অসংরক্ষিত তবে লিনিয়ার নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলির সেট করুন

9

আনু সম্পর্কযুক্ত কিন্তু লিনিয়ার নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলির একটি সেট থাকা কি সম্ভব ? $K$

যেমন এবং $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

যদি হ্যাঁ আপনি একটি উদাহরণ লিখতে পারেন?

সম্পাদনা: উত্তরগুলি থেকে এটি অনুসরণ করা যায় যে এটি সম্ভব নয়।

এটি কি কমপক্ষে সম্ভব হবে যে যেখানে পারস্পরিক সংখ্যার গুণফল ভেরিয়েবল এবং নমুনা একটি পরিবর্তনশীল যে সঙ্গে সম্পর্কহীন হয় । $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

আমি মতো কিছু ভাবছি $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
সূত্র

11

@ RUser4512 এর উত্তরটি দেখায়, নিরবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হতে পারে না। কিন্তু, প্রায় সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল করতে সুসংগত নির্ভরশীল হতে, এবং এই একটি উদাহরণ কিছু দুর্মূল্য পরিসংখ্যানবিদ হৃদয় হয়।

মনে করুন যে , অরক্ষিত ইউনিট-ভেরিয়েন্স র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি সাধারণ গড় mean । যেখানে সংজ্ঞায়িত করুন । তারপরে, শূন্য-গড় র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি যেমন , অর্থাৎ তারা লিনিয়ার নির্ভরশীল। এখন, যাতে যখন দেখায় যে $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

{ওয়াই}_{আমি} = \frac{কে - 1}{কে} {এক্স}_{আমি} - \frac{1}{কে} \underset{ঞ \neq আমি}{Σ} {এক্স}_{ঞ}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

Var ({ওয়াই}_{আমি}) = {(\frac{কে - 1}{কে})}^{2} + + \frac{কে - 1}{{কে}^{2}} = \frac{কে - 1}{কে}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov ({ওয়াই}_{আমি}, {ওয়াই}_{ঞ}) = - 2 (\frac{কে - 1}{কে}) \frac{1}{কে} + + \frac{কে - 2}{{কে}^{2}} = \frac{- 1}{কে}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ হয় প্রায় পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের সঙ্গে সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল ।

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

আমার এই পূর্বের উত্তরটিও দেখুন ।

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

1

এটি সত্যিই চমৎকার উদাহরণ!

— RUser4512

9

না।

ধরুন যে একটি শূন্য নয়। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, আসুন ধরা যাক । $a_i$ $a_1=1$

জন্য এটি এবং বোঝায় । তবে এই পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য। লিনিয়ার সম্পর্কের অস্তিত্বের বিপরীতে অবশ্যই শূন্য হতে হবে। $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

যে কোনও , এবং । তবে, আপনার দ্বারা হাইপোথিসিস, । 'র শূন্য (জন্য ) এবং তাই হওয়া আবশ্যক । $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
সূত্র

গাউসিয়ান ভেক্টরগুলির ক্ষেত্রে আপনার কাছে একটি এক-লাইন প্রমাণও রয়েছে (যা আমি মন্তব্য হিসাবে রাখতে পছন্দ করি)। সম্পর্কযুক্ত 0 সমান স্বাধীনতা বোঝায়। বোঝায় এবং আপনি সম্পন্ন করেছেন।

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

— RUser4512

খুব ভাল উত্তর। আপনি যদি সম্পাদিত প্রশ্নেরও উত্তর দিতে পারেন তবে এটি চমৎকার হবে।

— ডনবিও

সম্পাদিত প্রশ্নটি অনেক শক্ত;) আমি ধরে নিই

v

$v$ এবং

x_{K}

$x_K$ একই জিনিস রেফার করবেন? আমি 1 / কে ফ্যাক্টরের বিন্দুটি দেখতে পাচ্ছি না, আপনি যদি কোনও সম্পর্কের সন্ধান করছেন তবে এটি চূড়ান্ত ফলাফলের কোনও কিছুই পরিবর্তন করবে না

— RUser4512

1 / কে তৈরি করা প্রয়োজন ছিল

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$ ।

— ডোনবিও

4

এটি কিছুটা প্রতারণামূলক হতে পারে, তবে আমরা যদি 'অসামঞ্জস্যিত' 0 এর সমবায় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি তবে উত্তরটি হ্যাঁ । দিন $X$ এবং $Y$ উভয়ই সম্ভাব্যতার সাথে শূন্য 1। তারপর

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

যখন $X+Y=0$ তাই $X$ এবং $Y$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল (আপনার সংজ্ঞা অনুসারে)

যদিও আপনার যদি প্রয়োজন হয় যে পারস্পরিক সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অর্থাত্ উভয়ের বৈকল্পিক $X$ এবং $Y$ কঠোরভাবে ইতিবাচক, আপনার মানদণ্ড পূরণকারী ভেরিয়েবলগুলি পাওয়া সম্ভব নয় (অন্যান্য উত্তর দেখুন)।

— কার্ল ওভে হুফথামার
সূত্র