প্রশ্ন: তাহলে এই ক্ষেত্রে "মুহূর্ত" শব্দের অর্থ কী? শব্দের এই পছন্দ কেন? এটি আমার কাছে স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে না (বা আমি এটি কলেজের আগে কখনও শুনিনি) :) এটি ভাবতে ভাবুন আমি "জড়ের মুহুর্তে" এর ব্যবহারের সাথে সমানভাবে আগ্রহী, তবে এখনই এটির দিকে মনোনিবেশ করা উচিত না।
উত্তর: আসলে, একটি aতিহাসিক অর্থে, জড়তার মুহূর্তটি সম্ভবত সেখানেই মুহূর্ত শব্দের অনুভূতিটি এসেছে। প্রকৃতপক্ষে, একটি (নীচের হিসাবে) দেখিয়ে দিতে পারে কীভাবে জড়তার মুহূর্তটি তারতম্যের সাথে সম্পর্কিত। এটি উচ্চতর মুহুর্তগুলির শারীরিক ব্যাখ্যাও দেয়।
পদার্থবিজ্ঞানে একটি মুহূর্ত হ'ল একটি দূরত্ব এবং একটি দৈহিক পরিমাণের পণ্যকে জড়িত করে এবং এইভাবে এটি কীভাবে শারীরিক পরিমাণের অবস্থান বা সজ্জিত থাকে তার জন্য অ্যাকাউন্ট করে। মুহুর্তগুলি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্স পয়েন্টের সাথে সংজ্ঞায়িত হয়; তারা সেই রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে কিছু দূরত্বে পরিমাপিত শারীরিক পরিমাণ নিয়ে কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ, কোনও বস্তুর উপর বল প্রয়োগের মুহুর্তটি, প্রায়শই টর্ক বলা হয়, নীচের উদাহরণ হিসাবে যেমন একটি রেফারেন্স পয়েন্ট থেকে বাহিনীর পণ্য এবং দূরত্ব।
সাধারণত প্রদত্ত নামগুলির চেয়ে কম বিভ্রান্তিকর , যেমন উচ্চতর মুহুর্তের জন্য হাইফারফ্লিটনেস ইত্যাদি বৃত্তাকার গতি থেকে ক্ষণিকের উদাহরণগুলি হবে, বৃত্তাকার গতির জড়তার মুহূর্তগুলি , অনমনীয় দেহগুলির যা সাধারণ রূপান্তর। কৌণিক ত্বরণ কৌণিক বেগ ডেরিভেটিভ সেই সময় থেকে সম্মান সঙ্গে কোণের ব্যুৎপন্ন হয়, অর্থাত, । বিবেচনা করুন যে দ্বিতীয় মুহূর্তটি একটি বৃত্তাকার গতিতে প্রয়োগ করা টর্কের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, বা আপনি যদি সেই বিজ্ঞপ্তিটির (যেমন, কৌণিক, ) ত্বরণ / হ্রাস (দ্বিতীয় উত্পন্নকরণও) করতে চান ifdωdt=α,dθdt=ωθ) গতি। একইভাবে, তৃতীয় মুহূর্তটি টর্কের পরিবর্তনের হার হতে পারে, এবং আরও অনেক বেশি মুহুর্তের জন্য পরিবর্তনের হারের পরিবর্তনের হারের পরিবর্তনের হার তৈরি করতে অর্থাত্ বৃত্তাকার গতির ক্রমবর্ধমান ডেরাইভেটিভস হতে পারে। এটি প্রকৃত উদাহরণ সহ কল্পনা করা সহজ।
শারীরিক বোধগম্যতার সীমাবদ্ধতা রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, যেখানে কোনও বস্তু শুরু হয় এবং শেষ হয়, অর্থাত্ এর সমর্থন, যা তুলনাকে কমবেশি বাস্তববাদী করে। আসুন আমরা একটি বিটা বিতরণের উদাহরণ গ্রহণ করি, যার [0,1] এ (সীমাবদ্ধ) সমর্থন রয়েছে এবং এর জন্য চিঠিপত্র দেখাই। বিটা ডিস্ট্রিবিউশন ডেনসিটি ফাংশন ( পিডিএফ ) হ'ল
যেখানে , এবং হ'ল গামা ফাংশন , ।
β(x;α,β)={xα−1(1−x)β−1B(α,β)00<x<1True,
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)Γ(.)Γ(z)=∫∞0xz−1e−xdx
গড় তারপর আবর্তনের প্রথম মুহূর্ত প্রায় বিটা ফাংশন সর্বনিম্ন সঙ্গে অভিন্ন এলাকায় ঘনত্ব হচ্ছে কঠোরভাবে আবর্তিত পাতলা চাদর যেমন অঙ্কিত জন্য -axis -value (0,0,0) উৎপত্তি লাগিয়ে তার বেস সঙ্গে মধ্যে সমতল।
জন্য চিত্রিত হিসাবে , অর্থাত্, নীচে
zxx,y
μ=∫10rβ(r;α,β)dr=αα+β,
β(r;2,2)μ=12
নোট করুন যে আমাদের বিটা বিতরণ পাতলা শীটকে অন্য কোনও স্থানে নিয়ে যাওয়া এবং এটি আবার স্কেল করে বাধা দেওয়ার কোনও কিছুই নেই, যেমন, থেকে , বা উল্লম্ব আকার পরিবর্তন করা, উদাহরণস্বরূপ কুঁড়ির চেয়ে প্যাডেল0≤r≤12≤r≤4
বিটা বিতরণ বৈকল্পিক গণনা করতে, আমরা ঘূর্ণনের -axis,
উপর স্থানান্তরিত বি-এর সাথে একটি স্থানান্তরিত বিটা বিতরণের জন্য জড়তার মুহূর্তটি গণনা করব
জন্য যা , অর্থাত্ , যেখানে জড়তার মুহুর্ত, দেখতে এটির মতো দেখাচ্ছে,rzβ ( r ; 2 , 2 ) আই = σ 2 = 1
σ2=∫10(r−μ)2β(r;α,β)dr=αβ(α+β)2(α+β+1),
β(r;2,2) আমিI=σ2=120I
এখন উচ্চতর তথাকথিত 'কেন্দ্রীয়' মুহুর্তের জন্য, অর্থাত্ স্ক্রুনেস এবং কুর্তোসিসের মতো মুহুর্তগুলি সম্পর্কে আমরা মুহুর্তটি around from থেকে গড়ের কাছাকাছি
গণনা করি
এটি বৃত্তাকার গতির অনুভূত হতেও বোঝা যায় ।∫ 1 0 ( r - μ ) n β ( r ; α , β )nthn ম
∫10(r−μ)nβ(r;α,β)dr.
nth
আমরা যদি পিছনের দিকে গণনা করতে চাই, তবে, একটি 3D কঠিন বস্তু নিয়ে এটিকে সম্ভাব্যতার ফাংশনে রূপান্তর করতে পারি? জিনিসগুলি তখন কিছুটা কৌতুকপূর্ণ হয়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা একটি টরাস গ্রহণ করি ।
প্রথমে আমরা এর বৃত্তাকার ক্রস অধ্যায়টি নিই, তারপরে স্লাইসের মতো কোনও সমতল মুদ্রার ঘনত্ব দেখানোর জন্য আমরা এটি অর্ধবৃত্তাকারে পরিণত করি, তারপরে আমরা ক্রমকে ক্রমবর্ধমান দূরত্ব ( ) দিয়ে ক্রমবর্ধমান ঘনত্বের জন্য অ্যাকাউন্টে একটি উঁচু আকারের মুদ্রায় রূপান্তর করি থেকে -axis, এবং পরিশেষে আমরা এলাকা ঘনত্ব ফাংশন কাজকে আপনার জন্য স্বাভাবিক। এটি পাঠকের গাণিতিকের সাথে নিচে চিত্রক্রমে বর্ণিত হয়েছে।zrz
পরিশেষে, আমরা জিজ্ঞাসা করি যে এই সমতাগুলি গতির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত? নোট করুন যে জড়তার মুহুর্তের উপরে, , দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহুর্ত, , একেএ, বৈকল্পিক সম্পর্কিত হতে পারে। তারপরে অর্থাৎ টর্ক, এবং কৌণিক ত্বরণের অনুপাত , । তারপরে সময়মতো পরিবর্তনের উচ্চতর হার পাওয়ার জন্য আমরা আলাদা করতে পারি।σ 2 I = τIσ2 τaI=τaτa
