একটি বেয়েস ফ্যাক্টর আপডেট করা

Question

একটি বাইস ফ্যাক্টরটি হাইপোথিসিসের বায়েসীয় মডেল নির্বাচনের বায়েসীয় পরীক্ষায় সংখ্যার প্রান্তিক সম্ভাবনার অনুপাত দ্বারা সংজ্ঞায়িত: আইডির নমুনা এবং সম্পর্কিত নমুনা ঘনত্ব এবং সংশ্লিষ্ট গতকাল দেশের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা সঙ্গে এবং , দুই মডেলের তুলনা জন্য বায়েসের ফ্যাক্টর আমি বর্তমানে যে বইটি পর্যালোচনা করছি তার বিস্ময়কর বক্তব্য রয়েছে যে উপরের বাইস ফ্যাক্টর$(x_1,\ldots,x_n)$$f_1(x|\theta)$$f_2(x|\eta)$$\pi_1$$\pi_2$

$$\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)\stackrel{\text{def}}{=}\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{\int \prod_{i=1}^n f_1(x_i|\theta)\pi_1(\text{d}\theta)}{\int \prod_{i=1}^n f_2(x_i|\eta)\pi_2(\text{d}\eta)}$$ $\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$ "স্বতন্ত্র ব্যক্তিদের [বেইস ফ্যাক্টর] একসাথে গুণ করে" গঠিত হয় "(p.118)। যদি কেউ পচন ব্যবহার করে তবে এটি আনুষ্ঠানিকভাবে সঠিক তবে আমি dec frac {m_1 দ্বারা আপডেট হিসাবে এই পচনতে গণ্য সুবিধা দেখতে পাচ্ছি না see (x_n | x_1, \ ldots, x_ {n-1})} {m_2 (x_n | x_1, \ ldots, x_ {n-1})} এর জন্য \ frac {m_1 (x_1) এর মূল গননা হিসাবে একই গণনা প্রচেষ্টা দরকার , \ ldots, x_n)} {m_2 (x_1, \ ldots, x_n)} $$\begin{align*}\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}\\&=\frac{m_1(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}{m_2(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}\times \frac{m_1(x_{n-1}|x_{n-2},\ldots,x_1)}{m_2(x_{n-1}|x_{n-2},\ldots,x_1)}\times\cdots\\&\qquad\cdots\times\frac{m_1(x_1)}{m_2(x_1)}\end{align*}$$ $$\frac{m_1(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}{m_2(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}$$ $$\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}$$ কৃত্রিম খেলনা উদাহরণ বাইরে।

প্রশ্ন: বায়েস ফ্যাক্টরকে $\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$ থেকে $\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_{n+1})$) আপডেট করার কোনও সাধারণ এবং গণনামূলকভাবে কার্যকর উপায় আছে কি? {n + 1}) এর জন্য পুরো প্রান্তিকের $m_1(x_1,\ldots,x_n)$ এবং $m_2(x_1,\ldots,x_n)$পুনর্নির্মাণের প্রয়োজন হয় না ?

আমার অন্তর্নিহিততা হ'ল, কণার ফিল্টারগুলি ছাড়াও, যা বেইস ফ্যাক্টরগুলি $\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$ একবারে একটি নতুন পর্যবেক্ষণ অনুমান করার পরেও, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার কোনও প্রাকৃতিক উপায় নেই ।

Comments

আমার কাছে এটি স্পষ্ট বলে মনে হয় না যে শব্দগুলি আবশ্যকীয়ভাবে অনুক্রমিক উপাদানকে বোঝায় , কারণ পর্যবেক্ষণগুলি iid হয়। গ্রেড স্কুল চলাকালীন, একজন অধ্যাপক উল্লেখ করেছিলেন যে পণ্যটি বোঝায় যে কেউ বায়সিয়ান বিশ্লেষণের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক অনুমান ব্যবহার করতে পারে তবে আশ্চর্যের বিষয় এটির (বিদ্রূপ) ধরা পড়েনি। সম্ভবত বইটি ইঙ্গিত করা যেতে পারে?

— ক্লিফ এবি

ক্লিফ্যাব: হ্যাঁ, আপনি প্রকৃত বন্টন থেকে কুলব্যাক-লেবেলারের দূরত্বে রূপান্তর করে পৃথক শর্তগুলির গড় হিসাবে সম্ভাবনাটি আবার লিখতে পারেন। তবে বইটি সমস্ত অপশন খোলা রাখার পক্ষে পর্যাপ্ত অস্পষ্ট হওয়া সত্ত্বেও আমি এটি মনে করি না।

— শি'য়ান

আমি বিশ্বাস করি যে দ্বিতীয় প্রদর্শিত সমীকরণে একটি টাইপো রয়েছে: এটি দ্বিতীয় দ্বিতীয় হওয়া উচিত? $m_1(x_{n-1}|x_{n-1}, \ldots, x_1)$

— জোচেন

Answer 1

সম্ভবত আপনি বয়েস ফ্যাক্টরের জন্য পুনরাবৃত্তির সমীকরণের উদ্দেশ্যটি হ'ল যখন আপনি ইতিমধ্যে ডাটা পয়েন্টগুলির জন্য বয়েস ফ্যাক্টরটি গণনা করেছেন এবং আপনি একটি অতিরিক্ত ডেটা পয়েন্ট দিয়ে এটি আপডেট করতে সক্ষম হতে চান। দেখে মনে হচ্ছে যে পূর্ববর্তী ডেটা ভেক্টরের প্রান্তিকের পুনঃনির্মাণ না করে এটি করা সম্ভব, যতক্ষণ না পোস্টেরিয়র ফাংশন জানা যায়। ধরে নিই আমরা এই ফাংশনটির ফর্মটি জানি (এবং আপনার প্রশ্নের হিসাবে আইআইডি ডেটা ধরে নিচ্ছি), ভবিষ্যদ্বাণীমূলক ঘনত্বটি এইভাবে লেখা যেতে পারে:$n$$\pi_n$

$$\begin{equation} \begin{aligned} m(x_{n+1} | x_1,...,x_n) &= \int \limits_\Theta f(x_{n+1}|\theta) \pi_n(d \theta | x_1,...,x_n). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

অতএব, আপনার কাছে রয়েছে:

$$\begin{equation} \begin{aligned} m(x_1,...,x_{n+1}) &= m(x_1,...,x_n) \int \limits_\Theta f(x_{n+1}|\theta) \pi_n(d \theta | x_1,...,x_n). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

বয়েস ফ্যাক্টরের মাধ্যমে দুটি মডেল শ্রেণীর তুলনা করা, আমরা তারপরে পুনরাবৃত্ত সমীকরণটি পাই:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathfrak{B}_{12}(x_1,...,x_{n+1}) &= \mathfrak{B}_{12}(x_1,...,x_{n}) \cdot \frac{\int _{\Theta_1} f(x_{n+1}|\theta) \pi_{1,n}(d \theta | x_1,...,x_n)}{\int _{\Theta_2} f(x_{n+1}|\theta) \pi_{2,n}(d \theta | x_1,...,x_n)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

এটি এখনও প্যারামিটার সীমার মধ্যে একীকরণ জড়িত, তাই আমি আপনার দৃষ্টিভঙ্গির সাথে একমত যে আপনি প্রদত্ত প্রাথমিক সূত্রের মাধ্যমে কেবল বেইস ফ্যাক্টরটি পুনর্নির্মাণের চেয়ে কোনও গণনামূলক সুবিধা বলে মনে হচ্ছে না। তবুও, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এর জন্য আপনাকে পূর্ববর্তী ডেটা ভেক্টরের জন্য প্রান্তিকগুলি পুনরুদ্ধার করতে হবে না। (পরিবর্তে আমরা প্রতিটি মডেল শ্রেণীর অধীনে, পূর্ববর্তী ডেটাগুলিতে শর্তাধীন নতুন ডেটা পয়েন্টের ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ ঘনত্বগুলি গণনা করি।) আপনার মত, আমি সত্যিই এর কোনও গণ্য সুবিধা দেখতে পাচ্ছি না, যদি না ঘটে যে এই অবিচ্ছেদ্য সূত্রটি সহজেই সরল করে না। যাই হোক না কেন, আমি মনে করি এটি আপনাকে বেয়েস ফ্যাক্টর আপডেট করার জন্য অন্য একটি সূত্র দেয়।

Comments

ধন্যবাদ. এটি সত্য যে প্রান্তিকদের পুনরায় গণনা করার দরকার নেই, স্ট্রাইকটো সেনসু , তবে গণনার পরিমাণ একই বলে মনে হয়, যেমন আপনি মন্তব্য করেছেন।

— সিয়ান

কেবলমাত্র আমি যে সুবিধাটি ভাবতে পারি তা হ'ল যেহেতু আমরা এখন কেবলমাত্র একটি ঘনত্বের ( ঘনত্বের পণ্যটির চেয়ে ) একীভূত করছি , তাই সংহতটি কম অস্থির হবে এবং সুতরাং এই পরবর্তী সূত্রটি নদীর তলদেশের প্রবাহের সমস্যাগুলি এড়াতে আরও সহজ করে তুলতে পারে গণনার। যদিও এটি অনেক বড়। $n$

— বেন - মনিকা