জিএলএম-তে ক্যানোনিকাল লিঙ্ক ফাংশনের গণনা

আমি ভেবেছিলাম যে ক্যানোনিকাল লিঙ্ক ফাংশন পরিবারের প্রাকৃতিক প্যারামিটার থেকে। বলুন, পরিবার তারপরে হ'ল ক্যানোনিকাল লিঙ্ক ফাংশন। বার্নৌলি বিতরণকে উদাহরণ হিসাবে ধরুন , আমাদের কাছে সুতরাং, ক্যানোনিকাল লিঙ্ক ফাংশন $g(\cdot)$

চ (Y, θ, ψ) = মেপুঃ {\frac{Y θ - খ (θ)}{একটি (ψ)} - গ (Y, ψ)}

$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$

θ = θ (μ)

$\theta=\theta(\mu)$

পি (ওয়াই = Y) = μ^{Y} (1 - μ)^{1 - Y} = মেপুঃ {Y লগ \frac{μ}{1 - μ} + + লগ (1 - μ)}

$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$

ছ (μ) = লগ \frac{μ}{1 - μ}

$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$

তবে আমি যখন এই স্লাইডটি দেখি , তখন দাবি করে যে যদিও এই নির্দিষ্ট বিতরণের জন্য (এবং পোয়েসন বিতরণের মতো কিছু অন্যান্য বিতরণ) সহজেই যাচাই করা যেতে পারে, আমি সাধারণ ক্ষেত্রে সমতা দেখতে পাচ্ছি না। কেউ কি ইঙ্গিত দিতে পারে? ধন্যবাদ Thank

ছ^{'} (μ) = \frac{1}{ভী (μ)}

$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$

generalized-linear-model link-function

— ziyuang
সূত্র

বার্নোল্লি ভেরিয়েবলের জন্য ভেরিয়েন্স ফাংশনটি হ'ল । আমরা সহজেই ক্যানোনিকাল লিঙ্কটি পরে $V(\mu) = \mu(1-\mu)$ $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

ছ^{'} (μ) = \frac{1}{μ} + + \frac{1}{1 - μ} = \frac{1 - μ + + μ}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{ভী (μ)} ।

$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$

সাধারণ ক্ষেত্রে একটি সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত হয় যে ম্যাককুল্লাগ এবং নেল্ডারের উদাহরণস্বরূপ পৃষ্ঠা 28-29 দেখুন । সঙ্গে ক্যানোনিকাল লিঙ্কটি আমরা আছে এবং ভ্যারিয়েন্স ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , যা পরিপ্রেক্ষিতে হয়ে পরিচয়ের আমরা পাই

ই (ওয়াই) = μ = খ^{'} (θ) এবং var (ওয়াই) = খ^{"} (θ) একটি (ψ),

$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$

g

$g$

θ = g (μ) = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$

b^{″} (θ)

$b''(\theta)$

μ

$\mu$

ভী (μ) = খ^{"} (ছ (μ)) ।

$V(\mu) = b''(g(\mu)).$

θ = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(b'(\theta))$

1 = ছ^{'} (খ^{'} (θ)) খ^{"} (θ) = ছ^{'} (μ) ভী (μ),

$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$

নির্মাণে আপাতদৃষ্টিতে সম্ভাবনা ফাংশন এটা গড় এবং ভ্যারিয়েন্স, ভ্যারিয়েন্স ফাংশন পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত মধ্যে সম্পর্ক দিয়ে শুরু স্বাভাবিক । এই প্রসঙ্গে the anti এর অ্যান্টি-ডেরাইভেটিভকে লিঙ্ক ফাংশনটির সাধারণীকরণ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পৃষ্ঠা 325 (সূত্র 9.3) -তে (লগ) অর্ধ-সম্ভাবনার সংজ্ঞাটি দেখুন ) ম্যাককুল্লাগ এবং নেল্ডারে । $V$ $V(\mu)^{-1}$

— NRH
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ @ এনআরএইচ। আসলে আমি বার্নোল্লি বিতরণের সমতুল্যতা জানি। আমি সাধারণ কেস অবাক করছি। এবং আপনার রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ, আমি এটি যাচাই করব :)

— ziyuang

@ জিজিয়্যাং, সাধারণ মামলাটি এখন অন্তর্ভুক্ত।

— NRH

@ এনআরএইচ - কেবল এই উত্তরে যোগ করতে, উভয় পক্ষের (বা সমানভাবে সমীকরণ সমীকরণের পার্থক্য করে গড় এবং বৈকল্পিক সূত্রগুলি পাওয়া যায় )। প্রথম ডেরাইভেটিভ আপনাকে গড় বোঝায়, দ্বিতীয়টি আপনাকে বৈচিত্র দেয়।

\int f (y, θ, ψ) d y = 1

$\int f(y,\theta,\psi)dy=1$

θ

$\theta$

μ

$\mu$

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

ধন্যবাদ. এবং আমি অন্য একটি রেফারেন্স লিঙ্কটি পেয়েছি: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…

— জিয়ুয়াং