মূল উপাদানগুলির স্কোরগুলি কেন সম্পর্কহীন?

Supose $\mathbf A$ গড় কেন্দ্রিক ডেটার একটি ম্যাট্রিক্স। জরায়ু $\mathbf S=\text{cov}(\mathbf A)$ হয় $m\times m$ , আছে $m$ স্বতন্ত্র এগেনভ্যালু এবং ইগেনভেেক্টর $\mathbf s_1$ , $\mathbf s_2$ ... $\mathbf s_m$ যা অরথোগোনাল।

দ্য $i$ -তম মূল উপাদান (কিছু লোক তাদের "স্কোর" বলে ডাকে) ভেক্টর $\mathbf z_i = \mathbf A\mathbf s_i$ । অন্য কথায়, এটি কলামগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ $\mathbf A$ , যেখানে সহগগুলি হ'ল এর উপাদান $i$ - এর আইজেনভেেক্টর $\mathbf S$ ।

আমি বুঝতে পারছি না কেন $\mathbf z_i$ এবং $\mathbf z_j$ সকলের সাথে সম্পর্কহীন হয়ে উঠুন $i\neq j$ । এটা সত্য থেকে অনুসরণ করে $\mathbf s_i$ এবং $\mathbf s_j$ অরথোগোনাল হয়? অবশ্যই না, কারণ আমি সহজেই একটি ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে পারি $\mathbf B$ এবং অর্থগোনাল ভেক্টরগুলির একটি জোড়া pair $\mathbf x, \mathbf y$ যেমন যে $\mathbf B\mathbf x$ এবং $\mathbf B\mathbf y$ পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত

correlation pca linear-algebra

— আর্নেস্ট এ
সূত্র

সম্পর্কিত উত্তর stats.stackexchange.com/a/110546/3277 ।

— ttnphns

{z- র}_{আমি}^{⊤} {z- র}_{ঞ} = (একজন {গুলি}_{আমি})^{⊤} (একজন {গুলি}_{ঞ}) = {গুলি}_{আমি}^{⊤} {একজন}^{⊤} একজন {গুলি}_{ঞ} = (এন - 1) {গুলি}_{আমি}^{⊤} এস {গুলি}_{ঞ} = (এন - 1) {গুলি}_{আমি} λ_{ঞ} {গুলি}_{ঞ} = (এন - 1) λ_{ঞ} {গুলি}_{আমি} {গুলি}_{ঞ} = 0।

$\mathbf z_i^\top \mathbf z_j = (\mathbf A\mathbf s_i)^\top (\mathbf A\mathbf s_j) = \mathbf s_i^\top \mathbf A^\top \mathbf A \mathbf s_j = (n-1) \mathbf s_i^\top \mathbf S \mathbf s_j = (n-1) \mathbf s_i \lambda_j \mathbf s_j = (n-1) \lambda_j \mathbf s_i \mathbf s_j = 0.$

— জীবাণুবিশেষ
সূত্র

গণিত: কি সুন্দর ভাষা।

— নস্টর

এর অর্থ

z_{i}

$\mathbf z_i$ এবং

z_{j}

$\mathbf z_j$ অরথোগোনাল হয়। অসংরক্ষিত মানে এই সত্য হওয়া উচিত:

(z_{i} - {\bar{z}}_{i})^{⊤} (z_{j} - {\bar{z}}_{j}) = 0

$(\mathbf z_i-\bar z_i)^\top(\mathbf z_j-\bar z_j)=0$ । আমি মনে করি কোনভাবে

{\bar{z}}_{i} = {\bar{z}}_{j} = 0

$\bar z_i=\bar z_j=0$ , এবং তারপর

z_{i}^{⊤} z_{j} = 0

$\mathbf z_i^\top \mathbf z_j=0$ এগুলি ইঙ্গিত দেয় যে তারা অসম্পৃক্ত।

— আর্নেস্ট এ

ভাল বক্তব্য, আর্নেস্ট। মাধ্যমগুলি আসলে শূন্য, কারণ ডেটাগুলি কেন্দ্রিক হয়েছে (আপনার অনুমান অনুসারে)। তারপরে সমস্ত অনুমানের অবশ্যই শূন্য হতে হবে।

— অ্যামিবা 25'15

@ জুবলস কারণ

S = cov (A) = \frac{1}{n - 1} A^{⊤} A

$S = \text{cov}(\mathbf A) = \frac{1}{n-1}\mathbf A^\top \mathbf A$ সুতরাং,

A^{⊤} A = (n - 1) S

$\mathbf A^\top \mathbf A = (n-1) \mathbf S$ ।

— আর্নেস্ট এ

@ আর্নেস্ট, আমি কোনও পাঠ্য নেই এমন উত্তর সরবরাহ করা থেকে বিরত থাকতে পারিনি, তবে সম্ভবত আমার যুক্ত করা উচিত যে পিসিগুলি অসামঞ্জস্যিত হওয়ার অন্তর্নিহিত কারণ হ'ল তাদের কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে

S

$S$ ইগেনভেেক্টর ভিত্তিতে এবং এই ভিত্তিতে

S

$S$ তির্যক হয়ে ওঠে - এটি হ'ল ইজেনডিকোপজিশনের পুরো পয়েন্ট।

— অ্যামিবা 21