বিভিন্ন সম্ভাব্যতার সাথে বার্নোল্লি পরীক্ষার সাফল্য

Question

যদি 20 টি স্বাধীন বার্নৌল্লি ট্রায়ালগুলি সাফল্যের আলাদা সম্ভাবনা এবং তাই ব্যর্থতার সাথে পরিচালিত হয়। 20 ট্রায়ালের মধ্যে ঠিক এন সফল হয়েছিল এমন সম্ভাবনা কী?

সাফল্য এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনার সংমিশ্রণের সংমিশ্রণের চেয়ে এই সম্ভাবনাগুলি গণনার আরও ভাল উপায় কি?

Answer 1

আপনি যে বিতরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন তার নাম পয়সন দ্বিপদী বিতরণ , বরং জটিল পিএমএফ (বিস্তৃত বিবরণের জন্য উইকিপিডিয়া দেখুন)

$$\Pr(X=x) = \sum\limits_{A\in F_x} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)$$

সাধারণত সমস্যাটি হ'ল আপনি এই সমীকরণটি কয়েকটি বড় সংখ্যক পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করতে পারবেন না (সাধারণত যখন পরীক্ষার সংখ্যা ছাড়িয়ে যায় )। এছাড়াও পিএমএফ গণনা করার অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে, যেমন পুনরাবৃত্তির সূত্রগুলি, তবে সেগুলি সংখ্যায় অস্থির। এই সমস্যাগুলির কাছাকাছি সবচেয়ে সহজ উপায় হ'ল আনুমানিক পদ্ধতি (যেমন হংক, 2013 দ্বারা বর্ণিত )। যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি$n=30$

$$\mu = \sum_{i=1}^n p_i$$

$$\sigma = \sqrt{ \sum_{i=1}^n p_i(1-p_i) }$$

$$\gamma = \sigma^{-3} \sum_{i=1}^n p_i (1 - p_i) (1 - 2p_i)$$

তারপরে আমরা অল্প সংখ্যক আইন বা লে ক্যামের্স উপপাদ্য আইনের মাধ্যমে পোইসন বিতরণে প্রায় পিএমএফ করতে পারি

$$\Pr(X = x) \approx \frac{\mu^x \exp(-\mu)}{x!}$$

তবে এটি দেখেছে যে সাধারণত দ্বিপদী আনুমানিক আরও ভাল আচরণ করে ( চই এবং জিয়া, ২০০২ )

$$\Pr(X = x) \approx \mathrm{Binom} \left( n, \frac{\mu}{n} \right)$$

আপনি সাধারণ আনুমানিক ব্যবহার করতে পারেন

$$f(x) \approx \phi \left( \frac{x + 0.5 - \mu}{ \sigma} \right)$$

বা সিডিএফ তথাকথিত পরিশোধিত সাধারণ আনুমানিক ব্যবহার (ভলকোভা, 1996) ব্যবহার করে অনুমান করা যেতে পারে

$$F(x) \approx \max\left(0, \ g \left( \frac{x + 0.5 - \mu}{ \sigma} \right) \right)$$

যেখানে ।$g(x) = \Phi(x) + \gamma(1-x^2) \frac{\phi(x)}{6}$

আরেকটি বিকল্প অবশ্যই একটি মন্টি কার্লো সিমুলেশন।

সরল dpbinomআর ফাংশন হবে

dpbinom <- function(x, prob, log = FALSE,
                    method = c("MC", "PA", "NA", "BA"),
                    nsim = 1e4) {

  stopifnot(all(prob >= 0 & prob <= 1))
  method <- match.arg(method)

  if (method == "PA") {
    # poisson
    dpois(x, sum(prob), log)
  } else if (method == "NA") {
    # normal
    dnorm(x, sum(prob), sqrt(sum(prob*(1-prob))), log)
  } else if (method == "BA") {
    # binomial
    dbinom(x, length(prob), mean(prob), log)
  } else {
    # monte carlo
    tmp <- table(colSums(replicate(nsim, rbinom(length(prob), 1, prob))))
    tmp <- tmp/sum(tmp)
    p <- as.numeric(tmp[as.character(x)])
    p[is.na(p)] <- 0

    if (log) log(p)
    else p 
  }
}

বেশিরভাগ পদ্ধতি (এবং আরও) আর পোইবিন প্যাকেজেও প্রয়োগ করা হয় ।

---

চেন, এলএইচওয়াই (1974)। পোইসন দ্বিপদী রূপান্তরকে পয়সন বিতরণে। সম্ভাব্যতার অ্যানালস, 2 (1), 178-180।

চেন, এসএক্স এবং লিউ, জেএস (1997)। পোইসন-বোনমিয়াল এবং শর্তসাপেক্ষ বার্নোল্লি বিতরণের পরিসংখ্যানীয় অ্যাপ্লিকেশন। পরিসংখ্যান সিনিকা 7, 875-892।

চেন, এসএক্স (1993)। পয়সন-বোনমিয়াল বিতরণ, শর্তসাপেক্ষে বের্নোল্লি বিতরণ এবং সর্বাধিক এনট্রপি। প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন. পরিসংখ্যান বিভাগ, হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়।

চেন, এক্সএইচ, ডেম্পস্টার, এপি এবং লিউ, জেএস (1994)। এন্ট্রপি সর্বাধিকীকরণের জন্য সীমাবদ্ধ ওজনযুক্ত সীমাবদ্ধ বায়োমেটিকা ​​81, 457-469।

ওয়াং, ওয়াইএইচ (1993)। স্বাধীন পরীক্ষায় সাফল্যের সংখ্যা সম্পর্কে। পরিসংখ্যান সিনিকা 3 (2): 295-312।

হংকং, ওয়াই (2013)। পয়সন দ্বিপদী বিতরণের জন্য বিতরণ ফাংশন গণনা করার সময়। গণনা পরিসংখ্যান এবং ডেটা বিশ্লেষণ, 59, 41-51।

ভোলকোভা, এওয়াই (1996)। স্বতন্ত্র র্যান্ডম সূচকগুলির পরিমানের জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের একটি পরিমার্জন। সম্ভাবনার তত্ত্ব এবং এর অ্যাপ্লিকেশন 40, 791-794।

চই, কেপি এবং জিয়া, এ (2002)। স্বতন্ত্র বিচারে সাফল্যের সংখ্যার সমান করা: দ্বিপদী বনাম পোইসন। ফলিত সম্ভাবনার অ্যানালস, 14 (4), 1139-1148।

লে ক্যাম, এল (1960)। পয়সন দ্বিপদী বিতরণের জন্য একটি আনুমানিক উপপাদ্য। প্যাসিফিক জার্নাল অফ গণিত 10 (4), 1181–1197।

Answer 2

একটি পদ্ধতির হ'ল জেনারেটিং ফাংশন ব্যবহার করা। আপনার সমস্যার সমাধান সহগ হয় বহুপদী মধ্যে$x^n$

$$\prod_{i=1}^{20}(p_ix + 1-p_i).$$

টিমের জবাব (যা ক্ষতিকারক সময় হবে) থেকে পোইসন দ্বিপদী বিতরণে সংশ্লেষ করার গতিশীল প্রোগ্রামিং সমতুল্য (বার্নোল্লি ভেরিয়েবলের সংখ্যায় চতুর্ভুজ সময়) is