ভারী-লেজযুক্ত বিতরণের উদাহরণ যা দীর্ঘ-পুচ্ছ নয়

ভারী- এবং দীর্ঘ-লেজযুক্ত বিতরণ সম্পর্কে পড়া থেকে, আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে সমস্ত দীর্ঘ-লেজযুক্ত বিতরণগুলি ভারী-লেজযুক্ত , তবে সমস্ত ভারী-লেজযুক্ত বিতরণগুলি দীর্ঘ-লেজযুক্ত নয় ।

কেউ দয়া করে একটি উদাহরণ প্রদান করতে পারে:

একটি অবিচ্ছিন্ন, প্রতিসম, শূন্য-মধ্যম ঘনত্ব ফাংশন যা দীর্ঘ-লেজযুক্ত
একটি অবিচ্ছিন্ন, প্রতিসম, শূন্য-ঘনত্বের ক্রিয়া যা ভারী-লেজযুক্ত তবে দীর্ঘ-লেজযুক্ত নয়

সুতরাং আমি কি তাদের সংজ্ঞাগুলির অর্থ আরও ভালভাবে বুঝতে পারি?

এটি আরও ভাল হবে যদি উভয়েরই ইউনিটের বৈকল্পিকতা থাকতে পারে।

distributions heavy-tailed

— toliveira
সূত্র

আপনি এই সংজ্ঞাটি কোথায় পেলেন? আপনি এখানে দিতে পারেন? প্রতিশব্দ হিসাবে এগুলি সম্পর্কে ভেবেছিলাম!

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সেন

@kjetilbhalvorsen: সম্ভবত এখানে: en.wikipedia.org/wiki/...

— Scortchi - পুনর্বহাল মনিকা

@ কেজেটিলভালভর্সেন এসএ: দেখুন, লিঙ্ক ই। এলএ: আমি "ভারী", "চর্বি" এবং "দীর্ঘ-লেজযুক্ত" বিতরণগুলির সংজ্ঞা অধ্যয়ন করছিলাম এবং এখানে দরকারী ব্যাখ্যা পেয়েছি: (এ) [ stats.stackexchange.com/ প্রশ্নগুলি / 10726 /… , (খ) [ en.wikedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribration] , (গ) [ ব্যবহারকারীদের। cms.caltech.edu/~adamw/papers/… , (অব্যাহত)

— টালিভিরা ২

(ধারাবাহিকতা) (ই) math.stackexchange.com/ প্রশ্নগুলি / 685921/… আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে (i) ভারী লেজযুক্ত ডিস্ট্রিবিউটনটি এ, বি, সি, ডি, ই হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে, (ii) দীর্ঘ-লেজযুক্ত ডিস্ট্রিবিউটন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বি, সি, ই (iii) তে যেমন চর্বিযুক্ত লেজের সংজ্ঞাটি আলগা, এ

— তে

দুটি সংজ্ঞা কাছাকাছি, তবে একরকম নয়। একটি পার্থক্য বেঁচে থাকার অনুপাতের একটি সীমা থাকার জন্য প্রয়োজন।

এই উত্তরের বেশিরভাগের জন্য আমি বন্টনকে অবিচ্ছিন্ন, প্রতিসাম্য এবং সীমাবদ্ধ বৈচিত্রের মানদণ্ডটি উপেক্ষা করব, কারণ এটি দীর্ঘস্থায়ী নয় এমন কোনও সীমাবদ্ধ-ভারসাম্য ভারী-লেজযুক্ত বিতরণ পাওয়া গেলে এটি সম্পাদন করা সহজ ।

একটি বিতরণ হয় ভারী-টেইলড যখন কোন , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

বেঁচে থাকার ফাংশন সঙ্গে একটি বন্টন হয় দীর্ঘ-টেইলড যখন $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

দীর্ঘ লেজযুক্ত বিতরণ ভারী। অধিকন্তু, ননস্রোহিত হওয়ায়, অনুপাতের সীমা বেশি হতে পারে না । যদি এটি বিদ্যমান থাকে এবং চেয়ে কম হয় , তবে তাত্পর্যপূর্ণভাবে হ্রাস পাচ্ছে - এবং এটি অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর করতে দেবে । $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

একটি ভারী-টেইলড বন্টন করা হয় যে, দীর্ঘ-টেইলড না প্রদর্শন করার একমাত্র উপায়, তাহলে, যাতে একটি দীর্ঘ-টেইলড ডিস্ট্রিবিউশন পরিবর্তন করতে হয় যখন রাখা অব্যাহত লঙ্ঘন করা হয়। সীমাবদ্ধতা তৈরি করা সহজ: অসীমের দিকে ডুবে যাওয়া এমন অনেক জায়গায় এটি পরিবর্তন করুন। এটি সাথে কিছু করবে , যদিও এটি অবশ্যই বাড়তে থাকবে এবং ক্যাডল্যাগ থাকবে। একটি উপায় হ'ল কিছু জাম্পগুলি প্রবর্তন করা , যা নীচের দিকে নামিয়ে , অনুপাতটি কমিয়ে দেবে । এই শেষ, চল একটি রূপান্তর সংজ্ঞায়িত যে সক্রিয় মূল্য এ সংখ্যা আচমকা জাম্প তৈরি করার সময় অন্য বৈধ বণ্টনের ফাংশনের মধ্যে $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ , থেকে তে অর্ধেক লাফিয়ে বলুন : $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

এটি কোনও মৌলিক সম্পত্তি পরিবর্তিত করে না : এখনও একটি বিতরণ ফাংশন। $F$ $T_u[F]$

থেকে কার্যকর এটি একটি গুণক দ্বারা ড্রপ করা হয় এ । সুতরাং, যেহেতু কমছে না, তারপরে যখনই , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

যদি আমরা , ক্রমবর্ধমান এবং বিচ্যুত ক্রমটি চয়ন এবং প্রতিটি ধারাবাহিকভাবে প্রয়োগ করি তবে এটি এবং সাথে বিতরণের ক্রম নির্ধারণ করে $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

জন্য । পরে পদক্ষেপ, সবার জন্য একই থাকবে । ফলস্বরূপ এর ক্রমটি একটি স্নাতক, সীমানা, বিতরণ কার্যের বিন্দু অনুসারে ক্রম, যার সীমাটি বোঝায় $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

একটি বিতরণ ফাংশন। নির্মাণ করে, এটি দীর্ঘ-লেজযুক্ত নয় কারণ এমন অসীম অনেকগুলি পয়েন্ট রয়েছে যেখানে এর বেঁচে থাকার অনুপাত নেমে আসে বা তার নিচে, এটির সীমা হিসাবে থাকতে পারে তা দেখানো হচ্ছে । $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

এই প্লটটি একটি বেঁচে থাকার ফাংশন দেখায় যা এই পদ্ধতিতে পয়েন্টে কেটে দেওয়া হয়েছে লগারিদমিক উল্লম্ব অক্ষটি নোট করুন। $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

আশা চয়ন করতে সক্ষম হবেন যাতে ভারী লেজযুক্ত থাকে। আমরা জানি, কারণ ভারী লেজযুক্ত, সেখানে যার জন্য $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

প্রতি । ডানদিকে for এর কারণ অবধি দ্বারা নির্ধারিত সম্ভাবনাগুলি অর্ধেক বার ক্রমান্বয়ে কেটে গেছে । যে পদ্ধতি, যখন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় কোন , কমবে থেকে , কিন্তু কোন কম। $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

এই একটি চক্রান্ত ঘনত্বের জন্য পূর্ববর্তী বেঁচে থাকার ফাংশন এবং এর সংস্করণ "কেটে" সংশ্লিষ্ট। এই বক্ররেখার অধীনে অঞ্চলগুলি প্রত্যাশায় অবদান রাখে। থেকে এলাকায় থেকে হয় ; থেকে এলাকায় করার হয় , যা যখন কাটা নিচে (নিম্ন নীল অংশে) এলাকা হয়ে ; থেকে এলাকায় করার হয় , যা যখন কাটা নিচে একটি এলাকা হয়ে , ইত্যাদি। সুতরাং, ডানে প্রত্যেক ক্রমানুযায়ী "সিঁড়ি ধাপে" এর অধীনে এলাকা । $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

আসুন সংজ্ঞায়িত করার জন্য এই ক্রম বেছে নেওয়া যাক । আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি পুরো সংখ্যা জন্য বাছাই করে এবং নির্মাণটি প্রয়োগ করে ভারী-লেজযুক্ত রয়েছে : $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

যা এখনও ডাইভারেজ করে। যেহেতু নির্বিচারে ছোট হয়, এটি প্রমাণ করে যে ভারী লেজযুক্ত রয়েছে, যদিও এর দীর্ঘ-পুচ্ছ সম্পত্তি ধ্বংস হয়ে গেছে। $t$ $F_\infty$

এটি কাটা ডাউন বিতরণের জন্য বেঁচে থাকার অনুপাত একটি প্লট । মূল এর অনুপাতের মতো এটি ইউ_আইতে শেষ হওয়া ইউনিট-প্রস্থের অন্তরগুলির জন্য তবে একটি উচ্চতর সঞ্চিত মানের দিকে , অনুপাত হঠাৎ এটি মূলটি ছিল তার মাত্র অর্ধেক হয়ে যায়। এই ফোঁটাগুলি যদিও বাড়ার সাথে সাথে কম এবং ঘন ঘন হয়ে ওঠে, প্রায়শই অসীমভাবে ঘটে থাকে এবং তাই অনুপাতটিকে সীমাতে এর কাছাকাছি আসতে বাধা দেয় । $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

আপনি যদি অবিচ্ছিন্ন, প্রতিসম, শূন্য-গড়, ইউনিট-বৈকল্পিক উদাহরণ চান তবে সসীম-বৈকল্পিক দীর্ঘ-লেজযুক্ত বিতরণ দিয়ে শুরু করুন। ( ) করবে, সরবরাহিত ; সুতরাং কোনও শিক্ষার্থী ডিগ্রী ছাড়িয়ে যে কোনও ডিগ্রির জন্য ডিস্ট্রিবিউশন করবে । এর মুহুর্তগুলি চেয়ে বেশি হতে পারে না , যেহেতু এটিরও সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা রয়েছে। এটি গৌসির মতো একটি সুন্দর মসৃণ বিতরণের মাধ্যমে সমঝোতার মাধ্যমে "মোলাইফাই করুন": এটি এটিকে অবিচ্ছিন্ন করে তুলবে তবে এর ভারী লেজটি (স্পষ্টতই) ধ্বংস করবে না বা দীর্ঘ লেজের উপস্থিতি (একেবারে সুস্পষ্ট নয়) তবে এটি স্পষ্ট হয়ে উঠলে আপনি গাউসিকে পরিবর্তন করুন, বলুন, একটি বিটা বিতরণ যার সমর্থন কমপ্যাক্ট)। $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

ফলাফলটি প্রতিসমিত করুন - যা আমি এখনও _ - সংজ্ঞায়িত করে কল করব $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

সব জন্য । এর বৈকল্পিক সীমাবদ্ধ থাকবে, তাই এটি পছন্দসই বিতরণে মানক করা যায়। $x\in\mathbb{R}$

— whuber
সূত্র

উজ্জ্বলভাবে ব্যাখ্যা। আপনি কেবল একটি উদাহরণই দেননি তবে এর ন্যায্যতাও দিয়েছেন। ব্যাখ্যাটির স্পষ্টতা আমাকে এটি (প্রায়) পুরোটি বুঝতে দেয় allowed আমি কয়েকটি সংখ্যার উদাহরণে এটি অনুশীলন করব।

— টলিভিরা