কীভাবে গণনা করা যায়

আমি আমার থিসিসের জন্য একটি সমস্যার সমাধান করার চেষ্টা করছি এবং এটি কীভাবে করব তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আমার 4 টি পর্যবেক্ষণ এলোমেলোভাবে একটি ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে নেওয়া হয়েছে । আমি সম্ভাব্যতা গনা চাই যে । হ'ল আইথ অর্ডারের পরিসংখ্যান (আমি অর্ডারটি পরিসংখ্যান হিসাবে নিই যাতে আমার পর্যবেক্ষণগুলি ছোট থেকে বড় হতে পারে)। আমি এটি একটি সহজ মামলার জন্য সমাধান করেছি তবে এখানে কীভাবে এটি করতে হয় তা আমি হারিয়ে গিয়েছি। $(0,1)$ $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$ $X_{(i)}$

সমস্ত সাহায্য স্বাগত জানানো হবে।

probability uniform order-statistics

— Sev
সূত্র

অর্ডার পরিসংখ্যান , । ইঙ্গিত করে তা উল্লেখ করে শুরু করুন $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $x_1 \le x_2$

Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [3 x_{1} < x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] .

$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$

$x_2$ এবং উপর নির্ভর করে এই শেষ ইভেন্টটি দুটি বিতর্কিত ইভেন্টগুলিতে বিভক্ত $(x_2+x_3)/2$ :

\begin{aligned} Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] & = Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] \\ + Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$

কারণ ঘনত্ব সহ যৌথ বিতরণ তে সেট , $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{0}^{x_{3} / 2} d x_{2} \int_{0}^{x_{2}} d x_{1} = \frac{1}{4}

$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$

এবং

Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{x_{3} / 2}^{x_{3}} d x_{2} \int_{0}^{(x_{2} + x_{3}) / 2} d x_{1} = \frac{7}{12} .

$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$

(প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য পুনরাবৃত্ত অবিচ্ছেদ্য হিসাবে সঞ্চালনের জন্য সোজাসুজি; কেবল বহু বহুগুণীয় সংহতগুলি জড়িত))

কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা তাই সমান = । $1 - (1/4 + 7/12)$ $1/6$

সম্পাদন করা

একটি চালক সমাধান (যা কাজকে সহজ করে ) এই স্বীকৃতি থেকে প্রাপ্ত হয় যে যখন ডিস্ট্রিবিউশনগুলি থাকে, , তারপরে ( লিখে ) , পরিমিত আংশিক যোগফল $y_j$ $1\le j\le n+1$ $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\$

x_{i} = \sum_{j = 1}^{i} y_{j} / Y,

$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$

$1\le i\le n$ , অভিন্ন আদেশের পরিসংখ্যানের মতো বিতরণ করা হয়। যেহেতু প্রায় নিশ্চিতভাবে ইতিবাচক, এটি সহজেই অনুসরণ করে যে কোনও , $Y$ $n\ge 3$

\begin{aligned} Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] & = Pr [\frac{3 y_{1}}{Y} \geq \frac{y_{1} + y_{2}}{Y} + \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{Y}] \\ = Pr [3 y_{1} \geq (y_{1} + y_{2}) + (y_{1} + y_{2} + y_{3})] \\ = Pr [y_{1} \geq 2 y_{2} + y_{3}] \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) \int_{2 y_{2} + y_{3}}^{\infty} \exp (- y_{1}) d y_{1} d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) [\exp (- 2 y_{2} - y_{3})] d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- 2 y_{3}) d y_{3} \int_{0}^{\infty} \exp (- 3 y_{2}) d y_{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$

— whuber
সূত্র

আপনার সহায়তার জন্য অনেক ধন্যবাদ! এই সমস্যার কারণে আমি আমার গবেষণায় অবরুদ্ধ ছিলাম, তাই আবার আপনাকে ধন্যবাদ!

— Sev

+1 সাম্প্রতিক সম্পাদনায় যুক্ত দৃষ্টিভঙ্গি বিশেষভাবে প্রশংসা করা হয়েছে

— দিলীপ সরওয়াতে