একটি দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য এবং প্রতিসম বিতরণ বিবেচনা করুন $\mathcal{F}_X$ । এখন একটি দ্বিতীয় দ্বিগুণ স্বতন্ত্র বিতরণ বিবেচনা করুন $\mathcal{F}_Z$ দৃth়তা অর্থে skew যে:

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

কোথায় $\preceq_c$ ভ্যান Zwet [0] এর উত্তল ক্রম হয় যাতে $(1)$ সমান:

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

এখন তৃতীয়বার দ্বিগুণ স্বতন্ত্র বিতরণ বিবেচনা করুন $\mathcal{F}_Y$ পরিতৃপ্ত:

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

আমার প্রশ্ন: আমরা কি সর্বদা একটি বিতরণ পেতে পারি? $\mathcal{F}_Y$ এবং একটি প্রতিসম বিতরণ $\mathcal{F}_X$ যে কোনও লিখতে $\mathcal{F}_Z$ (উপরে বর্ণিত সমস্ত তিনটি) এর সংশ্লেষের ক্ষেত্রে $\mathcal{F}_X$ এবং $\mathcal{F}_Y$ যেমন:

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

অথবা না?

সম্পাদনা:

উদাহরণস্বরূপ, যদি $\mathcal{F}_X$ আকারের প্যারামিটার 3.602349 (যাতে এটি প্রতিসম হয়) এর সাথে ওয়েবেল এবং $\mathcal{F}_Z$ আকারের প্যারামিটার 3/2 সহ ওয়েবুল বিতরণ (যাতে এটি সঠিকভাবে স্কুড হয়), আমি পেয়েছি

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

সেট করে $\mathcal{F}_Y$ আকারের প্যারামিটার 2.324553 এর সাথে ওয়েইবুল বিতরণ হিসাবে। মনে রাখবেন যে তিনটি বিতরণই সন্তুষ্ট:

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ প্রয়োজনীয়. আমি অবাক হই যদি এটি সাধারণভাবে হয় (বর্ণিত শর্তাধীন)।

[0] ভ্যান জায়েট, ডাব্লুআর (1979)। গড়, মধ্যমা, দ্বিতীয় মোড (1979)। স্ট্যাটিস্টিকা নীড়ল্যান্ডিকা। খণ্ড 33, সংখ্যা 1, পৃষ্ঠা 1--5।

distributions skewness

— user603
সূত্র

না!

একটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ টুকি সরবরাহ করেছেন $g$ বিতরণ (জন্য বিশেষ ক্ষেত্রে $h=0$ টুকি $g$ এবং $h$ বন্টন)।

উদাহরণস্বরূপ, যাক $\mathcal{F}_X$ টুকি হও $g$ পরামিতি সহ $g_X=0$ এবং $\mathcal{F}_Z$ টুকি হও $g$ পরামিতি সহ $g_Z>0$ এবং $\mathcal{F}_Y$ একটি টুকি $g$ বিতরণ যার জন্য $g_Y\leq g_Z$ । থেকে $h=0$ , এই তিনটি বিতরণ সন্তুষ্ট:

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(প্রথমটি টিউকের সংজ্ঞা থেকে আসে $g$ যা প্রতিসম হয় $g=0$ , [0] এর পরেরগুলি, উপপাদ্য 2.1 (i))।

উদাহরণস্বরূপ, জন্য $g_Z=0.5$ , আমাদের এটি আছে:

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(কোনও কারণে, সর্বনিম্ন সর্বদা কাছাকাছি বলে মনে হচ্ছে $g_Y\approx g_Z/2$ )।

[0] এইচএল ম্যাকগিলিভ্রে শে শেফ-ও-হ এবং জনসন পরিবারের বৈশিষ্ট্য properties Comm। পরিসংখ্যানবিদ — — তত্ত্বের পদ্ধতি, 21 (5) (1992), পৃষ্ঠা 1233–1250

সম্পাদনা:

ওয়েইবুলের ক্ষেত্রে, দাবিটি সত্য:

দিন $\mathcal{F}_Z$ আকারের প্যারামিটার সহ ওয়েলবুল বিতরণ হোন $w_Z$ (স্কেল প্যারামিটার উত্তল ক্রমকে প্রভাবিত করে না তাই আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই এটি 1 এ সেট করতে পারি)। অনুরূপভাবে $\mathcal{F}_Y$ , $\mathcal{F}_X$ এবং $w_Y$ এবং $w_X$ ।

প্রথম নোট করুন যে কোনও তিনটি ওয়েইবুল বিতরণ সর্বদা [0] অর্থে অর্ডার করা যেতে পারে।

পরবর্তী, নোট করুন:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

এখন, ওয়েইবুলের জন্য:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

যাতে

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

থেকে

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

অতএব, দাবিটি সর্বদা সেট করে সন্তুষ্ট হতে পারে $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$ ।

[0] ভ্যান জায়েট, ডাব্লুআর (1979)। গড়, মধ্যমা, দ্বিতীয় মোড (1979)। স্ট্যাটিস্টিকা নীড়ল্যান্ডিকা। খণ্ড 33, সংখ্যা 1, পৃষ্ঠা 1--5।
[1] গ্রোনেভেল্ড, আরএ (1985)। ওয়েবুল পরিবারের জন্য অসুবিধা। স্ট্যাটিস্টিকা নীড়ল্যান্ডিকা। খণ্ড 40, সংখ্যা 3, পৃষ্ঠা 135-140।

— user603
সূত্র