গড়পড়তা প্রতিস্থাপন ছাড়াই আপনি যখন এটি থেকে আঁকেন তখন কি কোনও কলকের সম্ভাব্যতা বন্টন পরিবর্তন হয়?

Question

ধরুন আমার কাছে একটি কলস রয়েছে যা এন এর বিভিন্ন রঙের বলগুলিতে রয়েছে এবং প্রতিটি আলাদা রঙ বিভিন্ন সময়ে বিভিন্ন সময়ে উপস্থিত হতে পারে (যদি সেখানে 10 টি লাল বল থাকে তবে 10 নীল বলের প্রয়োজন নেই)। অঙ্কন করার আগে যদি আমরা কলুষের সঠিক বিষয়গুলি জানি তবে আমরা একটি পৃথক সম্ভাবনা বন্টন তৈরি করতে পারি যা আমাদের বলের প্রতিটি রঙ আঁকার সম্ভাবনাটি বলে। আমি যেটা ভাবছি তা হল গড়পড়তা থেকে প্রতিস্থাপন ছাড়াই কে বল আঁকার পরে কীভাবে বিতরণ পরিবর্তন হয়। আমি বুঝতে পারি যে আমরা কলসটি আঁকলে আমরা কী বেরিয়ে এসেছি তা জ্ঞান দিয়ে বিতরণটি আপডেট করতে পারি তবে আমি কী জানতে চাই যে আমরা কে বলগুলি সরিয়ে নেওয়ার পরে বিতরণের আকারটি কী আশা করব। বিতরণটি কি গড়পড়তা পরিবর্তিত হয় বা এটি একই থাকে? যদি এটি একইরকম না থেকে যায় তবে আমরা কী ড্র আঁকার পরে গড়ে নতুন বিতরণটি দেখতে প্রত্যাশা করব তার জন্য কিছু সূত্র লিখে রাখতে পারি?

Comments

আমি ভুল হতে পারি - তবে এটি অনুভব করে যে এটি পূর্বের বিতরণটি জানে, তবে সম্ভাবনা সম্পর্কে কোনও তথ্যবহুল নেই (এটি ছাড়া কে-বলগুলি অপসারণ করা হয়)। সেক্ষেত্রে - আমি ধরে নেব যে পূর্ববর্তীটি পূর্বের সমান। সুষ্ঠু হওয়ার জন্য - এমন সম্ভাবনা সম্পর্কিত তথ্য রয়েছে যে বলগুলির সংখ্যা হ্রাস পেয়েছে, এবং এটি (এক বলের জন্য অপসারণ) বন্টন যেমন: 9 লাল এবং 10 কালো এর 50% সম্ভাব্যতার মধ্যে বিমোডাল এবং 10 টি লাল এবং 9 কালোর 50% সম্ভাব্যতার মধ্যে রয়েছে । আমি ভুল এখানে যদিও হতে mgiht

— Wouter

আমার অন্তর্নিহিততাটি হ'ল এটি আপনি পরে বর্ণিত ঘটনাটির মতো। যদিও আমি এই ধরণের প্রক্রিয়া সম্পর্কে কেউ কথা বলতে পারি না।

— mjnichol

Answer 1

1. "প্রত্যক্ষ গণনা": থাকুক $n$ বল $m$কলস রঙ আসুন একটি দ্বিতীয় বর্ণ আঁকার সম্ভাব্যতার দিকে নজর দিন, দ্বিতীয় ড্রতে সাদা বলুন । সাদা বলের সংখ্যা হতে দিন$n_w$। দিন$X_i$ প্রাপ্ত বলের রঙ হতে হবে $i$-দো ড্র

   $$\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$$

   অবশ্যই এই একই যুক্তি দ্বিতীয় অঙ্কনের যে কোনও রঙের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। পরে আঁকার বিষয়টি বিবেচনা করার সময় আমরা একই ধরণের যুক্তি পুনরাবৃত্তভাবে প্রয়োগ করতে পারি।

   [অবশ্যই একটি আরও সরাসরি গণনা সম্পাদন করতে পারে। প্রথম বিবেচনা করুন$k$ সমন্বিত হিসাবে আঁকুন $i$ সাদা বল এবং $k-i$ অ-সাদা বল (হাইপারজমেট্রিক বিতরণ দ্বারা প্রদত্ত সম্ভাব্যতা সহ), এবং উপরের সাধারণটির সাথে তবে ধাপে আঁকার জন্য একই গণনা সম্পাদন করুন $k+1$; একজন একই রকম সরলীকরণ এবং বাতিলকরণ পেয়ে যায় তবে এটি সম্পাদন করা বিশেষত আলোকিত হয় না]]

2. একটি সংক্ষিপ্ত যুক্তি: সংখ্যাগুলি দিয়ে এলোমেলোভাবে বলগুলি বিবেচনা করুন consider $1,2,...,n$, এবং তারপরে এগুলি লেবেলযুক্ত ক্রমে আঁকুন। প্রশ্নটি এখন "হয়ে ওঠার সম্ভাবনা কি$k$, সম্ভাব্যতা লেবেলের সমান একটি সাদা বলের উপরে রাখা হয় $1$ একটি সাদা বলের উপর রাখা হয়? "

   এখন আমরা দেখতে পাই লেবেলের প্রতিসাম্যতার দ্বারা উত্তরটি অবশ্যই "হ্যাঁ" হতে হবে। একইভাবে, বল-রঙগুলির প্রতিসাম্য দ্বারা, এটি কোনও ব্যাপার নয় যে আমরা "সাদা" বলেছিলাম, তাই যুক্তিটি যে লেবেল$k$ এবং লেবেল $1$একই সম্ভাবনা যে কোনও রঙের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। সুতরাং বিতরণ$k$-পথটি প্রথম অঙ্কনের মতোই, যতক্ষণ না আমাদের আগের অঙ্কনগুলি থেকে অতিরিক্ত তথ্য নেই (যতক্ষণ না পূর্বের আঁকা বলগুলি দেখা যায় না)।

Comments

আপনার দ্বিতীয় উপায়ে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, এটি একটি আরও সংক্ষিপ্ত যুক্তি: বলগুলি মুছে ফেলা যায় এমন সমস্ত সম্ভাব্য অনুক্রমের সেটটি কল্পনা করুন (যেমন নীল আগে, তারপরে সাদা, তারপরে সাদা, ... এমন একটি ক্রম হতে পারে)। যদি এই সেটে প্রতিটি ক্রমের জন্য আমরা অদলবদল করি$1^{st}$ এবং $k^{th}$উপাদানগুলি, আমরা কেবল সেটটি স্থির করি। সুতরাং প্রতিটি সিকোয়েন্সের জন্য একটি সাদা (বা যাই হোক না কেন) বলের সাথে অবস্থান করুন$k$, একটি সাদা বলের অবস্থানের সাথে ঠিক একই অনুক্রম রয়েছে $1$। সুতরাং অবস্থানে একটি সাদা বল সম্ভাবনা$k$ বা অবস্থান $1$অবশ্যই একই হতে হবে। আমি মনে করি এটি মূলত নীলের যুক্তি।

— সিলভারফিশ

@ সিলভারফিশ হ্যাঁ, এটি তাকান, আমার দ্বিতীয় যুক্তিটি মূলত নীলের অনুমানের যুক্তি হিসাবে একই ধরণের যুক্তি।

— Glen_b -মিনিকা

ব্যাখ্যার জন্য ধন্যবাদ. এটি আমার দেখার দরকার ছিল!

— mjnichol

Answer 2

কেবলমাত্র বিতরণটি অপরিবর্তিত রয়েছে (কমপক্ষে একটি বল অবশেষ থাকে) পুরোপুরি সুস্পষ্ট না হওয়ার একমাত্র কারণ হ'ল খুব বেশি তথ্য রয়েছে। আসুন বিভ্রান্তিকর উপাদান বের করা যাক।

এক মুহুর্তের জন্য, প্রতিটি বলের রঙ উপেক্ষা করুন। এক বলের দিকে ফোকাস করুন। ধরে$k$ বলগুলি এলোমেলোভাবে সরানো হবে (এবং পর্যবেক্ষণ করা হবে না) এবং তারপরে ক $k+1$সেন্ট বল আঁকা এবং পর্যবেক্ষণ করা হবে। এটা কোন পার্থক্য কি করে অর্ডার নির্বাচন, ঘটে যাতে আপনি হিসাবে ভাল (খুব প্রথম বল টানা পালন পারে এবং তারপর অন্য অপসারণ$k$বল যদি আপনি জেদ)। স্পষ্টত বিতরণ পরিবর্তন হয়নি, কারণ এটি অপরটি সরিয়ে দিয়ে প্রভাবিত হবে না$k$ বাজে কথা।

---

এই যুক্তি - যদিও পুরোপুরি বৈধ - কিছু লোককে অস্বস্তি বোধ করতে পারে। নিম্নলিখিত বিশ্লেষণকে আরও কঠোর হিসাবে গ্রহণ করা যেতে পারে, কারণ এটি আমাদের নির্বাচনের আদেশটিকে উপেক্ষা করতে বলে না।

আপনার বল উপর ফোকাস রাখা। এটির কিছুটা সম্ভাবনা থাকবে$p_k$ হিসাবে নির্বাচিত হচ্ছে $k+1$সেন্ট বল। যদিও$p_k$গণনা করা সহজ, আমাদের এর মূল্য জানার দরকার নেই: এটির জন্য গুরুত্বপূর্ণ এটি হ'ল প্রতিটি বলের জন্য এটি একই মানের হতে হবে (কারণ সমস্ত বল সমান) এবং এটি ননজারো হতে পারে। তবে এটি যদি শূন্য হয় তবে কোনও বলই নির্বাচনের সম্ভাবনা থাকবে না: যতক্ষণ না কমপক্ষে একটি বল থাকবে,$p_{k}\ne 0$।

আবার রঙগুলিতে মনোযোগ দিন। সংজ্ঞা দ্বারা, সুযোগ যে একটি বিশেষ রঙ$C$ নির্বাচিত করা হবে (পরে) $k$ বলগুলি এলোমেলোভাবে সরানো হয়) সমস্ত আসল সম্ভাবনার যোগফল $C$মূল রঙের বলগুলি সমস্ত আসল বলের সম্ভাবনার যোগফল দ্বারা বিভক্ত। যখন সেখানে মূলত আছে$k_C$ রঙের বল $C$ এবং $n$ মোট বল, যে মান

$${\Pr}_k(C) = \frac{k_c p_k}{n p_k} = \frac{k_c}{n}.$$

যখন এটি , QED এর উপর নির্ভর করে না ।$k\lt n$$k$

Comments

মন্তব্য করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ. এটি আমাকে অন্তর্নিহিত প্রক্রিয়াগুলি আরও বুঝতে সহায়তা করেছে!

— mjnichol

Answer 3

কোনও একক বল অঙ্কন করার বিতরণ করা যাক - ইতিমধ্যে প্রতিস্থাপন ছাড়াই বলগুলি আঁকার পরে - শ্রেণিবদ্ধ বিতরণ যেমন শ্রেণিবদ্ধ বিতরণ দেওয়া হয়েছে ।$k$$E(D_k)$$D_k$

আমার ধারণা আপনি ধ্রুবক কিনা জিজ্ঞাসা করছেন ।$E(D_k)$

আমি ভাবছি এটাই সেটা. মনে করুন আপনি শেষ পর্যন্ত বলগুলি আঁকেন। বলের সমস্ত ক্রমানুসারে সমান সম্ভাবনা রয়েছে। প্রাথমিকভাবে অঙ্কনের সম্ভাবনা হ'ল । আপনি আপনার পছন্দগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য ক্রমান্বয়ে পুনর্বিন্যাস করতে পারেন যার মাধ্যমে আপনার প্রথম নির্বাচিত বলটি সর্বশেষে নির্বাচিত হয়েছিল এবং আপনার দ্বিতীয় নির্বাচিতটি প্রথম চয়ন করা হয়েছিল। সেই বলটির প্রত্যাশা , যা প্রতিসাম্যের কারণে অবশ্যই সমান হতে হবে । ইন্ডাকশন দ্বারা সমস্ত সমান।$E(D_0)$$E(D_1)$$E(D_0)$$E(D_i)$

Comments

আপনার অর্থ এই যে আমি জিজ্ঞাসা করছি যে প্রতিটি কে-র জন্য স্থির আছে, তাই না? $E(D_k)$

— mjnichol

@mjnichol ডান

— নীল জি

Answer 4

"প্রত্যাশিত বিতরণ" পরিবর্তন হয় না। একজন মার্টিংলে যুক্তি ব্যবহার করতে পারে! আমি উত্তরটিতে এর পরে যুক্ত করব (আমি এখন ভ্রমণ করছি)।

পূর্ববর্তী অঙ্কনের শর্তসাপেক্ষে বিতরণ (পরবর্তী অঙ্কনের জন্য) কেবল তখনই পরিবর্তিত হয় যখন আপনি আসলে অঙ্কনগুলি পর্যবেক্ষণ করেন। যদি আপনি শক্তভাবে বন্ধ হাত দিয়ে কলটি থেকে বলটি আঁকেন এবং তার রঙটি পর্যবেক্ষণ না করে এটিকে ছুঁড়ে ফেলে দেন (আমি শ্রেণিবদ্ধ হিসাবে এই ধরনের থিয়েটার কার্যকরভাবে ব্যবহার করেছি), বিতরণ পরিবর্তন হয় না। এই সত্যটির একটি ব্যাখ্যা রয়েছে: সম্ভাব্যতা তথ্য সম্পর্কিত, সম্ভাবনা একটি তথ্য ধারণা।

সুতরাং সম্ভাব্যতাগুলি কেবল তখনই পরিবর্তিত হয় যখন আপনি নতুন তথ্য পাবেন (শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা, এটি)। বল আঁকতে এবং পর্যবেক্ষণ না করে এটিকে ফেলে দেওয়া আপনাকে কোনও নতুন তথ্য দেয় না, তাই শর্তে নতুন কিছু নয়। সুতরাং যখন আপনি প্রকৃত তথ্য সেটের উপর শর্ত রাখেন তখন তা পরিবর্তিত হয় না, তাই শর্তযুক্ত বিতরণ পরিবর্তন করতে পারে না।

 EDIT

আমি এখন এই উত্তরের আরও বেশি বিবরণ দেব না, কেবল একটি রেফারেন্স যুক্ত করুন: হোসাম এম মাহমুদ: "পলিয়া অর্ন মডেলস" (চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল), যা এই প্রশ্নটির মতো ওড়ন মডেলদের আচরণ করে এবং আরও সাধারণীকরণ করা কলকে সীমাবদ্ধতা ফলাফলগুলি অর্জনের জন্য মার্টিং পদ্ধতি ব্যবহার করেও স্কিমগুলি। তবে এই পোস্টে প্রশ্নের জন্য মার্টিংএল পদ্ধতিগুলির প্রয়োজন নেই।

Comments

আপনি আসলে অঙ্কনগুলি পর্যবেক্ষণ করেও (পরবর্তী অঙ্কনের জন্য) বন্টন পরিবর্তন হয় না । কেন কিছু পর্যবেক্ষণ করা উচিত কিছু পরিবর্তন?

— নীল জি

@ নীল আমার মনে হয় কেজেটিল পর্যবেক্ষণকৃত ড্রগুলিতে শর্তাধীন বিতরণকে উল্লেখ করছে ।

— সিলভারফিশ 20

@ সিলভারফিশ: আহ আমি দেখছি আপনি ঠিক বলেছেন, আমার ক্ষমা।

— নিল জি

আমি ঘরে বসে প্রায় দুই সপ্তাহের মধ্যে পরিষ্কার করার জন্য সম্পাদনা করব। ভেনিজিয়ায় এখন অবকাশের জন্য ...

— কেজিটিল বি হলওয়ার্সন