একটি নমুনার সর্বাধিক বৈকল্পিক কত?

Question

আমি সর্বাধিক এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির বিস্তারের সীমাটি সন্ধান করছি। অন্য কথায়, আমি জন্য ক্লোজড- করছি , যেমন যেখানে এক্স = \ {এক্স_1, \ ldots, এক্স_এম \ a একটি স্থির সেট এম সসীম উপায়ে সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল \ mu_1, \ ldots, \ mu_M এবং ভেরিয়ানস \ sigma_1 ^ 2, \ ldots, \ sigma_M ^ 2 ।$B$

$$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$$ $X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$$M$$\mu_1, \ldots, \mu_M$$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

আমি সেই \ এমবক্স {ভার} (\ ম্যাক্স_আই এক্স_আই) q লেক \ যোগ_ই \ সিগমা_আই ^ 2 \ এনস্পেসটি অনুমান করতে পারি

$$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$$ তবে এই আবদ্ধটি খুব আলগা মনে হচ্ছে। একটি সংখ্যার পরীক্ষার থেকে মনে হয় যে $B = \max_i \sigma_i^2$ একটি সম্ভাবনা হতে পারে তবে আমি এটি প্রমাণ করতে সক্ষম হইনি। কোন সাহায্য প্রশংসা করা হয়।

Comments

(আপনি কি $X_i$ স্বাধীন বলে ধরে নিতে চান ?) অনুমানটি প্রশংসনীয় তবে মিথ্যা বলে মনে হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, কিছু ট্রায়াল করুন যেখানে $X_i$ সিডিএফ $1-x^{1-s}$ , $1\le x\le \infty$ , এস \ জিটি 3 দিয়ে আইড$s\gt 3$ । তাদের সাধারণ প্রকরণের তুলনায় তাদের সর্বাধিকের প্রকরণটি এম বাড়ার সাথে সাথে আবদ্ধ না $M$হয়ে বৃদ্ধি পায়।

— হোবার

@whuber ধন্যবাদ, যে কেন আমি যে অনুমান :) আমি তো কেস যেখানে আগ্রহী প্রমাণ করতে সক্ষম হয়নি ব্যাখ্যা $X_i$ স্বাধীন। কেবল পরিষ্কার করতে, আমি বেশিরভাগ সাধারণ সীমানায় আগ্রহী যা কেবল প্রথম দুটি মুহূর্ত ব্যবহার করে। আমি নিশ্চিত নই যে সাধারণ ভিন্নতার চেয়েও তীব্র সাধারণ সীমানা বিদ্যমান।

— পিটার

আমার উল্লেখ করা উচিত যে আপনার সমষ্টি আবদ্ধ (এটি সঠিক বলে ধরে নিচ্ছেন - প্রমাণটির স্কেচটি দেখে ভাল লাগবে) আঁটসাঁট। উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানে সমর্থন করা যাক অতিক্রম না করে এবং কে সমর্থন করা যাক । তারপরে হিসাবে, বৈকল্পিক সহ, তবে সঙ্কুচিত করে আপনার পছন্দ অনুযায়ী শক্ত করা যেতে পারে । $X_2,\ldots,X_M$$[-\infty, a]$$\varepsilon^2$$X_1$$[a,\infty]$$\max_i{X_i}=X_1$$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$$\varepsilon^2$

— হোবার

আইডির তথ্যের জন্য, চূড়ান্ত মান তত্ত্বটি বিতরণের ক্লাস সরবরাহ করে যেখানে নমুনা সর্বাধিক রূপান্তরিত করে, অ্যাসিমেটোটিক বিতরণের বিভিন্ন শ্রেণীর দেবার মূল বিতরণের লেজের উপর কিছু শর্ত থাকে। সুতরাং আমি সন্দেহ করি যে আপনি কেবল দুটি মুহুর্তের উপর ভিত্তি করে একটি ভাল আবদ্ধতা অর্জন করতে সক্ষম হবেন, যদিও আমি কেবল তত্ত্বের সাথেই পরিচিত নই।

— স্টাস্ক

Answer 1

যেকোন এলোমেলো ভেরিয়েবল , সাধারণ প্রশ্নের মূল । এখানে একটি প্রমাণ স্কেচ দেওয়া হয়েছে: যদি এক্স, ওয়াই আইআইডি হয় তবে । সম্ভবত নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলির একটি ভেক্টর দেওয়া , একই যৌথ বিতরণ সহ একটি স্বাধীন ভেক্টর হিসাবে যাক । যে কোনও জন্য আমাদের ইউনিয়ন বেঁধে দিয়েছে যে , এবং এই একীভূত থেকে থেকে উৎপাদনের দাবি বৈষম্য।এক্স $n$$X_i$$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$$E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$$(X_1,\ldots ,X_n)$$(Y_1,\ldots ,Y_n)$$r>0$$P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$$dr$$0$$\infty$

তাহলে সম্ভাবনা ঘটনা IID সূচক , তারপর সম্ভাবনা একটি ইভেন্ট একটি সূচক । স্থির এবং লেট শূন্য ঝোঁক, আমরা পেতে এবং ।$X_i$$\epsilon$$\max X_i$$n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$$n$$\epsilon$$\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$$\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

Answer 2

ম্যাথওভারফ্লো সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত।

আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য, ম সর্বোচ্চকে অর্ডার স্ট্যাটিস্টিক বলা হয় ।$k$

এমনকি আইআইডি বার্নৌলির এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য, মিডিয়ান ছাড়া অন্য কোনও আদেশের পরিসংখ্যানের বৈচিত্রটি জনসংখ্যার বৈচিত্রের চেয়ে বেশি হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি হয় সম্ভাব্যতা সঙ্গে এবং সম্ভাব্যতা সঙ্গে এবং , তারপর সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা সঙ্গে , তাই জনসংখ্যার ভ্যারিয়েন্স হয় যখন ভ্যারিয়েন্স সর্বোচ্চ সম্পর্কে ।$X_i$$1$$1/10$$0$$9/10$$M=10$$1$$\approx 1- 1/e$$0.09$$0.23$

আদেশের পরিসংখ্যানগুলির বৈকল্পিকতা সম্পর্কে এখানে দুটি কাগজপত্র রয়েছে:

ইয়াং, এইচ। (1982) "মিডিয়ান এবং অন্যান্য কিছু আদেশের পরিসংখ্যানের বৈকল্পিকতায়।" ষাঁড়. Inst। ম্যাথ। Acad। সিনিকা, 10 (2) পিপি 197-204

পাপাদাতোস, এন। (1995) "অর্ডার পরিসংখ্যানের সর্বাধিক বৈচিত্র্য" " অ্যান। Inst। পরিসংখ্যানবিৎ। গণিত।, 47 (1) পৃষ্ঠা 185-193

আমি বিশ্বাস করি যে দ্বিতীয় গবেষণাপত্রে সর্বাধিক বৈকল্পিকের উপরের । তারা উল্লেখ করে যে সাম্যতা ঘটতে পারে না তবে আইআইডি বার্নৌলির র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কোনও নিম্নতর মান আসতে পারে।$M\sigma^2$