এই পৃথক বিতরণের একটি নাম আছে?

Question

এই পৃথক বিতরণের একটি নাম আছে? জন্য$i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

আমি নিম্নলিখিতটি থেকে এই বিতরণটি পেরিয়ে এসেছি: আমার কাছে কিছু ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা স্থান প্রাপ্ত আইটেমের একটি তালিকা রয়েছে । আমি তালিকার শুরুর দিকে বাইসিং করে এলোমেলোভাবে আইটেমগুলির মধ্যে একটি নির্বাচন করতে চাই। সুতরাং, আমি প্রথমে 1 এবং সমানভাবে একটি সূচক চয়ন করি । আমি তখন সূচক 1 এবং মধ্যে একটি আইটেম নির্বাচন করি । আমি বিশ্বাস করি যে এই প্রক্রিয়াটির ফলাফল উপরোক্ত বিতরণে আসে।জে এন $N$$j$$N$$j$

Comments

এটি কোনও বিতরণ নয়: এটি সাধারণীকরণ হয় না।

— হোবার

@ শুভ আমি প্রথমে এমনটি ভেবেছিলাম (এবং আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমি মন্তব্যটি ভুল বুঝেছি এবং মুছে ফেলেছি তার আগে মন্তব্য করেছি) তবে এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে আমি সংজ্ঞাটি ভুল বুঝি। আমার আর কোনও ভুল বোঝাবুঝি না হলে এটি একটি সাধারণ সম্ভাবনার গণ ফাংশন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এটি স্বাভাবিক করা হয়। 1/1 যোগফলে ঠিক একবার উপস্থিত হবে (এটি চ (1) হবে)। 1/2 ঠিক দু'বার প্রদর্শিত হবে (এটি চ (1) এবং চ (2) এ হবে। ইত্যাদি। সুতরাং those সমস্ত অঙ্কের যোগফল N হবে এবং স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটি 1 / N হিসাবে প্রদর্শিত হবে। চেক আউট।

— rcorty

আরও বেশি বিষয়, যদিও, আমি জানি না যে এই ডিস্ট্রোটি কী বলে। আমিও জানি না আপনি বর্ণিত প্রক্রিয়াটি কীভাবে এই বিভ্রান্তির দিকে নিয়ে যায়। আমার মনে হয়েছিল যে এটি একটি লাঠি ভাঙ্গার প্রক্রিয়াটির একটি পৃথক সংস্করণের মতো শোনাচ্ছে যা খুব গুগলযোগ্য।

— rcorty

ধন্যবাদ আমি আমার ফোন, যা রেন্ডার করা হয়নি এই পড়া ছিল পরিষ্কারভাবে যথেষ্ট। $f$

— হোবার

Answer 1

আপনার কাছে নেতিবাচক লগ বিতরণের একটি বিচ্ছিন্ন সংস্করণ রয়েছে, যার বিতরণ যার সমর্থন এবং যার পিডিএফ ।চ ( টি ) = - লগ $[0, 1]$$f(t) = - \log t$

এটি দেখতে, আমি আপনার পরিবর্তে in সেট মান নির্ধারণ করতে আপনার র্যান্ডম ভেরিয়েবলটিকে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করতে যাচ্ছি এবং তার ফলে বন্টন কল । তারপরে, আমার দাবিটি সেটাই{ 0 , 1 , 2 , … , এন } $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

এবং as হিসাবে (প্রায়) ধ্রুবক রাখা হয়। $N, t \rightarrow \infty$$\frac{t}{N}$

প্রথমে একটি সামান্য সিমুলেশন পরীক্ষা এই রূপান্তরটি দেখায়। আপনার বিতরণ থেকে একটি নমুনার একটি ছোট বাস্তবায়ন এখানে:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

আপনার বিতরণ থেকে নেওয়া একটি বৃহত নমুনার একটি হিস্টগ্রাম এখানে রয়েছে:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

এবং এখানে লোগারিথমিক পিডিএফ ওভারলাইড রয়েছে:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

কেন এই কনভার্জেন্স হয় তা দেখতে আপনার অভিব্যক্তি দিয়ে শুরু করুন

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

এবং দ্বারা গুণিত এবং ভাগ করুন$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

যোগফলটি এখন ফাংশনের জন্য একটি রিমন রাশি$g(x) = \frac{1}{x}$$\frac{t}{N}$$1$$N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

যা আমি প্রকাশ করতে চেয়েছিলাম যে অভিব্যক্তি।

Comments

আপনি অত্যন্ত স্বাগত জানাই। এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন ছিল এবং আমি এটি কাজ করে খুব মজা পেয়েছিলাম।

— ম্যাথু ড্রুরি

Answer 2

এটি হাইটওয়ার্থ বিতরণের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে। (আমি বিশ্বাস করি না যে এটি হুইটওয়ার্থ বিতরণ, যেহেতু যদি আমি সঠিক মনে করি তবে এটি অর্ডার করা মানগুলির সেটগুলির বিতরণ, তবে এটি এটির সাথে যুক্ত বলে মনে হয় এবং একই সংশ্লেষ-পরিকল্পনার উপর নির্ভর করে))

হুইটওয়ার্থ (এবং অসংখ্য রেফারেন্স) এর মধ্যে কিছু আলোচনা আছে

অ্যান্টনি লরেন্স এবং রবার্ট মার্কস, (২০০৮)
"সীমাবদ্ধ সম্পদযুক্ত শিল্পে দৃirm় আকারের বিতরণ,"
ফলিত অর্থনীতি , খণ্ড। 40, সংখ্যা 12, পৃষ্ঠা 1595-1607

(একটা কাজ কাগজ সংস্করণ বলে মনে হচ্ছে এখানে )

এছাড়াও দেখুন

ন্যান্সি এল জেলার, (1979)
হুইটওয়ার্থ বিতরণের জন্য তাত্পর্যপূর্ণ পরীক্ষা,
আমেরিকান সোসাইটি ফর ইনফরমেশন সায়েন্সের জার্নাল , খণ্ড .30 (4), পৃষ্ঠা 229-231

Comments

এই উত্তরটি স্ব-অন্তর্নিহিত করার জন্য, আপনি কি হুইটওয়ার্থ বিতরণের একটি সংজ্ঞা দিতে পারেন এবং আপনি যে সংযোগটি দেখছেন সে সম্পর্কে ব্যাখ্যা করার কয়েকটি শব্দ সরবরাহ করতে পারে?

— হোবার

@ হ্যাঁ হ্যাঁ, এটি দাঁড়িয়ে থাকার সাথে সাথে একটি মন্তব্য হওয়া উচিত। আমি কিছু বিবরণ এডিট করব তবে এটি আরও ভাল চুক্তি হতে চলেছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

শুধু কিছু ধরণের সংজ্ঞা ঠিক আছে।

— whuber

ধন্যবাদ, এটি বোঝা গেল, তবে তবুও এর ফলাফল হবে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা