স্ট্যান্ডার্ড নরমাল র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের পিডিএফ এবং সিডিএফের কার্যকারিতাটির জঞ্জালতা

Question

দয়া করে প্রমাণটি সরবরাহ করুন যে উত্তল । এখানে যথাক্রমে এবং the হ'ল মানক পিডিএফ এবং সিডিএফ।$Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$$\forall x>0$$\phi$$\mathbf{\Phi}$

পদক্ষেপ পরীক্ষা

1) ক্যালকুলাস পদ্ধতি

আমি ক্যালকুলাস পদ্ধতিটি ব্যবহার করে দেখেছি এবং দ্বিতীয় উত্সের জন্য একটি সূত্র পেয়েছি, তবে এটি ইতিবাচক দেখানোর পক্ষে সক্ষম নই । আপনার আরও বিশদ বিবরণ প্রয়োজন হলে আমাকে জানান let$\forall x > 0$

অবশেষে, \ আরম্ভ {ইকনারায় *} \ বাম। \ frac {tial আংশিক Q \ বাম (x \ ডান)} {\ আংশিক x} \ ডান | _ {x = 0} & = & \ frac {i phi \ বাম (0 \ ডান)} {\ ফি \ বাম (0 \ ডান)}> 0 \ শেষ {একনারায় *

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ প্রশ্ন ( x $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ আসুন, কে(এক্স)=2Φ3(এক্স)+2এক্সϕ3(এক্স)+Φ2(এক্স)ϕ(এক্স)এক্স[এক্স2-3]+ϕ2(এক্স)Φ(x)[3x2-2] $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ জন্য $x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$ । জন্য $x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ , $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ = ϕ ( এক্স ) [ 3 Φ 2 2 ] } $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) গ্রাফিকাল / অ্যাসেরিকাল পদ্ধতি

আমি নীচে প্রদর্শিত গ্রাফগুলি প্লট করে এই সংখ্যাসূচক এবং চাক্ষুষরূপে দেখতে সক্ষম হয়েছি; তবে সঠিক প্রমাণ থাকতে সহায়ক হবে to

Answer 1

আসুন দেখি এর দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ জন্য ধনাত্মক । প্রথমত, আমাদের কীভাবে এবং পার্থক্য করতে হবে তা জানতে হবে ।$Q$$x \ge 0$$\Phi$$\phi$

সংজ্ঞানুসারে,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$ আরও একবার দেয় পার্থক্য

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

এই ফলাফলটি অন্য একটি ডেরাইভেটিভ ফলনে প্রয়োগ করা

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করে, সাধারণ পণ্য এবং বৈষম্যের ভাগফলের নিয়মগুলি সহ, আমরা খুঁজে পাই যে দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের সংখ্যক ছয়টি পদগুলির যোগফল। (এই ফলাফলটি প্রশ্নের মাঝামাঝি সময়ে প্রাপ্ত হয়েছিল)) শর্তাদি তিনটি গ্রুপে সাজানো সুবিধাজনক:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

কারণ একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব, এটা নন-নেগেটিভ এবং তাই বন্টন ফাংশন । সুতরাং হলে কেবল তৃতীয় শব্দটি নেতিবাচক হতে পারে । এটির চিহ্নটি এর দ্বিতীয় ফ্যাক্টরের মতোই,$\phi$$\Phi$$x\ge 0$

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

এই উপাদানটি দেখানোর অনেকগুলি উপায় নেতিবাচক হতে পারে না। একটি লক্ষ্য করা যায়

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

পার্থক্য - আগের মতো একই সাধারণ কৌশল ব্যবহার করে - দেয়

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

যা জন্য স্পষ্টত ধনাত্মক । সুতরাং বিরতি ক্রমবর্ধমান ফাংশন । এর সর্বনিম্ন অবশ্যই , সমস্ত জন্য প্রমাণ করে ।$x\ge 0$$R(x)$$[0, \infty)$$R(0) \gt 0$$R(x)\gt 0$$x \ge 0$

আমরা দেখিয়েছি এর , QED এর জন্য ইতিবাচক দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ রয়েছে ।x ≥ $Q$$x \ge 0$

Comments

ধন্যবাদ @ শুভ কি চমৎকার উত্তর। আপনার সাহায্যের অনেক প্রশংসা। আমি অনুরূপ কিছু চেষ্টা করছিলাম এবং ইতিবাচক পদগুলি ব্যবহার করে নেতিবাচক পদগুলিকে ক্রাশ করার চেষ্টা করছিলাম, তবে আপনি উপরে যে সংমিশ্রণটি চেষ্টা করেছেন তা এখনও চেষ্টা করতে পারি নি। আপনার ফলাফলটি দেখে আনন্দিত হয়েছিল।

— টেক্সেক্সেক্স