এন সমানভাবে বিতরণ করা r.v এর দেওয়া, পিডিএফটি কী এক আরভি এর সমস্ত n r.v এর যোগফল দ্বারা বিভক্ত?

Question

আমি নিম্নলিখিত ধরণের ক্ষেত্রে আগ্রহী: এখানে 'এন' ধারাবাহিক এলোমেলো ভেরিয়েবল রয়েছে যার সমষ্টি 1 হতে হবে then সুতরাং, যদি , তবে আমি for এর জন্য বিতরণে আগ্রহী , যেখানে , এবং সমস্ত বিতরণ করা হয়েছে। অবশ্যই উদাহরণস্বরূপ, , কারণ কেবল , এবং যদিও এটি আর মধ্যে বিতরণ অনুকরণ করা সহজ তবে পিডিএফ বা সিডিএফের প্রকৃত সমীকরণ কী তা আমি জানি না।এক্স $n=3$ এক্স1,এক্স2এক্স31/31/$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$$X_1, X_2$$X_3$$1/3$$1/n$

এই পরিস্থিতি ইরউইন-হল বিতরণের সাথে সম্পর্কিত ( https://en.wikedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93 সমস্ত_ডিসট্রিবিউশন )। কেবলমাত্র ইরউইন-হল হ'ল এন ইউনিফর্ম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের বন্টন, যেখানে আমি এন ইউনিফর্ম আরভির একটির জন্য সমস্ত এন ভেরিয়েবলের যোগফল দ্বারা বিভক্ত করতে চাই। ধন্যবাদ।

Comments

যদি ক্রমাগত ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সমষ্টি হয় , তবে , এবং তাই এর বিতরণ একই রকম , তাই না? 1 n = 3 এক্স 1 + এক্স 2 + এক্স 3 = 1 এক্স $n$$1$$n=3$$X_1+X_2+X_3 = 1$এক্স$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$$X_1$

— দিলীপ সরোতে

আমার নিজেকে সংশোধন করা উচিত: এন ইউনিফর্ম বিতরণগুলির সমষ্টি 1 হবে না I আমি ধরে নিচ্ছি তারা 0 থেকে 1 এর মধ্যে প্রতিটি ইউনিফর্ম, এবং তাই তাদের যোগফল 0 থেকে N পর্যন্ত কিছু হতে পারে I আমি প্রতিটি ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল নেওয়ার এবং বিভাজনের চিন্তা করছি এটি সমস্ত এন ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের যোগফল দ্বারা এন এলোমেলো ভেরিয়েবলের সমষ্টি পেতে যা 1 এর সমষ্টি এবং প্রত্যাশিত মান 1 / এন রয়েছে। দ্রষ্টব্য: আমি আমার প্রথম বাক্য থেকে 'ইউনিফর্ম' শব্দটি সরিয়েছি। আমি যে বিতরণটি সন্ধান করছি তা অভিন্ন নয়, তবে কোনও একরকম সমস্ত এন ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের যোগফল দ্বারা এন ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলগুলির একটিকে ভাগ করে নেওয়া। আমি ঠিক জানি না কিভাবে।

— ব্যবহারকারী 3593717

যেখানে তাত্ক্ষণিকভাবে বিতরণ করা হয়, সেখানে নরমালাইজড ভেরিয়েবলের ভেক্টরের একটি ডিরিচলেট বিতরণ থাকে। এটি নিজের পক্ষে আগ্রহী হতে পারে তবে এ ধরণের পরিস্থিতির জন্য কৌশলগুলি সরবরাহ করা হতে পারে। $X_i$

— অনুমান 22

Answer 1

ডোমেনের ব্রেকপয়েন্টগুলি এটিকে কিছুটা অগোছালো করে দেয়। একটি সহজ তবে ক্লান্তিকর পন্থা হ'ল চূড়ান্ত ফলাফলটি তৈরি করা। জন্য দিন এবং তারপরY = X 2 + X 3 , ডাব্লু = এক্স 2 + এক্স $n=3,$$Y=X_2 + X_3,$ টি=1+ডাব্লু। জেড=$W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$$T = 1 + W.$$Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

ব্রেকপয়েন্টগুলি জন্য 1 জন্য 1 এবং 2 জন্য 2 এবং 3 এবং জন্য এবং Iডব্লিউ , টি , 1 / 3 1 / 2 জেড $Y,$$W,$$T,$$1/3$$1/2$$Z.$

$$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

এর পরে সিডিএফ হিসাবে দেখা যাবে can

$$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

Comments

+1 দুর্দান্ত। এছাড়াও, আপনার ঘনত্ব সিমুলেশনের সাথে সুন্দরভাবে সম্মত হয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

যাক । আমরা এর সিডিএফ by তারপরে আমরা কাঙ্ক্ষিত পিডিএফ প্রাপ্ত করার জন্য ইরভিন-হল পিডিএফ পৃথক করে এবং এর বিকল্প করব: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$$X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

$$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$$ এখান থেকে এটি সামান্য অগোছালো হয়ে ওঠে, তবে অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করতে আপনার অবিচ্ছেদ্য এবং সংমিশ্রণটি বিনিময় করতে হবে এবং তারপরে একটি প্রতিস্থাপন (উদাহরণস্বরূপ, ) করতে সক্ষম হওয়া উচিত পিডিএফ জন্য সুস্পষ্ট সূত্র।$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

Answer 3

অভিমানী

"এন ইউনিফর্ম বিতরণ 1 সমষ্টি হয় না।"

আমি এভাবেই শুরু করেছি (এটি অসম্পূর্ণ):

বিবেচনা করুন দিন স্বরলিপি সামান্য অপব্যবহার দ্বারা।$Y = \sum_{i=1}^n X_i$$X=X_i$

বিবেচনা করুন, এবং :$U = \frac{X}{Y}$$V =Y$

$$X=UV\\ Y=V$$

তারপরে ভেরিয়েবলের রূপান্তর অনুসরণ করুন :

$$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

এর যৌথ সম্ভাব্যতা ফাংশনটি প্রদান করেছেন:$(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

যেখানে এবং$X \sim U(0,1)$$Y \sim IrwinHall$

$$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

এবং,

$$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$$

সুতরাং,

$$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

এবং$f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

Answer 4

ধরুন আমরা ইতিমধ্যে এর যোগফলের -হল বিতরণ করেছি। এক্স এর যখন বিতরণ ছিল এবং ইরভিন-হল বিতরণ রয়েছে তখন আপনার প্রশ্নটি of এর পিডিএফ (বা সিডিএফ) সন্ধান করতে পরিবর্তিত হয় ।$U(0,1)$$\frac{X}{Y}$$U(0,1)$$Y$

প্রথমে আমাদের খুঁজে পেতে হবে তিনি এবং যৌথ পিডিএফ ।$X$$Y$

যাক$Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

তারপর

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

যেহেতু সাথে রয়েছে তাই,$X_1, X_2, X_3$$U(0,1),$$f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

সঙ্গে যৌথ বন্টন হয়$y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

পরবর্তী আমাদের কারাগারের বাইরে সংহত দিন এবং আমরা যুগ্ম বিতরণ পেতে পারেন এবং যুগ্ম বিতরণ অর্থাৎ এবং$Y_2$$Y_1$$Y_3$$X_1$$X_1+X_2+X_3$

এখন whuber দ্বারা পরামর্শ হিসাবে আমি সীমা পরিবর্তন

$$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$$

এখন আমরা যুগ্ম পিডিএফ জানেন অর্থাত যৌথ পিডিএফ এবং হয় ।$X,Y$$X_1$$X_1+X_2+X_3$$y_3-y_1-2$

এরপরে of এর পিডিএফ সন্ধান করুন$\frac{X}{Y}$

আমাদের আরেকটি রূপান্তর দরকার:

Let$Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

তারপরে$X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

তারপর

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

আমরা ইতিমধ্যে উপরের পদক্ষেপগুলি রেফ (1) থেকে যৌথ বিতরণ করেছি ।$X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

এরপরে, আমরা একীভূত করে আমরা এর পিডিএফ তারপরে আমরা of এর পিডিএফ পাই$y_1$$y_2$$\frac{X}{Y}$

$$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$$

এটি এর পিডিএফ অর্থাত্$X/Y$$\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

আমরা এখনও শেষ হয় না, কি মধ্যে (2) তারপর?$y_3$

আমরা জানি যে প্রথম রূপান্তর থেকে ।$Y_3=X_1+X_2+X_3$

সুতরাং কমপক্ষে আমরা জানি এর একটি -হল বিতরণ রয়েছে।$Y_3$

আমি অবাক হয়েছি আমরা একটি সুস্পষ্ট সূত্র পেতে আমরা কি পিডিএফ (2) এর জন্য ইরভিন-হলটি প্লাগ করতে পারি ? বা গ্লেনের পরামর্শ মতো আমরা কি এখান থেকে কিছু সিমুলেশন করতে পারি?$n=3$

Comments

সিমুলেশন সেই পিডিএফের সাথে একমত বলে মনে হচ্ছে না।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

যুক্তি এবং পদক্ষেপগুলি সঠিক বলে মনে হচ্ছে তবে আমি এই সমাধানটি সম্পর্কে অস্বস্তি বোধ করছি।

— গভীর উত্তর

আপনি যেখানে একীভূত করেছেন সেখানে আপনার এবং শর্তগুলির জন্য অ্যাকাউন্ট করতে হবে । $y_2$$y_1\le y_2\le y_3$$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber