নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের পণ্যটির বৈচিত্র

নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের পণ্যের পরিবর্তনের সূত্র কী?

স্বাধীন ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে সূত্রটি সহজ:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ But তবে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত ভেরিয়েবলের সূত্র কী?

যাইহোক, আমি কীভাবে পরিসংখ্যানের তথ্যের ভিত্তিতে পারস্পরিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে পারি?

correlation variance

— রিগা
সূত্র

উত্তর:

ভাল, আপনি চিহ্নিত পরিচয় ব্যবহার করে,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

সমবায় জন্য আনুষাঙ্গিক সূত্র ব্যবহার করে,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

এবং

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

যা বোঝায় যে সাধারণভাবে হিসাবে লেখা যেতে পারে ${\rm var}(XY)$

গ ণ বনাম ({এক্স}^{2}, {ওয়াই}^{2}) + + [বনাম একটি R (এক্স) + + ই (এক্স)^{2}] \cdot [বনাম একটি R (ওয়াই) + + ই (ওয়াই)^{2}] - [গ ণ বনাম (এক্স, ওয়াই) + + ই (এক্স) ই (ওয়াই)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

নোট করুন যে স্বাধীনতার ক্ষেত্রে, এবং এটি হ্রাস পাবে ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

এবং দুটি পদগুলি বাতিল হয়ে যায় এবং আপনি পান $[ E(X)E(Y) ]^{2}$

v a r (X) v a r (Y) + v a r (এক্স) ই (ওয়াই)^{2} + + বনাম একটি R (ওয়াই) ই (এক্স)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

যেমন আপনি উপরে উল্লেখ করেছেন।

সম্পাদনা করুন: আপনি যে সমস্ত পর্যবেক্ষণ করছেন তা যদি এবং এবং আলাদাভাবে না হয় তবে আমি মনে করি না যে আপনার কাছে বা বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যতীত (উদাহরণস্বরূপ, যদি অর্থ একটি অগ্রাধিকার হিসাবে পরিচিত ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— ম্যাক্রো
সূত্র

আপনি কেন E (X2) E (Y2) এর পরিবর্তে [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] রাখছেন ???

@ ব্যবহারকারীর 35458, যাতে তিনি ভার (এক্স) এবং ভার (ওয়াই) এর অভিব্যক্তি হিসাবে সমীকরণটি শেষ করতে পারেন, এভাবে ওপির বক্তব্যটির সাথে তুলনাযোগ্য। লক্ষ্য করুন যে ই (এক্স ^ 2) = ভার (এক্স) + ই (এক্স) ^ 2

— ওয়াল্ডির লিওনসিও

এই উত্তরের বৈধতার জন্য এখন মুছে ফেলা চ্যালেঞ্জটির (অফলাইন) প্রতিক্রিয়া জানানোর জন্য, আমি এর ফলাফলগুলি অনেকগুলি সিমুলেশনে পণ্যটির বৈচিত্রের সরাসরি গণনার সাথে তুলনা করি। আপনি যদি এড়াতে পারেন তবে এটি ব্যবহারের জন্য ব্যবহারিক সূত্র নয়, কারণ এটির থেকে একটি বড় পদ বিয়োগ করে বাতিলকরণের মাধ্যমে যথেষ্ট পরিমাণে নির্ভুলতা হারাতে পারে - তবে এটি মূল বিষয় নয়। সাবধান হওয়ার জন্য একটি সমস্যা হ'ল এই প্রশ্নটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির সাথে সম্পর্কিত concerns এর ফলাফলগুলিতে ডেটা প্রযোজ্য যদি আপনি পরিবর্তে ডিনোমিনেটর $n$ $n-1$ (সফ্টওয়্যার হিসাবে স্বাভাবিক হিসাবে) ব্যবহার করে গণনা রূপ এবং সমবায়ু গণনা করেন ।

— whuber

এটি @ ম্যাক্রোর খুব সুন্দর উত্তরের একটি সংযোজন যা দুটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত এলোমেলো ভেরিয়েবলের পণ্যের বৈকল্পিকতা নির্ধারণ করার জন্য ঠিক কীটি জানা দরকার তা দেয়। যেহেতু যেখানে , , , এবং

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ পরিমাণে পরিচিতি লাভ অধিকৃত হতে পারে, আমরা মান নির্ধারণ করতে সক্ষম হতে হবে মধ্যে বা মধ্যে । এই যেমন, ইতিমধ্যে নির্দিষ্ট যদি সাধারণভাবে কাজ করা সহজ নয়, কিন্তু, এবং হয় স্বাধীন , তারপর র্যান্ডম ভেরিয়েবল । আসলে, নির্ভরতা, পারস্পরিক সম্পর্ক নয় (বা এর অভাব) মূল বিষয়। আমরা জানি যে কিছু ননজারো মান পরিবর্তে সমান হয়, নিজে থেকে,

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$ আমাদের প্রচেষ্টায় সহায়তা সর্বনিম্ন বা এর মূল্য নির্ধারণ করছে যদিও এটি এর ডান দিকগুলি সরল করে তোলে এবং সামান্য।

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

যখন এবং হয় নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবল, তারপর অন্তত এক (মোটামুটি সাধারণ বা মোটামুটি গুরুত্বপূর্ণ) বিশেষ ক্ষেত্রে, এটা হয় মান খুঁজে পাওয়া সম্ভব অপেক্ষাকৃত সহজে। $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

ধরুন যে এবং হয় যৌথভাবে স্বাভাবিক পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল । তারপর, নিয়ন্ত্রিত উপর , শর্তাধীন ঘনত্ব একটি গড় সাথে স্বাভাবিক ঘনত্ব এবং ভেরিয়েন্স । সুতরাং, $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} ই [{এক্স}^{2} {ওয়াই}^{2} | এক্স] & = {এক্স}^{2} ই [{ওয়াই}^{2} | এক্স] \\ = {এক্স}^{2} [Var (ওয়াই) (1 - ρ^{2}) + + {(ই [ওয়াই] + + ρ \sqrt{\frac{Var (ওয়াই)}{Var (এক্স)}} (এক্স - ই [এক্স]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ যা কোয়ার্টিক ফাংশন , বলুন এবং আইট্রেটেড এক্সপেকটেশনের আইন আমাদেরকে বলে যে যেখানে এর তৃতীয় এবং চতুর্থ মুহুর্তের জ্ঞান থেকে এর ডান দিকটি গণনা করা যেতে পারে - অনেকগুলি পাঠ্য এবং রেফারেন্স বইগুলিতে পাওয়া যেতে পারে এমন স্ট্যান্ডার্ড ফলাফল যে আমি তাদের সন্ধান করতে এবং এই উত্তরে তাদের অন্তর্ভুক্ত করতে খুব অলস)।

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & ই [{এক্স}^{2} {ওয়াই}^{2}] = ই [ই [{এক্স}^{2} {ওয়াই}^{2} | এক্স]] = ই [ছ (এক্স)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

আরও সংযোজন: একটি এখন মুছে ফেলা উত্তরে @Hydrologist ভ্যারিয়েন্স দেয় যেমন এবং দাবি করেছে যে এই সূত্র অর্ধ শতাব্দী আগে জাসায় প্রকাশিত দুটি কাগজপত্র থেকে। এই সূত্রটি হাইড্রোলজিস্ট দ্বারা উদ্ধৃত কাগজগুলিতে প্রাপ্ত ফলাফলগুলির একটি ভুল প্রতিলিপি। বিশেষত, $XY$

\begin{matrix} (5) & ভী একটি R [এক্স Y] = {(ই [এক্স])}^{2} ভী একটি R [Y] + + {(ই [Y])}^{2} ভী একটি R [এক্স] + + 2 ই [এক্স] সি ণ বনাম [এক্স, Y^{2}] + + 2 ই [Y] সি ণ বনাম [{এক্স}^{2}, Y] + + 2 ই [এক্স] ই [Y] সি ণ বনাম [এক্স, Y] + + সি ণ বনাম [{এক্স}^{2}, Y^{2}] - {(সি ণ বনাম [এক্স, Y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ একটি mistranscription হয় জার্নাল নিবন্ধে, এবং একইভাবে জন্য এবং ।

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

যৌথ সাধারণ ক্ষেত্রে এর গণনার জন্য , আরও দেখুন math.stackexchange.com

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$

— স্যামুয়েল রেড