রোলগুলির অসীম সিরিজ থেকে নির্বাচিত ডাইয়ের গড় মান

Question

যদি আমি একজোড়া ডাইসকে অসীম সংখ্যায় রোল করি এবং সর্বদা দুটির উচ্চতর মানটি নির্বাচন করি, তবে সর্বোচ্চ মানগুলির প্রত্যাশিত গড়টি 3.5 এর বেশি হবে?

মনে হয় এটি অবশ্যই হবে যেহেতু আমি যদি এক মিলিয়ন ডাইস ঘুরিয়ে দিয়েছি এবং প্রতিবার সর্বোচ্চ মানটি বেছে নিয়েছি, তবে প্রতিকূলতা অপ্রতিরোধ্য যে প্রতিটি রোলটিতে ছক্কা থাকবে। সুতরাং, প্রত্যাশিত গড়টি 5.999999999999 এর মতো কিছু হতে হবে ...

যাইহোক, আমি মাত্র 2 পাশা ব্যবহার করে আমার উদাহরণের সাথে প্রত্যাশিত মানটি কী হবে তা অনুভব করতে পারি না। কেউ আমাকে একটি সংখ্যায় পৌঁছাতে সহায়তা করতে পারে? এটি কি সবেই 3.5 এর বেশি হবে? এটি কি এমন কিছু যা গণনা করা যায়?

Comments

আপনি কি নমুনা স্থান গণনা করতে পারেন? 2-পাশ্ব উদাহরণের জন্য সম্ভাবনাগুলি তালিকাভুক্ত করুন।

— soakley

Answer 1

পরীক্ষাটিও অনুকরণ করা যায়। যখন গণনা কঠিন (3 ডাইস রোলিংয়ের মতো) হয় তখন এই পদ্ধতির ব্যবহার কার্যকর হয়।

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

Answer 2

এটির জন্য সিমুলেশন ব্যবহার করার দরকার নেই, সাধারণ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করা বেশ সহজ। যাক পাশা সংখ্যা হতে হবে এবং সর্বাধিক যখন ঘূর্ণায়মান প্রণীত রোল হতে পাশা।$n$$X$$n$

এটি অনুসরণ করে যে এবং সাধারণভাবে জন্য 1 এবং 6. মধ্যে অতএব আমরা পেতে পারেন

$$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$$ $$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$$ $k$ $$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

সুতরাং আমরা সম্ভাব্য বন্টন বন্ধ আকারে লিখতে পারি। এই কাজ করার জন্য আপনার প্রত্যাশিত মান 4,472222 প্রাপ্ত।$n = 2$

Comments

লক্ষ্য করুন যে, সীমাতে, হিসাবে , সুতরাং এই সূত্রটি আপনার প্রশ্ন থেকে আপনার অন্তর্দৃষ্টিও নিশ্চিত করে । $P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$$n \rightarrow \infty$

— ম্যাথু ড্র্যারি

Answer 3

আমি উত্তরটি দেখতে কেবল তুচ্ছ মামলার মধ্য দিয়ে কাজ করার পরামর্শ দিই।

দুটি ডাইস রোলিংয়ের সম্ভাব্য ফলাফলগুলি 6x6 ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করে:

$$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

সমষ্টিটির প্রত্যাশিত মান 7.. এটি কেস কারণ রোলগুলি অভিন্ন স্বতন্ত্র অঙ্কন, তাই তাদের সংক্ষিপ্তকরণ করা যেতে পারে। ফর্সা কিউবিকাল ডাই রোল করার প্রত্যাশা 3.5 3.5

তবে আপনি সর্বোচ্চকরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন। এখন আসুন দুটি ডাইস ঘূর্ণায়মান থেকে সর্বোচ্চকরণ গণনা করা যাক। আবার এটি একটি 6x6 ম্যাট্রিক্স:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

প্রত্যাশিত মানটি গণনা করুন, যেমন: ।

$$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$

লক্ষ্য করুন যে রোলিং ডাইস হ'ল একটি ডাই বার ঘূর্ণনের সমতুল্য । সুতরাং ডাইস ঘূর্ণায়নের জন্য আপনি দেখতে পারেন যে কীভাবে ম্যাট্রিক্স পরিবর্তন হয় এবং ফলস্বরূপ প্রত্যাশাও কীভাবে পরিবর্তিত হয়।n $n$$n$$n$

Answer 4

36 টি সমন্বয়ের প্রত্যেকটির সমান সম্ভাবনা রয়েছে বলে ধরে নেওয়া, আমাদের কেবলমাত্র 36 টি সংমিশ্রণের প্রতিটিটির মান যুক্ত করতে হবে এবং গড় পেতে 36 টি দিয়ে ভাগ করতে হবে:

1. 1 সম্ভাবনা: 11
2. 3 সম্ভাবনা: 12, 21, 22
3. 5 সম্ভাবনা: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 সম্ভাবনা: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 সম্ভাবনা: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 সম্ভাবনা: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

Answer 5

দানব পাশা রোলের হয় পাশা সম্ভাব্যতা খোঁজার জন্য টুল। বাস্তবায়ন সম্পর্কে তাঁর কাছে একটি কাগজ রয়েছে , তবে এটি বেশ শিক্ষিত।

max(2d6) উৎপাদনের

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642