কার্ডের খেলা: আমি যদি এলোমেলোভাবে চারটি কার্ড আঁকে এবং আপনি ছয়টি আঁকেন তবে আমার সর্বোচ্চ কার্ডটি আপনার সর্বোচ্চের চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কী?

শিরোনামে বর্ণিত হিসাবে, বলুন যে আমি যদি এলোমেলোভাবে 4 কার্ড আঁকি এবং আপনি একই ডেক থেকে 6 আঁকেন, তবে আমার সর্বোচ্চ কার্ডটি আপনার সর্বোচ্চ কার্ডকে মারবে এমন সম্ভাবনা কী?

আমরা বিভিন্ন ডেক থেকে আঁকলে কীভাবে এই পরিবর্তন হবে?

ধন্যবাদ!

probability maximum

— Wudanao
সূত্র

এটি কি কোনও বাড়ির কাজ?

— আকসকল

এই সাধারণ প্রশ্নের জটিল উত্তর রয়েছে। জটিলতা দুটি কারণের কারণে:

কার্ডগুলি প্রতিস্থাপন ছাড়াই আঁকা হয়। (প্রতিটি অঙ্কনই পরবর্তী অঙ্কনের জন্য উপলভ্য ডেকের সামগ্রীগুলিকে পরিবর্তন করে))
একটি ডেকে সাধারণত প্রতিটি মানের একাধিক কার্ড থাকে, সর্বোচ্চ কার্ডের জন্য একটি টাই তৈরি করে।

যেহেতু জটিলতাগুলি অনিবার্য, তাই আসুন আমরা এই সমস্যাটির যুক্তিসঙ্গতভাবে বিস্তৃত সাধারণীকরণের বিষয়টি বিবেচনা করি এবং তারপরে বিশেষ কেসগুলি দেখি। সাধারণীকরণে, একটি "ডেক" একটি সীমাবদ্ধ কার্ড নিয়ে গঠিত। কার্ডগুলিতে পৃথক "মান" রয়েছে যা সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ পর্যন্ত স্থান পাওয়া যায়। সেখানে 'ছেড়ে দাও মান যে স্থান করছে (সঙ্গে সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ)। এক খেলোয়াড় ডেক থেকে কার্ড আঁকেন এবং দ্বিতীয় খেলোয়াড় আঁকেন $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ তাস. প্রথম প্লেয়ারের হাতে সর্বোচ্চ র‌্যাঙ্কড কার্ডটি দ্বিতীয় খেলোয়াড়ের হাতে সর্বোচ্চ র‌্যাঙ্কড কার্ডের চেয়ে কড়াভাবে বেশি হওয়ার কী সুযোগ আছে ? এই ইভেন্টটিকে প্রথম খেলোয়াড়ের জন্য : একটি "জয়" বলা হোক । $W$

ওয়ান ওয়ে এই জিনিসটা লক্ষ করেন, পদ্ধতি অঙ্কন সমতূল্য দ্বারা আরম্ভ ডেক থেকে কার্ডগুলি, প্রথম গ্রহণ যারা এর বাইরে প্রথম খেলোয়াড় এর কার্ড হতে, এবং অবশিষ্ট দ্বিতীয় খেলোয়াড়ের কার্ড যাবে। এই কার্ডগুলির মধ্যে সর্বাধিক মান হওয়া যাক এবং সেই মানের কার্ডের সংখ্যা হতে দিন । প্রথম খেলোয়াড় কেবল তখন জিতবে যখন সে এই কার্ডগুলির সমস্ত রাখে । উপায়ে ঐ বিশেষ কার্ড মধ্যে পাওয়া যেতে পারে সংখ্যা কার্ড হয় , যখন ঐ পজিশনিং পথ সংখ্যা সমস্ত মধ্যে কার্ড $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ আকৃষ্ট হয় যে । $\binom{a+b}{k}$

এখন যে সুযোগটি সর্বাধিক মান এবং সেখানে জাতীয় কার্ড রয়েছে সে সুযোগটি মান এর কার্ডের বাইরে নির্বাচন করার এবং নীচের মধ্যে বাকি নির্বাচন করার সুযোগ মান। যেহেতু কার্ডের সমীকরণযোগ্য অঙ্কন রয়েছে , উত্তরটি হ'ল $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(এই অভিব্যক্তিতে, এবং যে কোনও দ্বিপদী সহগ যার শীর্ষমূল্য নীচের মানের চেয়ে কম, বা যার নীচের মানটি নেতিবাচক, এটি শূন্য হিসাবে নেওয়া হয়)) এটি কার্ডের সংখ্যার সাথে সমানুপাতিক সময় নেওয়ার সাথে তুলনামূলকভাবে দক্ষ গণনা ডেকে কারণ এটা দ্বিপদ কোফিসিয়েন্টস একচেটিয়াভাবে জড়িত থাকে, এটা বৃহৎ মানের জন্য asymptotic অনুমান এক্তিয়ারভুক্ত হয় এবং । $N_0=0$ $a$ $b$

কিছু ক্ষেত্রে আপনি "জয়" এর সংজ্ঞাটি সংশোধন করতে চাইতে পারেন। এটি সহজেই সম্পন্ন করা হয়: এবং এর মানগুলি বিনিময়ের মাধ্যমে একই সূত্রটি দ্বিতীয় খেলোয়াড় সরাসরি জয়ের সুযোগটি গণনা করে। এবং এই দুটি সম্ভাবনার যোগফলের মধ্যে পার্থক্য হ'ল একটি টাই হওয়ার সম্ভাবনা। খেলোয়াড়দের টাই করার সম্ভাবনা আপনি যে কোনও অনুপাতে পছন্দ করতে পারেন। $a$ $b$ $1$

জন্য কার্ড প্রচুর প্রচলিত ডেকে এবং । আসুন আমরা যে কোনও ডেক বিবেচনা করি যাতে সমস্ত একই মান, বলে । এই ক্ষেত্রে এবং পূর্ববর্তী সূত্র সরলীকৃত সামান্য থেকে $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

উদাহরণস্বরূপ, টি র‌্যাঙ্কের একটি সাধারণ 52 কার্ড ডেকে এবং , , এবং , । এই গেমের 100,000 নাটকের সিমুলেশনটি একটি অনুমান তৈরি , যা প্রায় তিনটি উল্লেখযোগ্য পরিসংখ্যানের সাথে সংক্ষিপ্ত এবং সূত্রের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক নয়। $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

নিম্নলিখিত Rকোড সহজে অনুমান রুপান্তরিত করা হয়েছে জন্য কোনো ডেক: কেবল পরিবর্তন , এবং । এটি কেবল 10,000 টি নাটক চালানোর জন্য সেট করা হয়েছে, যা সম্পাদন করতে এক সেকেন্ডেরও কম সময় নেয় এবং এটি অনুমানের দুটি উল্লেখযোগ্য ব্যক্তির পক্ষে ভাল। $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

এই উদাহরণে আউটপুট হয়

আনুমানিক জনসংযোগ (একটি জয়) = 0.3132 +/- 0.00464

— whuber
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তর! যদি প্রতিটি খেলোয়াড় আলাদা ডেক থেকে আঁকেন তবে আপনি কী ভাবছেন তা জিজ্ঞাসা করতে পারি - এর উত্তরটি কি বদলে যাবে？

— Wudanao

হ্যাঁ, এটি উত্তরটি বদলে দেবে কারণ একজন ব্যক্তি যা আঁকবে তা অন্য খেলোয়াড়ের আঁকায় স্বাধীন হবে। কিছু উপায়ে এটি একটি সহজ প্রশ্ন, কারণ উত্তরটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল তার থেকে পৃথক যে অন্যটির মান অতিক্রম করে তার সুযোগের একটি সরল গণনা।

— whuber

মনে রাখবেন যে, যদি কোনও সম্পর্ক না থাকে তবে উত্তরটি তুচ্ছভাবে would would হতে পারে : আঁকা কার্ডগুলির মধ্যে অবশ্যই সর্বোচ্চ হতে হবে এবং এর প্রথমটিতে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে খেলোয়াড়ের হাত আউট । তবে আপনি যেমন লক্ষ্য করেছেন, ডেকে একই মান সহ একাধিক কার্ডের উপস্থিতি জিনিসগুলিকে জটিল করে তোলে।

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

— ইলমারি করোনেন

@ ইলমারী ঠিক আছে (এবং এটা এই অন্তর্দৃষ্টি মূলত সমাধান আমি উপস্থাপন প্রস্তাব দেওয়া হচ্ছে।) কোন সম্পর্ক দিয়ে, সবসময় এর সমষ্টি দূরে যায়, এবং ভগ্নাংশ কারণগুলি দেখায়, সাধারণ সূত্রটি কীভাবে এই সাধারণটিকে হ্রাস করে তা দেখায়।

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

— whuber

@ ওয়ার্ননারসিডি ট্রু, তবে সেই প্রভাবটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে: যদি স্যুটগুলির একটি র‌্যাঙ্কিং থাকে তবে কোনও সম্পর্ক নেই, এবং সুতরাং সূত্রটি লিমারির মন্তব্যে যা বর্ণনা করা হয়েছে তা হ্রাস করে।

— ব্রিলিল্যান্ড