প্রতিপত্তি জাদুকর প্যারাডক্স

Question

দ্য প্রেস্টিজ মুভিটির কৌশলটি আপনি সম্ভবত জানেন :

[মুভি স্পোলার] একজন যাদুকর একটি চিত্তাকর্ষক যাদু কৌশল পেয়েছেন: তিনি একটি মেশিনে যান, দরজাটি বন্ধ করেন এবং তারপরে অদৃশ্য হয়ে আবার ঘরের অন্যদিকে উপস্থিত হন। তবে মেশিনটি নিখুঁত নয়: কেবল তাকে টেলিপোর্ট করার পরিবর্তে এটি তাকে নকল করে। যাদুকর তিনি যেখানে আছেন সেখানেই রয়েছেন এবং ঘরের অপর পাশে একটি অনুলিপি তৈরি করা হয়েছে। তারপরে, মেশিনের যাদুকর বিচক্ষণতার সাথে মেঝের নীচে একটি জলের ট্যাঙ্কে পড়ে ডুবে গেল। সম্পাদনা করুন: যাদুকরের নতুন কপিটি ডুবে যাওয়ার সম্ভাবনাটি 1/2 (অন্য কথায়, নতুন অনুলিপিতে ডুবে যাওয়ার 1/2 সম্ভাবনা রয়েছে, এবং রুমে পপিংয়ের 1/2 সম্ভাবনা রয়েছে)। এছাড়াও, জলের ট্যাঙ্কটি কখনই ব্যর্থ হয় না এবং ট্যাঙ্কে ফেলে আসা যাদুকর মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 1।

সুতরাং যাদুকর আসলে এই কৌশলটি পছন্দ করেন না, কারণ "আপনি কখনই জানেন না আপনি কোথায় থাকবেন, ঘরের অন্যদিকে বা ডুবে গেছে"।

এখন, প্যারাডক্সটি নিম্নরূপ: যাদুকর 100 বার কৌশলটি কল্পনা করুন। তার বেঁচে থাকার সম্ভাবনা কী?

সম্পাদনা করুন, অতিরিক্ত প্রশ্ন: যাদুকর তার শারীরিক মস্তিষ্ক রাখার এবং একটি নতুন না রাখার সম্ভাবনা কী?

---

দ্রুত বিশ্লেষণ: একদিকে, একজন জীবিত আছেন যিনি জীবিত রয়েছেন, এবং 100 ডুবে যাওয়া যাদুকর রয়েছেন, সুতরাং তার সম্ভাবনা 100 এর মধ্যে 1 জন।

অন্যদিকে, প্রতিবার সে কৌশলটি চালায়, তার বেঁচে থাকার 1/2 সম্ভাবনা থাকে, তাই তার সম্ভাবনাগুলি alive বেঁচে থাকার।$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

সঠিক প্রতিক্রিয়া কী এবং কেন?

Comments

আমি জি.জেয়ের সাথে রাগ করি যে এই জটিল প্রশ্নটি হ'ল "যাদুকর" আসলে কে। আমি মনে করি এটি দার্শনিক প্রশ্নের চেয়ে কম পরিসংখ্যানগত);)।

— স্টেফেন

@ স্টেফেন একটি স্বীকৃত কল্পিত প্রশ্ন থেকে কিছু কার্যকর করার স্বার্থে, কল্পনা করুন যে প্রতিবার ক্লোনটি তার কপালে স্থায়ীভাবে একটি "এইচ" লাগিয়ে রাখবে। আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি, তাহলে, সম্ভাবনাগুলি কী যে 100 বার এই কৌশলটি করার পরেও যাদুকর একটি "এইচ" বহন করে না? এই ক্ষেত্রে, তার 100 টি অনুলিপি তৈরি করা হয়েছে এবং প্রতিটি অনুলিপি মারা গেছে। একজন এখনও বেঁচে আছে।

— হোবার

@ হুবার: বর্ণিত প্রশ্ন অনুসারে প্রশ্নটি জানিয়েছে যে ক্লোনটিই বেঁচে থাকতে পারে, যখন মেশিনে প্রবেশ করা (প্রথম পুনরাবৃত্তির আসল) সময়টি 100% মারা যাবে। এই আইনটি প্রথমবার সম্পাদনের পরে, মূলটি মারা যায়। আমি এই প্যারাডক্সের কথা আগে শুনিনি, তাই সম্ভবত প্রশ্নটি মিস করেছে?

— ইজকাটা

আপনার উপরে একটি স্পয়লার সতর্কতা যুক্ত করা উচিত।

— ফ্রাঙ্ক মুলিউনার

এখানে একটি আকর্ষণীয় পার্শ্ব প্রশ্ন: 100 পারফরম্যান্সের পরে, যাদুকরের 100 বার বেঁচে থাকার এবং কোনও দিন মারা না যাওয়ার স্মৃতি থাকবে। বায়েশিয়ান হিসাবে, তার পরের বার বেঁচে থাকার সম্ভাবনা কীভাবে মূল্যায়ন করা উচিত? :-)। (আমি স্লিপিং বিউটি প্যারাডক্সে একটি আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি ।) আমি আজ এবং এই আর্থিক ও ব্যবসায়িক উইজার্ডদের যারা গ্রাউন্ডে ব্যাংক ও সংস্থাগুলি পরিচালনা করতে ব্যস্ত, তাদের মধ্যে এই যুক্তি দিয়ে যে - তারা যাদুকরের মতই এই দ্বিধা প্রকাশ করতে পারে। - নিছক ভাগ্যবান বেঁচে যাওয়া। তবে আমি তা করব না।

— whuber

Answer 1

এই ভুলটি প্রমাণ হিসাবে ফর্মাত, পাস্কাল এবং বিশিষ্ট ফরাসি গণিতবিদদের মধ্যে 1654 সালে লিখিত কথোপকথনে প্রমাণিত হয়েছিল যখন প্রাক্তন দু'জন "বিষয়গুলির সমস্যা" বিবেচনা করছিলেন । একটি সাধারণ উদাহরণ হ'ল:

দুটি লোক ফর্সা মুদ্রার দুটি ফ্লিপের ফলাফলটিতে জুয়া খেলেন। প্লেয়ার একটি জিত হয় যদি উভয়ই ফ্লিপ প্রধান হয়; অন্যথায়, প্লেয়ার বি জিতেছে। প্লেয়ার বি এর জয়ের সম্ভাবনা কী?

সম্ভাব্য ফলাফলগুলির সেটটি পরীক্ষা করেই মিথ্যা যুক্তি শুরু হয়, যা আমরা গণনা করতে পারি:

1. এইচ : প্রথম ফ্লিপটি হ'ল মাথা। প্লেয়ার এ জিতেছে।
2. TH : কেবলমাত্র দ্বিতীয় ফ্লিপটি হ'ল মাথা। প্লেয়ার এ জিতেছে।
3. টিটি : কোনও ফ্লিপই মাথা নয়। প্লেয়ার বি জিতেছে।

খেলোয়াড়ের জয়ের দুটি সম্ভাবনা রয়েছে এবং বিয়ের একটি মাত্র সুযোগ রয়েছে বলে বি এর পক্ষে মতভেদগুলি (এই যুক্তি অনুসারে) 1: 2; অর্থাৎ বি এর সম্ভাবনা ১/৩। এই যুক্তি রক্ষাকারীদের মধ্যে ছিলেন ফরাসী একাডেমি অফ সায়েন্সের প্রতিষ্ঠাতা সদস্য গিলস পার্সোন ডি ডি রোভেরাল ।

ভুলটি আজ আমাদের কাছে সহজ, কারণ আমরা এই আলোচনা থেকে শিখেছি এমন লোকদের দ্বারা আমরা শিক্ষিত হয়েছি। ফার্মাট যুক্তি দিয়েছিল (সঠিকভাবে, তবে খুব দৃinc়প্রত্যয়ী নয়) সেই কেস (১) কে সত্যই দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করতে হবে, যেন গেমটি উভয় ফ্লিপের মধ্য দিয়েই খেলেছে তা যাই হোক না কেন। ফ্লিপগুলির অনুমানমূলক ক্রমটি চালানো যা বাস্তবে না ছড়িয়ে যায় বহু লোককে অশান্ত করে তোলে। আজকাল আমরা স্বতন্ত্র কেসগুলির সম্ভাব্যতাগুলি কেবলমাত্র কাজ করার জন্য এটি আরও দৃinc় বিশ্বাসী হতে পারি: (1) সম্ভাবনাটি 1/2 এবং (2) এবং (3) এর সম্ভাবনাগুলি প্রতিটি 1/4, যেখানে এ সম্ভাবনা রয়েছে জয়গুলির সমান 1/2 + 1/4 = 3/4 এবং বি জয়ের সুযোগটি 1/4। এই গণনাগুলি সম্ভাবনার অক্ষরেখার উপর নির্ভর করে, যা শেষ পর্যন্ত বিশ শতকের গোড়ার দিকে মীমাংসিত হয়েছিল, তবে পাস্কাল এবং ফার্মাটের দ্বারা 1654 এর পতনের মধ্য দিয়ে মূলত প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল এবং তিন বছর পরে খ্রিস্টান হুইগেনস তার সম্ভাব্যতার সংক্ষিপ্ত গ্রন্থে প্রথম ইউরোপে জনপ্রিয় করেছিলেন (প্রথম সর্বদা প্রকাশিত), লুডো আলি তে অনুপাত ( সুযোগের গেমগুলিতে গণনা করা)।

বর্তমান প্রশ্নটি 100 টি মুদ্রা ফ্লিপ হিসাবে মডেল করা যেতে পারে, মাথাগুলি মৃত্যুর প্রতিনিধিত্ব করে এবং লেজগুলি বেঁচে থাকার প্রতিনিধিত্ব করে। "100 ইন 1" এর যুক্তি (যা সত্যই 1/101 হওয়া উচিত, যাই হোক না কেন) ঠিক একই ত্রুটি রয়েছে।

Comments

@ যেহেতু তাদের সত্যিই +7 বোতাম থাকা উচিত।

Answer 2

একদিকে, জীবিত একজন যাদুকর এবং 100 ডুবে যাওয়া যাদুকর রয়েছেন, সুতরাং তার সম্ভাবনা 100 এর মধ্যে 1 জন।

এই যুক্তিটি স্পষ্টতই ধরে নিয়েছে যে প্রক্রিয়া শেষে প্রতিটি যাদুকর সমানভাবে বেঁচে থাকবেন। তবে কেবলমাত্র মূলটিকে সমস্ত 100 টি পরীক্ষা সহ্য করতে হবে এবং তার মধ্যে সবচেয়ে খারাপ প্রতিক্রিয়া রয়েছে। তৈরি হওয়া শেষ ক্লোনটির সাথে আসলটি তুলনা করুন; তার কেবল একবার বেঁচে থাকা প্রয়োজন এবং একা বেঁচে থাকার সম্ভাবনা তার 1 টিতে 1 টিতে রয়েছে।

ভান করুন যে ক্লোনগুলির পরিবর্তে আমরা একটি একক-এলিমিনেশন টুর্নামেন্ট (প্রতি মার্চ বিখ্যাত এনসিএএ বাস্কেটবল টুর্নামেন্টের মতো) নিয়ে কাজ করছি। আসলটি 100 টি রাউন্ডে থাকতে হয় যেখানে শেষ ক্লোনটি কেবল ট্যুরের ফাইনালে খেলতে হয়। সমস্ত ক্লোনগুলি শেষ অবধি সমান স্থায়ী হওয়ার সম্ভাবনা নেই এবং আসলটির সবচেয়ে খারাপ সম্ভাবনা রয়েছে$\frac{1}{2^{100}}$।

Answer 3

তিনি বেঁচে থাকার সম্ভাবনা প্রতিটি পরীক্ষায় 1 এবং সম্ভাবনা 1 হ'ল তিনি প্রতিটি পরীক্ষায় মারা যান (পানির ট্যাঙ্ক ব্যর্থতা সত্ত্বেও)। সদৃশ হওয়ার পরে আর কোনও "তাকে" নেই; "হেস" আছে

Comments

বিটিডাব্লু: নকলটি যদি অপূর্ণ থাকে $P(\mathrm{dies}) = 1$ প্রতিটি পরীক্ষায় (একটি বিশ্বাসযোগ্য ট্যাঙ্ক দেওয়া) এবং and $P(\mathrm{imperfect\ clone\ survives}) = 1$প্রতিটি পরীক্ষায় (ত্রি-খুশি শ্রোতাদের সদস্য সত্ত্বেও)

বিবিটিডাব্লু: যদি মেশিনটি অপূর্ণভাবে ডুপ্লিকেট করে এবং এলোমেলোভাবে টেলিপোর্ট করার জন্য একজনকে বেছে নিয়ে থাকে ( অন্যটিকে ডুবিয়ে রেখে) তবে এলোমেলো নির্বাচন সম্পর্কে আপনার আরও তথ্য / অনুমানের প্রয়োজন হবে।

@ জায়ে: টেলিপোর্টিং সম্পর্কে আমার প্রশ্ন সম্পাদনা করা হয়েছে

— বেনজমিন ক্রাউজিয়ার

ধন্যবাদ। আপনি টেলিপোর্টেশনকে সম্বোধন করেছিলেন তবে সদৃশ নিখুঁত কিনা তা আপনি খাঁটি করেননি। যদি সদৃশটি নিখুঁত হয় তবে আমার উত্তরটি একই থাকবে (@ স্টিফেনের মন্তব্য দেখুন)। যদি সদৃশটি অসম্পূর্ণ হয় (যা মনে হচ্ছে আপনি যা খুঁজছেন) তবে উত্তরটি হবে$1/2^{100}$whuber এর উত্তরের শেষ অনুচ্ছেদ অনুযায়ী, এবং অন্য উত্তরটি whuber এবং মাইকেল বিস্তারিত কারণে ভুল।

@ ডাউনভোটার - ধারণাটি হ'ল কেন আপনি নিম্নচোট করলেন যাতে উত্তরগুলি সময়ের সাথে উন্নতি হয়।