কীভাবে প্রমাণ করতে হয় যে

আমি বৈষম্য প্রতিষ্ঠার চেষ্টা করে যাচ্ছি

$| T_{i} | = \frac{| X_{i} - \bar{X} |}{S} \leq \frac{n - 1}{\sqrt{n}}$ $\left| T_i \right|=\frac{\left|X_i -\bar{X} \right|}{S} \leq\frac{n-1}{\sqrt{n}}$

যেখানে হ'ল নমুনা গড় এবং নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি, সেটি হ'ল । $\bar{X}$ $S$ $S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left( X_i -\bar{X} \right)^2}{n-1}}$

এটি দেখতে সহজ এবং তাই তবে এটি আমি যা খুঁজছিলাম তার খুব কাছাকাছি নয় বা এটি একটি দরকারী সীমাবদ্ধও নয়। আমি কাউচি-শোয়ার্জ এবং ত্রিভুজ বৈষম্য নিয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছি কিন্তু কোথাও গিয়েছি না। একটি সূক্ষ্ম পদক্ষেপ থাকতে হবে যা আমি কোথাও মিস করছি। আমি কিছু সাহায্য প্রশংসা করব, আপনাকে ধন্যবাদ। $\sum_{i=1}^n T_i^2 = n-1$ $\left| T_i \right| < \sqrt{n-1}$

self-study descriptive-statistics bounds

— JohnK
সূত্র

উত্তর:

এটি স্যামুয়েলসনের অসমতা এবং এটির জন্য চিহ্ন প্রয়োজন। আপনি যদি উইকিপিডিয়া সংস্করণটি গ্রহণ করেন এবং এর সংজ্ঞার জন্য এটি পুনরায় কাজ করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে এটি $\leq$ $n-1$ $S,$

\frac{| X_{i} - \bar{X} |}{S} \leq \frac{n - 1}{\sqrt{n}}

${{ \left| X_i-\bar X \right| } \over S} \leq {{n-1} \over \sqrt{n}}$

— soakley
সূত্র

এটি বইতে একটি কঠোর বৈষম্য হিসাবে দেওয়া হয়েছে তবে আমি এটি স্থির করেছি, ধন্যবাদ।

— জনক

রুটিন প্রক্রিয়াগুলির মাধ্যমে সমস্যাটি সহজ করার পরে, এটি একটি দ্বৈত মিনিমাইজেশন প্রোগ্রামে রূপান্তর করে সমাধান করা যেতে পারে যার প্রাথমিক প্রমাণ সহ সুপরিচিত উত্তর রয়েছে। সম্ভবত এই দ্বৈতকরণটি প্রশ্নটিতে উল্লিখিত "সূক্ষ্ম পদক্ষেপ"। সর্বাধিক করে খাঁটি যান্ত্রিক পদ্ধতিতেও এই বৈষম্য প্রতিষ্ঠা করা যায় লাগরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্সের মাধ্যমে । $|T_i|$

প্রথমত, আমি কমপক্ষে স্কোয়ারের জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে আরও মার্জিত সমাধান অফার করি। এটির কোনও প্রাথমিক সরলকরণ প্রয়োজন নেই এবং প্রায় তাত্ক্ষণিকভাবে, ফলাফলটিতে সরাসরি স্বীকৃতি সরবরাহ করে। প্রশ্নে প্রস্তাবিত হিসাবে, সমস্যা কচী-শোয়ার্জ বৈষম্য হ্রাস করে।

জ্যামিতিক সমাধান

বিবেচনা করুন একটি হিসাবে স্বাভাবিক ডট পণ্যের সাথে ইউক্লিডিয় স্থান -dimensional ভেক্টর। যাক হতে ভিত্তিতে ভেক্টর এবং । লিখন এবং এর লম্ব অনুমান জন্য এবং এর লম্ব সম্পূরক মধ্যে । (পরিসংখ্যানগত পরিভাষায়, তারা উপায়গুলির সম্মানের সাথে অবশিষ্টাংশ)) তারপরে এবং $\mathbf{x} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $n$ $\mathbf{y} = (0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ $i^\text{th}$ $\mathbf{1} = (1,1,\ldots, 1)$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat y}$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{1}$ $X_i-\bar X = \mathbf{\hat x}\cdot \mathbf{y}$ $S = ||\mathbf{\hat x}||/\sqrt{n-1}$ ,

| T_{i} | = \sqrt{n - 1} \frac{| \hat{x} \cdot y |}{| | \hat{x} | |} = \sqrt{n - 1} \frac{| \hat{x} \cdot \hat{y} |}{| | \hat{x} | |}

$|T_i| = \sqrt{n-1}\frac{|\mathbf{\hat x} \cdot \mathbf{y}|}{||\mathbf{\hat x}||} = \sqrt{n-1}\frac{|\mathbf{\hat x} \cdot \mathbf{\hat y}|}{||\mathbf{\hat x}||}$

এর উপাদান মধ্যে দিক। কৌচি-শোয়ার্জের দ্বারা, সমান্তরাল হলে এটি সর্বাধিক বাড়ানো হয় , যার জন্য QED। $\mathbf{\hat y}$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat y} = (-1,-1,\ldots,-1,n-1,-1,-1,\ldots,-1)/n$

T_{i} = \pm \sqrt{n - 1} \frac{\hat{y} \cdot \hat{y}}{| | \hat{y} | |} = \pm \sqrt{n - 1} | | \hat{y} | | = \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}},

$T_i = \pm \sqrt{n-1} \frac{\mathbf{\hat y}\cdot \mathbf{\hat y} }{ ||\mathbf{\hat y}||} = \pm\sqrt{n-1}||\mathbf{\hat y}|| = \pm\frac{n-1}{\sqrt{n}},$

ঘটনাচক্রে, এই সমস্ত ক্ষেত্রেই যেখানে টি বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করে সর্বাধিক: এগুলি সমস্ত ফর্ম $|T_i|$

x = σ \hat{y} + μ 1 = σ (- 1, - 1, \dots, - 1, n - 1, - 1, - 1, \dots, - 1) + μ (1, 1, \dots, 1)

$\mathbf{x} = \sigma\mathbf{\hat y} + \mu\mathbf{1} = \sigma(-1,-1,\ldots,-1,n-1,-1,-1,\ldots,-1) + \mu(1,1,\ldots, 1)$

সমস্ত আসল । $\mu, \sigma$

এই বিশ্লেষণটি সেই ক্ষেত্রে সহজেই সাধারণীকরণ করে যেখানে কোনও রেজিস্ট্রার দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়। স্পষ্টরূপে সর্বোচ্চ এর অবশিষ্ট দৈর্ঘ্য সমানুপাতিক ,। $\{\mathbf{1}\}$ $T_i$ $\mathbf{y}$ $||\mathbf{\hat y}||$

সরলীকরণ

যেহেতু স্থান এবং স্কেলের পরিবর্তনের অধীনে , তাই আমরা যোগফল শূন্য এবং তাদের স্কোয়ারগুলি সমষ্টিগত কোনও ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি । এটি সনাক্ত করেসাথে, যেহেতু (গড় বর্গ) । এটি সর্বাধিকীকরণ করা সর্বাধিকের সমপরিমাণ । বিনিময়যোগ্য হওয়ায় গ্রহণ করে কোনও সাধারণতা । $T_i$ $X_i$ $n-1$ $|T_i|$ $|X_i|$ $S$ $1$ $|T_i|^2 = T_i^2 = X_i^2$ $i=1$ $X_i$

দ্বৈত গঠনের মাধ্যমে সমাধান

একটি দ্বৈত সমস্যা মান ঠিক হয় এবং অবশিষ্ট কি মান জিজ্ঞাসা প্রয়োজন হয় কমান বর্গের সমষ্টি দেওয়া যে । কারণ দেওয়া হয়, এই কমানোর এর সমস্যা দেওয়া যে । $X_1^2$ $X_j, j\ne 1$ $\sum_{j=1}^n X_j^2$ $\sum_{j=1}^n X_j = 0$ $X_1$ $\sum_{j=2}^n X_j^2$ $\sum_{j=2}^n X_j = -X_1$

সমাধানটি বিভিন্ন উপায়ে সহজেই পাওয়া যায়। সর্বাধিক প্রাথমিক একটি লিখতে হয়

X_{j} = - \frac{X_{1}}{n - 1} + ε_{j}, j = 2, 3, \dots, n

$X_j = -\frac{X_1}{n-1} + \varepsilon_j,\ j=2, 3, \ldots, n$

যার জন্য । উদ্দেশ্য ফাংশনটি প্রসারিত করা এবং এটিকে সহজ করার জন্য এই সমষ্টি থেকে শূন্যের পরিচয় ব্যবহার করে produces $\sum_{j=2}^n \varepsilon_j = 0$

\sum_{j = 2}^{n} X_{j}^{2} = \sum_{j = 2}^{n} {(- \frac{X_{1}}{n - 1} + ε_{j})}^{2} = \sum {(- \frac{X_{1}}{n - 1})}^{2} - 2 \frac{X_{1}}{n - 1} \sum ε_{j} + \sum ε_{j}^{2} = Constant + \sum ε_{j}^{2},

$\sum_{j=2}^n X_j^2 = \sum_{j=2}^n \left(-\frac{X_1}{n-1} + \varepsilon_j\right)^2 = \\\sum \left(-\frac{X_1}{n-1}\right)^2 - 2\frac{X_1}{n-1}\sum \varepsilon_j + \sum \varepsilon_j^2 \\= \text{Constant} + \sum \varepsilon_j^2,$

তাত্ক্ষণিকভাবে অনন্য সমাধানটি দেখানো হচ্ছে সকল । এই সমাধানের জন্য, $\varepsilon_j=0$ $j$

(n - 1) S^{2} = X_{1}^{2} + (n - 1) {(- \frac{X_{1}}{n - 1})}^{2} = (1 + \frac{1}{n - 1}) X_{1}^{2} = \frac{n}{n - 1} X_{1}^{2}

$(n-1)S^2 = X_1^2 + (n-1)\left(-\frac{X_1}{n-1}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)X_1^2 = \frac{n}{n-1}X_1^2$

এবং

| T_{i} | = \frac{| X_{1} |}{S} = \frac{| X_{1} |}{\sqrt{\frac{n}{(n - 1)^{2}} X_{1}^{2}}} = \frac{n - 1}{\sqrt{n}},

$|T_i| = \frac{|X_1|}{S} = \frac{|X_1|}{\sqrt{\frac{n}{(n-1)^2}X_1^2}} = \frac{n-1}{\sqrt{n}},$

Qed ।

যন্ত্রপাতি মাধ্যমে সমাধান

সরলিকৃত প্রোগ্রামে ফিরে আসুন যার মাধ্যমে আমরা শুরু করেছি:

Maximize X_{1}^{2}

$\text{Maximize } X_1^2$

বিষযে

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} = 0 and \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - (n - 1) = 0.

$\sum_{i=1}^n X_i = 0\text{ and }\sum_{i=1}^n X_i^2 -(n-1)=0.$

ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার্সের পদ্ধতি (যা প্রায় নিখুঁত যান্ত্রিক এবং সোজা) এই তিনটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টগুলির একটি ননত্রিক রৈখিক সংমিশ্রণকে শূন্যের সাথে সমান করে:

(0, 0, \dots, 0) = λ_{1} D (X_{1}^{2}) + λ_{2} D (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) + λ_{3} D (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - (n - 1)) .

$(0,0,\ldots, 0) = \lambda_1 D(X_1^2) + \lambda_2 D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right ) + \lambda_3 D\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 -(n-1)\right).$

উপাদান দ্বারা উপাদান, এই সমীকরণ হয় $n$

\begin{aligned} 0 & = 2 λ_{1} X_{1} + & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{1} \\ 0 & = & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{2} \\ 0 & = \dots \\ 0 & = & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{n} . \end{aligned}

$\eqalign{ 0 &= 2\lambda_1 X_1 +& \lambda_2 &+ 2\lambda_3 X_1 \\ 0 &= & \lambda_2 &+ 2\lambda_3 X_2 \\ 0 &= \cdots \\ 0 &= & \lambda _2 &+ 2\lambda_3 X_n. }$

গত এতদুভয় থেকে পরোক্ষভাবে বা । (আমরা পরবর্তী বাতিল করে দিতে পারি কারণ এরপরে প্রথম সমীকরণটি বোঝায় , লিনিয়ার সংমিশ্রণকে তুচ্ছ করে The) সমষ্টি থেকে শূন্যের সীমাবদ্ধতা । বর্গের সীমাবদ্ধতা দুটি সমাধান সরবরাহ করে $n-1$ $X_2 = X_3 = \cdots = X_n = -\lambda_2/(2\lambda_3)$ $\lambda_2=\lambda_3=0$ $\lambda_1=0$ $X_1 = -(n-1)X_2$

X_{1} = \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}}; X_{2} = X_{3} = \dots = X_{n} = \mp \frac{1}{\sqrt{n}} .

$X_1 = \pm\frac{n-1}{\sqrt{n}};\ X_2 = X_3 = \cdots = X_n = \mp\frac{1}{\sqrt{n}}.$

তারা উভয় ফলন

| T_{i} | = | X_{1} | \leq | \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}} | = \frac{n - 1}{\sqrt{n}} .

$|T_i| = |X_1| \le |\pm\frac{n-1}{\sqrt{n}}| = \frac{n-1}{\sqrt{n}}.$

— whuber
সূত্র

আপনার সংযোজনের জন্য ধন্যবাদ, জ্যামিতি খুব শক্তিশালী এবং তিনটি সমাধানই এটি আমার কাছে সবচেয়ে স্বজ্ঞাত।

— JohnK

বর্ণিত বৈষম্য সত্য। এটি স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট যে আমরা বৈষম্যের জন্য সবচেয়ে কঠিন কেসটি পেয়েছি (যেটি প্রদত্ত বাম দিকের দিকটি সর্বাধিক করে তোলা ) একটি মান বাছাই করে, অন্যান্য সকলকে সমান রাখার সময় যত বড় সম্ভব বলুন । আসুন এই জাতীয় কনফিগারেশন সহ একটি উদাহরণটি দেখুন: $S^2$ $x_1$

n = 4, x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0, x_{4} = 4, \bar{x} = 1, S^{2} = 4,

$n=4, \quad x_1=x_2=x_3=0, x_4=4, \bar{x}=1, S^2=4,$ এখন উপর নির্ভর করে , যখন প্রদত্ত উপরের সীমাটি সমান যা ঠিক যথেষ্ট. এই ধারণাটি প্রমাণ হিসাবে শেষ করা যেতে পারে।

\frac{| x_{i} - \bar{x} |}{S} = {\begin{cases} \frac{1}{2} or \\ \frac{3}{2} \end{cases}

$\frac{|x_i-\bar{x}|}{S}=\begin{cases} \frac12 ~\text{or}~ \\ \frac32 \end{cases}$

i

$i$

\frac{4 - 1}{2} = 1.5

$\frac{4-1}{2}=1.5$

সম্পাদনা

উপরের ইঙ্গিত অনুসারে আমরা এখন দাবিটি প্রমাণ করব। প্রথমত, এই সমস্যায় প্রদত্ত কোনও ভেক্টর এর জন্য, আমরা উপরের অসমতার কোনও দিক পরিবর্তন না করেই এটিকে with দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি । সুতরাং, নীচে আমরা ধরে নিই যে । আমরা আবারও রিবেলিং করে ধরে নিতে পারি যে বৃহত্তম। তারপরে, প্রথম এবং তারপরে choosing চয়ন করে আমরা দাবি করা বৈষম্যের মধ্যে সমতা আছে তা সাধারণ বীজগণিত দ্বারা পরীক্ষা করতে পারি। সুতরাং, এটি তীক্ষ্ণ। $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ $x-\bar{x}$ $\bar{x}=0$ $x_1$ $x_1>0$ $x_2=x_3=\dots=x_n=-\frac{x_1}{n-1}$

তারপর, (উত্তল) অঞ্চল সংজ্ঞায়িত দ্বারা একটি প্রদত্ত ইতিবাচক ধ্রুবক জন্য । দ্রষ্টব্য যে উৎপত্তিস্থলকে কেন্দ্র করে একটি গোলক সহ একটি হাইপারপ্লেনের ছেদ, সুতরাং -স্পেসের একটি গোলক । আমাদের সমস্যাটি এখন হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে একটি $R$

R = {x \in R : \bar{x} = 0, \sum (x_{i} - \bar{x})^{2} / (n - 1) \leq S^{2}}

$R = \{ x\in\mathbb{R} \colon \bar{x}=0, \sum(x_i-\bar{x})^2/(n-1) \le S^2\}$

S^{2}

$S^2$

R

$R$

(n - 1)

$(n-1)$

max_{x \in R} max_{i} | x_{i} |

$\max_{x\in R} \max_i |x_i|$

x

$x$ এটি সর্বাধিক করা বৈষম্যের জন্য সবচেয়ে কঠিন ক্ষেত্রে হবে। এটি উত্তল সেটগুলির উপর উত্তল ক্রিয়াকলাপ সর্বাধিক সন্ধান করার একটি সমস্যা, যা সাধারণভাবে কঠিন সমস্যা (সর্বনিম্ন সহজ!)) তবে, এক্ষেত্রে উত্তল অঞ্চলটি মূলকে কেন্দ্র করে একটি গোলক এবং আমরা যে ফাংশনটি সর্বোচ্চ করতে চাই তা স্থানাঙ্কগুলির পরম মান। এটি সুস্পষ্ট যে যে সর্বাধিক সীমানা গোলক পাওয়া যায় ও গ্রহণ করেসর্বাধিক, আমাদের প্রথম পরীক্ষার মামলাটি বাধ্য করা হয়।

R

$R$

| x_{1} |

$|x_1|$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

@ জনকে আপনি এখনই নিজের মন্তব্যগুলি মুছতে পারেন, পোস্টটি সংশোধন করা হয়েছে

— kjetil b halvorsen

যদিও এই উত্তরটি দেখায় যে বৈষম্য (এটি সত্য, ধরে নিলাম যা ধরে নেওয়া হয়) আঁটসাঁট , তবে কীভাবে এই একক গণনাটি "প্রমাণের জন্য সমাপ্ত" হতে পারে তা স্পষ্ট নয়। কীভাবে এটি সম্পন্ন হবে তার কোনও ইঙ্গিত আপনি দিতে পারেন?

— whuber

উইল, তবে কাল, এখন আমাকে কালকের ক্লাস তৈরি করতে হবে।

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সেন

আপনাকে ধন্যবাদ - আমি আপনার সমস্যার যত্নশীল গঠনের প্রশংসা করি। তবে আপনার "প্রমাণ" বিবৃতিতে এসে গেছে বলে মনে হচ্ছে "এটি সুস্পষ্ট is" আপনি কাজটি শেষ করতে সর্বদা লাগরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার প্রয়োগ করতে পারেন, তবে এমন একটি পদ্ধতী দেখে ভাল লাগবে যে (ক) আসলে একটি প্রমাণ এবং (খ) অন্তর্দৃষ্টি দেয়।

— হোবার

@ হুবার আপনার যদি সময় থাকে তবে আমি যদি আপনার ল্যাঞ্জরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার সমাধান পোস্ট করতে পারি তবে আমি এটির প্রশংসা করব। আমি মনে করি সামগ্রিকভাবে বৈষম্য যতটা বিখ্যাত হওয়া উচিত তা নয়।

— JohnK