এবং এলোমেলো পরিবর্তনগুলি কি নির্ভরশীল?

আমরা কি এলোমেলো ভেরিয়েবলের নির্ভরতা এবং একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশন সম্পর্কে কিছু বলতে পারি? উদাহরণস্বরূপ, on উপর নির্ভরশীল ? $X^2$ $X$

probability random-variable

— রোহিত বঙ্গ
সূত্র

যদি

X

$X$ এবং

f (X)

$f(X)$ স্বতন্ত্র থাকে তবে

f (X)

$f(X)$ প্রায় অবশ্যই স্থির থাকে। অর্থাৎ অস্তিত্ব আছে

a

$a$ যেমন যে

P (f (X) = a) = 1

$\mathbb P(f(X) = a) = 1$ ।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল -এই উত্তর দিচ্ছেন না কেন ?

— কার্ল

@ কার্ডিনাল, আমি জনকে তার মন্তব্যটি বিস্তারিতভাবে বলতে চেয়েছিলাম। আমি এটি গ্রহণযোগ্যভাবে বিবেচনা করেছি যে বিবেচনা করা ফাংশনটি একটি প্রদত্ত, বিবাদী কার্য প্রক্রিয়াটিতে, আপনি পরিবর্তে উল্লিখিত ফলাফলের জন্য একটি যুক্তি লিখে শেষ করেছিলাম। কোন মন্তব্য সবচেয়ে স্বাগত এবং প্রশংসা করা হয়।

— এনআরএইচ

হ্যাঁ, উপর নির্ভরশীল যেহেতু আপনি জানেন, তারপর আপনি জানেন । এবং কেবল তখনই স্বাধীন, যদি মান জ্ঞান আপনার বিতরণ সম্পর্কিত জ্ঞানকে প্রভাবিত করে না ।

X^{2}

$X^2$

X

$X$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

— হেনরি

@ আইমরোহিতবাঙ্গা: যদি তবে প্রায় অবশ্যই। সুতরাং,

এই খুব বিশেষ ক্ষেত্রে

থেকে স্বাধীন ।

X \in {- 1, 1}

$X \in \{-1,1\}$

X^{2} = 1

$X^2 = 1$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

— কার্ডিনাল

উত্তর:

এখানে একটি ছোট টুইস্টের সাথে @ কার্ডিনালের মন্তব্যের প্রমাণ রয়েছে। যদি এবং স্বতন্ত্র থাকে তবে $X$ $f(X)$ গ্রহণকরলে সমীকরণ পাওয়া যায় যার দুটি সমাধান 0 এবং 1 রয়েছে। সুতরাং

\begin{array}{lcl} P (X \in A \cap f^{- 1} (বি)) & = & পি (এক্স \in একজন, চ (এক্স) \in বি) \\ = & পি (এক্স \in একজন) পি (চ (এক্স) \in বি) \\ = & পি (এক্স \in একজন) পি (এক্স \in চ^{- 1} (বি)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$

A = f^{- 1} (B)

$A = f^{-1}(B)$

P (f (X) \in B) = P (f (X) \in B)^{2},

$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$

সকলের জন্য

। সম্পূর্ণ সাধারণভাবে, এটি আরও বলা সম্ভব নয়। যদি

এবং

স্বতন্ত্র থাকে, তবে

একটি পরিবর্তনশীল যেমন যে কোনও

এটি হয়

বা

মধ্যেসম্ভাব্যতার সাথে থাকে। আরও বলতে গেলে, একটির আরও অনুমান প্রয়োজন, যেমন that সিঙ্গলটন সেট করে

পরিমাপযোগ্য হয়।

P (f (X) \in B) \in {0, 1}

$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$

B

$B$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

B

$B$

B

$B$

B^{c}

$B^c$

{b}

$\{b\}$

যাইহোক, পরিমাপ তাত্ত্বিক স্তরের বিবরণগুলি ওপির মূল উদ্বেগ বলে মনে হয় না। যদি আসল হয় এবং একটি আসল ফাংশন হয় (এবং আমরা বোরেল আলজেব্রা ব্যবহার করি , বলি), তবে করলে এটি অনুসরণ করে যে বিতরণের জন্য বিতরণ ফাংশনটি কেবল গ্রহণ করে মান 0 এবং 1, সুতরাং একটি রয়েছে যা এটি থেকে এবং থেকে লাফ দেয় $X$ $f$ $\sigma$ $B = (-\infty, b]$ $f(X)$ $b$ $0$ $1$ $P(f(X) = b) = 1$ ।

দিন শেষে, ওপিএস প্রশ্নের উত্তরটি হ'ল এবং সাধারণত খুব বিশেষ পরিস্থিতিতে নির্ভরশীল এবং কেবল স্বাধীন। অধিকন্তু, ডিরাক পরিমাপ সবসময় একটি শর্তাধীন বিতরণের জন্য যোগ্যতা অর্জন দেওয়া , যা বলার অপেক্ষা রাখে না নিয়মমাফিক ভাবে যে বুদ্ধিমান তারপর আপনি আরও জানতে পারি ঠিক কি $X$ $f(X)$ $\delta_{f(x)}$ $f(X)$ $X = x$ $X = x$ $f(X)$ হয়। একটি অধঃপতিত শর্তসাপেক্ষ বন্টনের সাথে নির্ভরশীলতার এই বিশেষ রূপটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির জন্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত।

— NRH
সূত্র

(+1) দুঃখিত আমি আমার উত্তরটি রচনা করার সময়, আমি এমন একটি আপডেট পাইনি যা আপনিও জমা দিয়েছিলেন। :)

— কার্ডিনাল

থিম : আসুন একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের হতে হবে এবং দিন একটি (Borel পরিমাপযোগ্য) ফাংশন যেমন যে হতে এবং স্বাধীন। তাহলে প্রায় অবশ্যই স্থির থাকে। অর্থাৎ কিছু হয় যেমন যে । $X$ $f$ $X$ $f(X)$ $f(X)$ $a \in \mathbb R$ $\mathbb P(f(X) = a) = 1$

প্রমাণ নীচে; তবে, প্রথমে কিছু মন্তব্য। বোরেল পরিমাপযোগ্যতা কেবলমাত্র একটি যুক্তিসঙ্গত শর্ত এটি নিশ্চিত করার জন্য যে আমরা যুক্তিসঙ্গত এবং ধারাবাহিক উপায়ে সম্ভাব্যতাগুলি অর্পণ করতে পারি। "প্রায় অবশ্যই" বিবৃতিটিও কেবল একটি প্রযুক্তিগত।

লেমার সংক্ষিপ্তসারটি হ'ল আমরা যদি এবং স্বাধীন হতে চাই তবে আমাদের একমাত্র প্রার্থীরা ফর্মের ফাংশন । $X$ $f(X)$ $f(x) = a$

ফাংশন ক্ষেত্রে সঙ্গে এই তুলনা যেমন যে এবং হয় সম্পর্কহীন । এটি অনেক বেশি দুর্বল অবস্থা। প্রকৃতপক্ষে, গড় শূন্য, সীমাবদ্ধ পরম তৃতীয় মুহুর্তের সাথে যে কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন এবং এটি শূন্যের প্রতিসাম্য। প্রশ্নের উদাহরণের মতো নিন । তারপরে $f$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(x) = x^2$ , তাই এবং অসংরক্ষিত। $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$ $X$ $f(X) = X^2$

নীচে, আমি সহজ প্রমাণটি দিয়েছি যা আমি লেমার জন্য নিয়ে আসতে পারি। আমি এটিকে অত্যন্ত ভার্জোজ করে দিয়েছি যাতে সমস্ত বিবরণ যতটা সম্ভব স্পষ্ট হয় obvious যদি কেউ এটির উন্নতি বা সরল করার উপায়গুলি দেখেন তবে আমি তা জেনে আনন্দ করি।

প্রমাণের ধারণা : স্বজ্ঞাতভাবে, যদি আমরা জানি , তবে আমরা জানি । সুতরাং, আমরা কিছু ঘটনা বের করতে হবে , সিগমা দ্বারা উত্পন্ন বীজগণিত , যে আমাদের জ্ঞান সম্পর্কিত যে । তারপরে, আমরা এবং এর ধরে নেওয়া স্বাধীনতার সাথে সম্মিলিতভাবে সেই তথ্যটি ব্যবহার করি তা দেখানোর জন্য যে আমাদের জন্য জন্য উপলব্ধ পছন্দগুলি কঠোরভাবে সীমাবদ্ধ। $X$ $f(X)$ $\sigma(X)$ $X$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(X)$ $f$

এর থিম প্রুফ : রিকল যে এবং স্বাধীন যদি এবং কেবল সবার জন্য যদি এবং , । যাক কিছু Borel পরিমাপযোগ্য ফাংশন জন্য $X$ $Y$ $A \in \sigma(X)$ $B \in \sigma(Y)$ $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$ $Y = f(X)$ $f$ যেমন এবং স্বতন্ত্র। নির্ধারণ করুন । তারপরে, এবং যেহেতু $X$ $Y$ $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

একজন (Y) = {ω : এক্স (ω) \in চ^{- 1} ((- \infty, Y])}

$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$

(- \infty, y]

$(-\infty,y]$ একটি Borel সেট করা হয় এবং

Borel-পরিমাপযোগ্য হয়, তাহলে

। একটি Borel সেট এর অর্থ হলো

(দ্বারা সংজ্ঞা ! এর ()

)।

f

$f$

f^{- 1} ((- \infty, y])

$f^{-1}((-\infty,y])$

A (y) \in σ (X)

$A(y) \in \sigma(X)$

σ (X)

$\sigma(X)$

যেহেতু এবং স্বতন্ত্র এবং হিসাবে ধরে নেওয়া হয় , তারপরে $X$ $Y$ $A(y) \in \sigma(X)$ এবং এটি সমস্ত জন্য ধারণ করে। তবে,

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (X \in A (y)) P (Y \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

y \in R

$y \in \mathbb R$

A (y)

$A(y)$

এই শেষ দুটি সংমিশ্রণে, আমরাপ্রতি

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (f (X) \leq y, Y \leq y) = P (f (X) \leq y) .

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$

y \in R

$y \in \mathbb R$

সুতরাং

বা

। এই উপায়ে কিছু ধ্রুবক হতে হবে

যেমন যে বিতরণের ফাংশন

শূন্য থেকে এ এক জাম্প

। অন্য কথায়,

প্রায় নিশ্চয়।

P (f (X) \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

P (f (X) \leq y) = 0

$\Pr(f(X) \leq y) = 0$

P (f (X) \leq y) = 1

$\Pr(f(X) \leq y) = 1$

a \in R

$a \in \mathbb R$

f (X)

$f(X)$

a

$a$

f (X) = a

$f(X) = a$

বিশেষ দ্রষ্টব্য : লক্ষ্য করুন বিপরীতটি এছাড়াও একটি এমনকি সহজ আর্গুমেন্টের দ্বারা সত্য। অর্থাৎ যদি প্রায় নিশ্চয়, তারপর এবং স্বাধীন। $f(X) = a$ $X$ $f(X)$

— মৌলিক
সূত্র

+1, আমার দুঃখিত হওয়া উচিত - আপনার যুক্তি চুরি করা খুব নম্র নয়। এটি দুর্দান্ত যে আপনি স্বাধীনতা এবং এই প্রসঙ্গে নিরক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্যটি লিখেছেন।

— এনআরএইচ

কোনও "চুরি" জড়িত নয়, না কোনও অসম্পূর্ণতা। :) যদিও অনেকগুলি ধারণা এবং মতামত একই রকম (যেমন আপনি কোনও প্রশ্নের জন্য আশা করতেন!), তবে আমার মনে হয় যে দুটি পোস্ট সুন্দরভাবে পরিপূরক। বিশেষত, আমি পছন্দ করি কিভাবে আপনার পোস্টের শুরুতে আপনি নিজেকে বাস্তব-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিতে সীমাবদ্ধ করেননি।

— কার্ডিনাল

@ এনআরএইচ আপনার উত্তরটি আপনার প্রমাণের প্রাথমিক অংশ হিসাবে গ্রহণ করে আমার মতো একজন নবজাতকের পক্ষে উপলব্ধি করা সহজ বলে মনে হচ্ছে। তবুও আপনার উত্তরের জন্য +1 কার্ডিনাল।

— রোহিত বঙ্গ