এই অনুমানের বৈকল্পিকতা কি

Question

আমি একটি ফাংশন f এর অর্থ অনুমান করতে চাই, অর্থাৎ

$$E_{X,Y}[f(X,Y)]$$ যেখানে $X$ এবং $Y$ स्वतंत्र র্যান্ডম ভেরিয়েবল। আমি চ নমুনা আছে কিন্তু IID নয়, কারণ IID নমুনা আছে $Y_1,Y_2,\dots Y_n$ এবং প্রতিটি জন্য আছে থেকে নমুনা :n i$Y_i$$n_i$$X$$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

সুতরাং মোট আমার কাছে নমুনা রয়েছে$f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

গড় অনুমান করার জন্য আমি গণনা করছি একথাও ঠিক যে তাই একটি পক্ষপাতিত্বহীন মূল্নির্ধারক হয়। আমি এখন ভাবছি যে অর্থাত্ হিসাবরক্ষকের বৈকল্পিকতা কী। EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]μVar(μ

$$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$$ $$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$$ $\mu$$Var(\mu)$

সম্পাদনা 2: এটি কি সঠিক বৈকল্পিক? এটি সীমাতে কাজ করে বলে মনে হচ্ছে, যদি n = 1 এবং সমস্ত কেবলমাত্র বৈকল্পিক হয়ে যায়। এবং যদি সূত্রটি অনুমানকারীদের বৈকল্পিকের জন্য আদর্শ সূত্র হয়ে যায়। এটা কি সঠিক? আমি কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে এটি?

$$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$$ $n_i=\infty$$n_i=1$

সম্পাদনা করুন (এটিকে উপেক্ষা করুন):

সুতরাং আমি মনে করি আমি কিছু অগ্রগতি করেছি: আসুন প্রথমে def i = ∑ n i j = 1 f ( X i , j , Y i ) সংজ্ঞায়িত করা যাক যাইএক্সএর একটি নিরপেক্ষ অনুমানক[চ(এক্স,ওয়াইi)]।$\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$$E_X[f(X,Y_i)]$

পরিবর্তনের জন্য আদর্শ সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:

এই সরলীকৃত করা যেতে পারে 1 / এন 2 ( এন Σ আমি = 1 ভী একটি দ ( μ l ) + 1 / n 2 n ∑ l =

$$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$$ এবংএক্সiজএর গুলি স্বাধীনভাবে আঁকায় আমরা এটিকে আরও1/এন2-তে আরও সহজ করতে পারি ( এন ∑ i = 1 1/এনআই)ভিএআর(চ(এক্সআই,জে,ওয়াইআই))+ $$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$$ $X_{ij}$ এবং সমবায়ীদের জন্য: সি ও ভি ( μ l , μ কে $$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$$ সুতরাং এটিকে পিছনে ফেলে আমরা1/n2পাই ( এন ∑ i = 1 1/niভিএআর(ফ(এক্স,এক্স,Yi))+1/n2 n ∑ l = 1 $$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$$ আমার এখন একাধিক প্রশ্ন রয়েছে: $$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$$

1. উপরের হিসাবটি কি সঠিক?

2. আমি কিভাবে অনুমান করতে পারেন প্রদত্ত নমুনা থেকে?$Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

3. আমি যদি অনন্তে যেতে দেই তবে কি ভেরিয়েন্সটি 0 তে রূপান্তরিত হয়?

Answer 1

$\ell$$k$$k=\ell$$X_{12}, Y_1$$X_{22}, Y_2$$X$$Y$

$k=\ell$$Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$$Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

Q3: হ্যাঁ: এই সংশোধনগুলির পরে, আপনার খুব শেষ সমষ্টিতে কেবলমাত্র রৈখিক সংখ্যক পদ থাকবে, তাই ডিনোমিনেটরের চতুর্ভুজ পদটি জিতবে।

Comments

"আমি যদি অনন্তকে যেতে দিই তবে তারতম্যটি 0 তে রূপান্তরিত হয় কি?" হ্যাঁ".

— এরিক_কর্নফিল্ড