধতি, যেমন একটি নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের বিতরণ সন্ধানের ক্ষেত্রে যথেষ্ট অনুরূপ তবে আরও কঠিন সমস্যার জন্য প্রযোজ্য, অবশেষে প্রকাশিত হয়েছিল।

তথ্যসূত্র

আর এ ফিশার, একটি অনির্দিষ্টকালের বৃহত জনসংখ্যার নমুনাগুলিতে সহিত সহগের মানগুলির ফ্রিকোয়েন্সি বিতরণ। বায়োমেটিকা ভলিউম 10, নং 4 (মে 1915), পৃষ্ঠা 507-521। Https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf এ ওয়েবে উপলব্ধ (এবং অনুসন্ধানের মাধ্যমে আরও অনেক জায়গায়, একবার এই লিঙ্কটি অদৃশ্য হয়ে যায়)।

জোয়ান ফিশার বক্স, গোসেট, ফিশার এবং টি বিতরণ। আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ , খণ্ড 35, নং 2 (মে, 1981), পৃষ্ঠা 61-66। Http://social.rolins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf এ ওয়েবে উপলব্ধ ।

ই এল লেহম্যান, ফিশার, নেইম্যান এবং ক্লাসিকাল স্ট্যাটিস্টিকস তৈরি। স্প্রিংগার (২০১১), অধ্যায় ২।

— whuber
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত প্রমাণ! আমি আন্তরিকভাবে আশা করি আপনি এই বার্তাটি খুঁজে পেয়েছেন, যদিও এটি বেশ কয়েক বছর হয়ে গেছে। এই প্রমাণের ষষ্ঠ ধাপে, আমি বিশ্বাস করি যে একটি ত্রুটি রয়েছে। Cos ^ -2 (theta) = (1 + টান ^ 2 (থেইটা)), এর বিপরীত নয়। সেখানে প্রার্থনা করা একটি সহজ সমাধান আছে?

— ম্যাথ উত্সাহিত

@ ম্যাথ আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। Step ধাপে আমি কোনও ত্রুটি খুঁজে পাই না সম্ভবত আপনি "পড়ার চেষ্টা করছেন

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$ "(যার অর্থ

- 2

$-2$ শক্তি

\cos (θ)

$\cos(\theta)$ ) যেন এর অর্থ "

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$ "?

— whuber

আমি সহজ পরিচয় ব্যবহার করেছি

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$ যে অনুমিত

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$ লাইনে in. তবে Line লাইনে একই যুক্তি দিয়ে,

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$ । এই দাবির সাথে এই দ্বন্দ্ব রয়েছে যে ডিফারেন্সিয়াল উপাদানটি সমান

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— গণিত উত্সাহ

@ ম্যাথ আপনাকে ধন্যবাদ - অবশ্যই, আপনি ঠিক বলেছেন। বীজগণিত সংশোধন করার জন্য আমি পয়েন্টগুলি (6) এবং (7) সম্পাদনা করেছি।

— হোবার

হুই, কী স্বস্তি! আপনাকে শুভ ছুটির দিনগুলি

— ম্যাথ উত্সাহী

আমি ভেরিয়েবল পরিবর্তন করার চেষ্টা করব। সেট $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ এবং $X=Z$ উদাহরণ স্বরূপ. সুতরাং $Z=X$ , $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ । তারপর $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ । কোথায় $J$ এর মাল্টিভিয়ারেট ফাংশনের জন্য জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্স $Z$ এবং $W$ এর $X$ এবং $Y$ । তারপরে আপনি সংহত করতে পারেন $x$ যৌথ ঘনত্ব থেকে দূরে। $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ , $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ , $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ , এবং $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ ।

জে = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 গুলি {এক্স}^{2}}{{ওয়াই}^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

সুতরাং $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ । আমি কেবল থমাস এ সেভেরিনি কর্তৃক ডিস্ট্রিবিউশন থিয়োরির দিকে একবার নজর রেখেছিলাম এবং সেগুলি তারা নেয় $X=W$ । গামা বিতরণের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে জিনিসগুলিকে একত্রিত করা সহজ হয়ে যায়। যদি আমি ব্যবহার করি $X=Z$ , আমার সম্ভবত স্কোয়ারগুলি সম্পূর্ণ করার প্রয়োজন হবে।

তবে আমি হিসাবটা করতে চাই না।

— ztyh
সূত্র

আমি আপনাকে উঁচু করে দেখিনি, আসলে আমি আপনাকে উত্সাহিত করেছি। তবে আমি মনে করি আপনার সম্পাদনার আগে ডাউনভোট এসে গেছে।

— মনোলাইট

সে সম্পর্কে দুঃখিত, আমি এখন থেকে সাবধান থাকব।

— ztyh