একবারে বিভিন্ন ঘূর্ণিত বিভিন্ন পলিহাইডাল পাশা জন্য বিতরণ কি?

Question

ডানজিওনস এবং ড্রাগন ডাইসের একটি সেট থেকে 5 প্লাটোনিক সলিউড নিন। এগুলিতে একটি 4-তরফা, 6-পক্ষীয় (প্রচলিত), 8-পক্ষীয়, 12-পক্ষযুক্ত এবং 20-তরফা পাশা রয়েছে। সমস্ত 1 নম্বর থেকে শুরু হয় এবং তাদের মোট থেকে 1 দ্বারা উপরে গণনা করুন।

তাদের একবারে রোল করুন, তাদের যোগফলটি নিন (সর্বনিম্ন যোগফল 5, সর্বোচ্চ 50)। একাধিকবার করুন। বিতরণ কি?

স্পষ্টতই তারা নিম্ন প্রান্তের দিকে ঝুঁকবে, যেহেতু উচ্চের চেয়ে কম সংখ্যক রয়েছে। কিন্তু পৃথক মৃত্যুর প্রতিটি সীমানায় উল্লেখযোগ্য প্রতিস্থাপন পয়েন্ট থাকবে?

[সম্পাদনা: আপাতদৃষ্টিতে, যা প্রতীয়মান মনে হয়েছিল তা নয়। অন্যতম ভাষ্যকারের মতে গড় (৫ + ৫০) / ২=27.5 .5 আমি এটা আশা করছিলাম না। আমি এখনও গ্রাফটি দেখতে চাই]]

Comments

আপনি কি বোঝাতে চাচ্ছেন যে আলাদা ইউনিফর্মগুলির যোগফল ? $[1,4]+[1,6]+[1,8]+[1,12]+[1,20]$

— গুং - মনিকা পুনরায়

এটি পরীক্ষা করার একটি উপায় হ'ল সিমুলেশন। মধ্যে R: hist(rowSums(sapply(c(4, 6, 8, 12, 20), sample, 1e6, replace = TRUE)))। এটি আসলে নিম্ন প্রান্তের দিকে ঝুঁকছে না; 5 থেকে 50 পর্যন্ত সম্ভাব্য মানগুলির গড়, গড় 27.5 এবং ডিস্ট্রিবিউশনটি (দৃষ্টিভঙ্গি) স্বাভাবিক থেকে খুব বেশি দূরে।

— ডেভিড রবিনসন

আমার ডি অ্যান্ড ডি সেটটিতে একটি ডি 10 রয়েছে পাশাপাশি 5 আপনি উল্লেখ করেছেন (প্লাস একটি ডিক্যাডার, যা আমি মনে করি আপনি অন্তর্ভুক্ত করবেন না)

— Glen_b -Rininateate Monica

ওল্ফ্রাম আলফা উত্তরটি সঠিকভাবে গণনা করে । এখানে সম্ভাব্যতা তৈরির কার্য রয়েছে যা থেকে আপনি সরাসরি বিতরণটি পড়তে পারেন। বিটিডাব্লু, এই প্রশ্নটির একটি বিশেষ কেস যা স্ট্যাটাস.স্ট্যাকেক্সেঞ্জা.কম / ক / ৩36১৪ এবং স্ট্যাটস.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ / প্রশ্নগুলি / ১১679৯২ এ পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে উত্তর দেওয়া হয় ।

— whuber

@ অ্যালেক্সটিল: খুব সহজ, শক্ত লোক। আপনি যদি গবেষণাটি করে থাকেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে আমি নিজেই সিমুলেশন চালানোর জন্য কোনও কম্পিউটার ছিল না। এবং 100 বার ঘূর্ণায়মান, এমন সাধারণ প্রশ্নের পক্ষে কার্যকর বলে মনে হয় না।

— মার্কোস

Answer 1

আমি এটি বীজগণিতভাবে করতে চাই না, তবে আপনি কেবল যথেষ্ট পরিমাণে পিএমএফ গণনা করতে পারেন (এটি কেবল সমঝোতা, যা স্প্রেডশিটে সত্যিই সহজ)।

আমি এগুলি একটি স্প্রেডশিটে * গণনা করেছি:

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

এখানে হ'ল প্রতিটি মোট i পাওয়ার পদ্ধতিসমূহ ; p ( i ) হ'ল সম্ভাবনা, যেখানে p ( i ) = n ( i ) / 46080 । সর্বাধিক সম্ভাব্য ফলাফলগুলি সময়ের 5% এরও কম হয়।$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$

Y- অক্ষটি সম্ভাবনা শতাংশ হিসাবে প্রকাশিত হয়।

* আমি যে পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছি তা এখানে বর্ণিত পদ্ধতির অনুরূপ , যদিও এটির জন্য ইউজার ইন্টারফেসের বিবরণ পরিবর্তন হিসাবে সেট আপ করার সাথে জড়িত সঠিক মেকানিকরা (পোস্টটি প্রায় 5 বছর বয়সী যদিও আমি প্রায় এক বছর আগে এটি আপডেট করেছি)। এবং আমি এবার একটি আলাদা প্যাকেজ ব্যবহার করেছি (আমি এটি এবার লিবার অফিসের ক্যাল্কে করেছি)। তবুও, এর মূল বক্তব্য।

Comments

আশ্চর্যজনক, আমি মোটেই প্রতিসাম্যিক বিতরণ আশা করছিলাম না। আমি নিশ্চিত না কেন আমার অন্তর্দৃষ্টি এত দূরে ছিল।

— মার্কোস

স্বতন্ত্র প্রতিসাম্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলও বিতরণের ক্ষেত্রে প্রতিসম হয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

ভাল নিয়ম। এটি কোথাও প্রকাশিত হয়?

— মার্কোস

হ্যাঁ, তবে আমার বক্তব্যটি এটি প্রকাশের জন্য একটি জার্নাল পাওয়ার পক্ষে খুব তুচ্ছ ছিল, এটি কেবলমাত্র একজন শিক্ষার্থীর অনুশীলন হিসাবে সেট করা হবে। আপনি এই সত্যটি ব্যবহার করতে পারেন যে মূলটির চারপাশে প্রতিসাম্যপূর্ণ একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্যটি আসল এবং এমনকি (যা সত্য আপনি এটি উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনে বর্ণিত খুঁজে পেতে পারেন ) - ভাল, এবং আমি অনুমান করি যে আপনার এটির দরকার সিএফএস-এর বনাম পিএমএফএস-এর এক-এক সম্পত্তি, বা দ্বিগুণ সম্পর্ক ব্যবহার করে এটি প্রতিষ্ঠা করতে যে এমনকি

— সিএফও

... এবং এটি এমনকি ফাংশনগুলির একটি পণ্য সমান, তবে এটি উপলব্ধিটি কীভাবে কাজ করে তার প্রত্যক্ষ বিবেচনার মাধ্যমে - এটি দুটি প্রতিসাম্য কার্য (এক্ষেত্রে পিএমএফএস) এর সংশ্লেষের সমষ্টিতে প্রতিটি টার্মের জন্য প্রত্যক্ষ বিবেচনা করেই যথেষ্ট স্পষ্ট এক প্রান্তে পণ্যগুলি অন্য প্রান্তে একই আকারের সাথে সম্পর্কিত শব্দটি থাকে, কেন্দ্রের চারপাশে প্রতিসাম্যিকভাবে স্থাপন করা হয়।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

Answer 2

সুতরাং আমি এই কোডটি তৈরি করেছি:

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

ফলাফল এই চক্রান্ত।

এটি বেশ গাউসিয়ান চেহারা। আমি মনে করি আমরা (আবার) কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটিতে একটি ভিন্নতা প্রদর্শন করেছি।

Comments

হুঁ, আপনার সিমুলেশনটির সর্বনিম্ন রোল 6. 6. এটি রোল করার সম্ভাবনা (বা কোনও একক রোল, ডাই পরিচয় সংরক্ষণ করে) 1: 4 * 1: 6 * 1: 8 * 1: 10 * 1: 12 * 1: 20 = 1: 460800। আমার পদ্ধতিগুলি আমার মডেলিংয়ের কোনও ত্রুটি প্রকাশ করতে কমপক্ষে দ্বিগুণ (সম্ভবত 4x) এই পরিমাণটি (সম্ভবত নাইকুইস্ট সীমা হিসাবে) একটি নমুনা আকারের এন দাবি করবে।

— মার্কোস

নাইকুইস্টের সাথে আমার অভিজ্ঞতা ন্যূনতম 4xও বলে। ... সম্পন্ন. যদি 2 মিলিয়ন পর্যাপ্ত না হয় তবে এটির কী হওয়া উচিত তা আমাকে জানান।

— এনগ্রিস্টুডেন্ট - মনিকা

$n\to\infty$

@ এঞ্জারস্টুডেন্ট: বিটিডাব্লু, আপনার ফলাফল সিএলটি নিশ্চিত করে না?

— মার্কোস

@ ডক্টর না, এটি

— বেশিরভাগ

Answer 3

আপনার অন্তর্দৃষ্টি সামান্য সাহায্য:

প্রথমে বিবেচনা করুন যদি আপনি একজন মারা যাওয়ার সমস্ত মুখের মধ্যে একটি যুক্ত করেন, যেমন ডি 4। সুতরাং, 1,2,3,4 এর পরিবর্তে এখন মুখগুলি 2,3,4,5 দেখায়।

এই পরিস্থিতিটিকে মূলের সাথে তুলনা করে দেখতে পারা যায় যে মোট যোগফল এখন আগের তুলনায় আরও বেশি। এর অর্থ হল যে বিতরণের আকারটি অপরিবর্তিত রয়েছে, এটি কেবল এক ধাপ পাশের দিকে সরানো হয়েছে।

এখন সেই মৃত্যুর প্রতিটি দিক থেকে প্রতিটি মরণের গড় মান বিয়োগ করুন।

এটি পাশা চিহ্নিত করে দেয়

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

প্রভৃতি

এখন, এই ডাইসের যোগফলটির মূলটির মতো একই আকার থাকা উচিত, কেবল নীচের দিকে স্থানান্তরিত। এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে এই যোগফলটি শূন্যের কাছাকাছি প্রতিসম হয়। সুতরাং মূল বিতরণটিও প্রতিসম হয়।

Answer 4

$$P(X=i)=p(i)$$ $X$$i$$0,1,\dots,n$$(0,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)$$p(t)=\sum_0^6 p(i) t^i$$q(j)$$j$$0,1,\dots,m$$p(t)q(t)$

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

এবং আপনি যা সঠিক তা পরীক্ষা করতে পারেন (হাতে গণনা দ্বারা)। এখন আসল প্রশ্নের জন্য, 4,6,8,12,20 টি পাশ দিয়ে পাঁচটি পাশা। আমি প্রতিটি পাশা জন্য অভিন্ন প্রোব ধরে ধরে গণনা করব। তারপর:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

প্লটটি নীচে দেখানো হয়েছে:

এখন আপনি এই সঠিক সমাধানটিকে সিমুলেশনের সাথে তুলনা করতে পারেন।

Answer 5

কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য আপনার প্রশ্নের উত্তর। যদিও এর বিশদ এবং তার প্রমাণ (এবং সেই উইকিপিডিয়া নিবন্ধ) কিছুটা মস্তিষ্কের নমনীয় তবে এর সূচনাটি সহজ। উইকিপিডিয়া প্রতি, এটি বলে যে

সীমাবদ্ধ ভেরিয়েন্স সহ বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র এবং স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল ভেরিয়েবলের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে স্বাভাবিক বিতরণে ঝুঁকবে।

আপনার মামলার প্রমাণের স্কেচ:

আপনি যখন "সমস্ত ডাইস একবারে রোল করুন" বলবেন তখন সমস্ত ডাইসের প্রতিটি রোল একটি এলোমেলো পরিবর্তনীয়।

আপনার পাশা তাদের সসীম সংখ্যা মুদ্রিত আছে। তাদের মানগুলির যোগফলের সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা রয়েছে।

প্রতিবার আপনি সমস্ত পাশা রোল, ফলাফল সম্ভাবনা বন্টন একই। (রোলগুলির মধ্যে পাশা বদলায় না))

যদি আপনি পাশাটি মোটামুটি রোল করেন, তবে যতবার আপনি তাদের রোল করুন, ফলাফলটি স্বাধীন। (পূর্ববর্তী রোলগুলি ভবিষ্যতের রোলগুলিকে প্রভাবিত করে না))

স্বাধীন? পরীক্ষা করে দেখুন। ইচ্ছামত বিতরণ? পরীক্ষা করে দেখুন। সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা? পরীক্ষা করে দেখুন। সুতরাং যোগফল একটি সাধারণ বন্টনের দিকে ঝুঁকছে।

এমনকি সমস্ত ডাইসের এক রোলের বিতরণটি নিম্ন প্রান্তের দিকে একপাশে থাকলেও তাতে কিছু আসে যায় না। এই বিতরণে কুঁকড়ে থাকলে আমার কিছু আসে যায় না। সমস্ত সংমিশ্রণ এটিকে মসৃণ করে এবং এটিকে একটি প্রতিসম গাওসিয়ান করে তোলে। এমনকি এটি দেখানোর জন্য আপনার কোনও বীজগণিত বা সিমুলেশন করার দরকার নেই! এটি সিএলটি-র অবাক করা অন্তর্দৃষ্টি।

Comments

যদিও সিএলটি প্রাসঙ্গিক, এবং অন্যান্য পোস্টগুলি দেখায়, বিতরণগুলি মোটামুটি গাউসিয়ান দেখায়, আমরা কেবল 5 টি স্বতন্ত্র অ-অভিন্ন বিতরণের যোগফল নিয়ে কাজ করছি । সুতরাং পয়েন্ট 1) 5 সত্যই এতটা বড় নয় যে একটি উপপাদ্যটি "অনন্ত সময়ে" প্রয়োগ হয় inv পয়েন্ট 2) আপনি ভ্যানিলা সিএলটি ব্যবহার করতে পারবেন না, কারণ যে জিনিসগুলি আপনি যোগ করেন তা আইড নয়। আমার মনে হয় আপনার লাইপুনভ সিএলটি দরকার।

— পিটার

আপনার সেন্ট্রাল সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি বলার দরকার নেই যে তাদের কেন্দ্রগুলি সম্পর্কে বিতরণ প্রতিসাম্য সহ কিছু স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফলগুলির কেন্দ্রগুলির সমষ্টি সম্পর্কে একটি প্রতিসাম্য বিতরণ রয়েছে।

— হেনরি

@ পিটার: আপনি আমার প্রমাণের কাঠামোটি অনুপস্থিত। ওপি বলছে "এগুলি একবারে রোল করুন।" আমি সমস্ত রাইসের প্রতিটি রোলকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে নিচ্ছি । এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি অভিন্ন বিতরণ রয়েছে। লায়াপুনভের দরকার নেই। এছাড়াও, ওপি বলছে "একাধিক বার করুন," যার অর্থ আমি "সীমাতে" থাকি, তাই আপনার পয়েন্ট # 1 বৈধ নয়। আমরা এখানে কেবল 5 ডাইসের একটি রোল সংক্ষিপ্ত করছি না।

— পল কেন্ট্রেল

@ পলক্যান্ট্রেল সমস্ত ডাইসের প্রতিটি রোল হ'ল পাঁচটি স্বতন্ত্র-অ-পরিচয়যুক্ত বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলের যোগফল। ওপি সেই অঙ্কের বিতরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে। আপনি 5 ডাইসের অনেকগুলি রোল করতে পারেন, তবে এটি কেবল প্রশ্নের অধীনে বিতরণ থেকে নমুনা দিচ্ছে, কেউই সেই নমুনাগুলির সংক্ষিপ্তকরণ করছে না।

— পিটার

@ পলক্যান্ট্রেল আমি অনুমান করি যে এটি "আপনি একাধিকবার কীভাবে" অনুবাদ করেন তা নির্ভর করে। একাধিকবার করুন এবং সেগুলি আবার যোগ করুন (একক মান পাওয়া), বা একাধিকবার করুন এবং সেই নমুনাগুলির হিস্টোগ্রামটি দেখুন (একাধিক মান পাওয়া)। আমি পরবর্তী ব্যাখ্যাটি নিয়েছি।

— পিটার