এলোমেলো হাঁটার জন্য স্বতঃসংশ্লিষ্টতা কী?

Question

দেখে মনে হচ্ছে এটি সত্যই বেশি, তবে এটি আমার কাছে বিপরীত। কেউ দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি এই সমস্যাটি দ্বারা খুব বিভ্রান্ত এবং একটি বিশদ, অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ ব্যাখ্যা প্রশংসা করব। আগাম অনেক ধন্যবাদ!

Answer 1

(আমি এটি অন্য পোস্টের উত্তর হিসাবে লিখেছিলাম, এটি রচনা করার সময় এটির একটি সদৃশ হিসাবে চিহ্নিত হয়েছিল; আমি অনুভব করেছি যে আমি এটি এখানে ফেলে দেওয়ার চেয়ে এখানে পোস্ট করেছি It দেখে মনে হচ্ছে এটি বেশ কিছু অনুরূপ বিষয়গুলি হুবুহুদের মতো বলেছে উত্তর কিন্তু এটি যথেষ্ট আলাদা যে কেউ এ থেকে কিছু পেতে পারে))

রূপের একটি এলোমেলো পদচারণা$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

নোট করুন যে$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

সুতরাং $\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$ । ) ।

এছাড়াও লক্ষ করুন যে$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

ফলস্বরূপ ।$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

যার অর্থ হল আপনার প্রায় 1 টির একটি সম্পর্ক দেখা উচিত কারণ বড় হওয়া শুরু হওয়ার সাথে সাথে এবং almost প্রায় একই জিনিস - তাদের মধ্যে আপেক্ষিক পার্থক্য মোটামুটি ছোট হতে থাকে।y t y t - $t$$y_t$$y_{t-1}$

আপনি ষড়যন্ত্র সবচেয়ে নির্দ্ধিধায় দেখতে পারে বনাম ।y t - $y_t$$y_{t-1}$

আমরা এখন এটিকে কিছুটা স্বজ্ঞাতভাবে দেখতে পাচ্ছি - কল্পনা করুন নেমে গেছে চলে গেছে (আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ শব্দ শব্দটির সাথে আমার এলোমেলো সিমুলেশনটিতে হয়েছিল)। তারপরে কাছাকাছি হতে চলেছে ; এটি হতে পারে বা এটি হতে পারে তবে এটি কয়েকটি ইউনিটের মধ্যে থাকা প্রায় নিশ্চিত । সুতরাং হিসাবে সিরিজের আপ drifts এবং নিচে, চক্রান্ত বনাম যাচ্ছে প্রায় সবসময় বেশ সংকীর্ণ পরিসর মধ্যে রাখতে লাইন ... এখনো যেমন বৃদ্ধি পয়েন্ট বৃহত্তর আবরণ এবং হবে এই সাথে আরও বেশি প্রসারিত - 20 Y টি - 20 - 22 - 18.5 - 20 Y টি Y টি - 1 Y = এক্স টি Y = এক্স $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$রেখা (লাইন বরাবর বিস্তার with দিয়ে বৃদ্ধি পায় , তবে উল্লম্ব স্প্রেড প্রায় স্থির থাকে); পারস্পরিক সম্পর্ক অবশ্যই 1 এ পৌঁছাতে হবে।$\sqrt{t}$

Answer 2

আপনার পূর্ববর্তী প্রশ্নের প্রসঙ্গে , একটি "এলোমেলো হাঁটা" হ'ল দ্বিপদী র্যান্ডম একটি উপলব্ধি । Autocorrelation ভেক্টর মধ্যে কোরিলেশন এবং পরবর্তী উপাদানের ভেক্টর ।( এক্স 0 , এক্স 1 , … , এক্স এন - 1 ) ( এক্স 1 , এক্স 2 , … , এক্স এন$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

দ্বিপদী র্যান্ডম খুব নির্মাণের ফলে প্রতিটি ধ্রুবক দ্বারা প্রতিটি থেকে পৃথক হয় । x $x_{i+1}$$x_i$ কিছুক্ষণ হাঁটাচলা করার পরে, এর মানগুলি প্রাথমিক মান থেকে দূরে সরে যাবে এবং এর মাধ্যমে সাধারণত একটি ভাল পরিসীমা আবরণ করা যায়, সাধারণত দৈর্ঘ্যের proportion এর সমানুপাতিক । সুতরাং কেবল লাইনগুলিতে গঠিত হবে , গড় লাইন নিকটবর্তী হয় । অবশিষ্টাংশগুলি কাছাকাছি থাকবেx 0 $x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$। সুতরাং, বৃহত্তর উপলব্ধিতে, মানগুলির বৈচিত্রের তুলনায় অবশিষ্টাংশের (প্রায় ) এর প্রকরণ (মোটামুটি ) এর তুলনায় ছোট হবে । আমরা আশা করব আনুমানিক হবে$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

এখানে র্যান্ডম ওয়াক (বাম দিকে) এবং এর ল্যাগ -1 স্ক্র্যাটারপ্লট (ডানদিকে) এর পদক্ষেপের একটি চিত্র । দুটি প্লটের সাথে সম্পর্কিত পয়েন্টগুলি পেতে আপনাকে সহায়তা করতে রঙিন কোডিং ব্যবহার করা হয়। লক্ষ করুন যে এই ক্ষেত্রে এর খুব কাছেই রয়েছে ।$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

---

এখানে Rচিত্রগুলি তৈরি করা কোড।

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))