পরিসংখ্যান ধারণাটি ব্যাখ্যা করার জন্য যে আপনি উল্টাপালুর সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে লেজ হিসাবে একই সংখ্যক মাথা ফ্লিপ করার সম্ভাবনা কম কেন?

Question

আমি কয়েকটি বই পড়ে এবং কিছু কোড লিখে সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান শেখার জন্য কাজ করছি, এবং মুদ্রা উল্টানো সিমুলেট করার সময় আমি এমন কিছু লক্ষ্য করলাম যা আমাকে নিজের নিষ্প্রভ প্রবণতার সামান্য বিপরীতমুখী করে। আপনি যদি একটি ন্যায্য মুদ্রা টুসকি যদি বার 1 প্রতি মুদ্রার উলটা পিঠ এগোয় করতে মাথা অনুপাত বেড়ে যায়, ঠিক আপনি আশা করবে হিসাবে। কিন্তু অন্যদিকে, বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে দেখা যাচ্ছে যে আপনি লেজ হিসাবে ঠিক একই মাথাগুলি ফ্লিপ করার সম্ভাবনা কম হবেন , যার ফলে হুবহু 1 এর অনুপাত পাওয়া যায় ।n $n$$n$$n$

উদাহরণস্বরূপ (আমার প্রোগ্রাম থেকে কিছু আউটপুট)

For 100 flips, it took 27 experiments until we got an exact match (50 HEADS, 50 TAILS)
For 500 flips, it took 27 experiments until we got an exact match (250 HEADS, 250 TAILS)
For 1000 flips, it took 11 experiments until we got an exact match (500 HEADS, 500 TAILS)
For 5000 flips, it took 31 experiments until we got an exact match (2500 HEADS, 2500 TAILS)
For 10000 flips, it took 38 experiments until we got an exact match (5000 HEADS, 5000 TAILS)
For 20000 flips, it took 69 experiments until we got an exact match (10000 HEADS, 10000 TAILS)
For 80000 flips, it took 5 experiments until we got an exact match (40000 HEADS, 40000 TAILS)
For 100000 flips, it took 86 experiments until we got an exact match (50000 HEADS, 50000 TAILS)
For 200000 flips, it took 96 experiments until we got an exact match (100000 HEADS, 100000 TAILS)
For 500000 flips, it took 637 experiments until we got an exact match (250000 HEADS, 250000 TAILS)
For 1000000 flips, it took 3009 experiments until we got an exact match (500000 HEADS, 500000 TAILS)

আমার প্রশ্নটি হ'ল: পরিসংখ্যান / সম্ভাবনা তত্ত্বের কোনও ধারণা / নীতি আছে যা এটি ব্যাখ্যা করে? যদি তা হয় তবে এটি কোন নীতি / ধারণা?

আমি কীভাবে এটি তৈরি করেছি তা যদি কেউ আগ্রহী হয় তবে কোডের লিঙ্ক ।

- সম্পাদনা -

এটির মূল্য কী, তার জন্য আমি এখানে আমার আগে এটি কীভাবে ব্যাখ্যা করছি। যদি আপনি একটি উপযুক্ত মুদ্রা বার ফ্লিপ করেন এবং মাথাগুলির সংখ্যা গণনা করেন তবে আপনি মূলত একটি এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করছেন। একইভাবে যদি আপনি একই জিনিসটি করেন এবং লেজগুলি গণনা করেন তবে আপনি এলোমেলো সংখ্যাও তৈরি করছেন। সুতরাং আপনি যদি উভয়ই গণনা করেন, আপনি সত্যিই দুটি এলোমেলো সংখ্যা তৈরি করছেন, এবং আরও বড় হওয়ার সাথে সাথে এলোমেলো সংখ্যা আরও বাড়ছে। এবং যত বড় এলোমেলো সংখ্যা আপনি উত্পন্ন করেন, তাদের একে অপরকে "মিস" করার সম্ভাবনা তত বেশি। এটিকে আকর্ষণীয় করে তোলে যে দুটি সংখ্যা আসলে এক অর্থে সংযুক্ত রয়েছে, তাদের অনুপাত বড় হওয়ার সাথে সাথে তাদের একদিকে রূপান্তরিত করে, যদিও প্রতিটি সংখ্যা বিচ্ছিন্নভাবে এলোমেলো। সম্ভবত এটি কেবল আমি, তবে আমি এটি পরিষ্কার পরিচ্ছন্ন দেখতে পাই। $\mathtt n$$\mathtt n$

Comments

আপনি কি স্বজ্ঞাত বা গাণিতিক ব্যাখ্যা চান?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

সত্যই। আমি মনে করি আমি স্বজ্ঞাত অর্থে কারণটি বাছাই করেছিলাম তবে আমি এর পিছনে আনুষ্ঠানিক যুক্তি বুঝতে চাই।

— মাইন্ডক্রিম

আপনি কি জানেন কীভাবে দ্বিপাক্ষিক সম্ভাবনার গণনা করতে এবং এই পরিস্থিতিতে তাদের প্রয়োগ করতে? যদি তা না হয় তবে এটি দেখুন এবং গণনাগুলি কার্য করুন।

— মার্ক এল স্টোন

বাহ, এই প্রশ্নের একাধিক ভাল উত্তর রয়েছে। আমি অন্যকে গ্রহণ না করে অন্যকে গ্রহণ করা সম্পর্কে খারাপ লাগি। আমাকে কেবল এটিই বলতে দাও যে আমি সমস্ত উত্তর এবং যে কেউ এই বিষয়ে তাদের অন্তর্দৃষ্টি ভাগ করে নেওয়ার জন্য সময় নিয়েছে তাদের প্রশংসা করি।

— মাইন্ডক্রিম

Answer 1

মনে রাখবেন যে মাথার সংখ্যা এবং লেজের সংখ্যা সমান হয় সেই ক্ষেত্রে "আপনি মাথা নেওয়ার ঠিক অর্ধেক সময়" এর সমান। সুতরাং আসুন যে এটি টসসের অর্ধেক সংখ্যার সমতুল্য বা সমানভাবে 0.5 এর সাথে মাথার অনুপাতের সাথে তুলনা করা যায় তা দেখতে মাথা সংখ্যা গণনা করতে আটকে থাকি।

আপনি যত বেশি উল্টাপাল্ট করবেন আপনার পক্ষে যতগুলি সম্ভাব্য মাউন্ট রয়েছে তার সংখ্যা বৃহত্তর - বিতরণ আরও ছড়িয়ে পড়ে (যেমন টসসের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে 95% সম্ভাব্য মাথার সংখ্যার জন্য একটি বিরতি বিস্তৃত হবে) , সুতরাং আমরা আরও টস করার সাথে সাথে ঠিক অর্ধেক মাথা হওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস পাবে।

অনুসারে, মাথার অনুপাত আরও সম্ভাব্য মান গ্রহণ করবে; এখানে দেখুন, যেখানে আমরা 100 টসস থেকে 200 টসসে চলে যাই:

100 টোসিস সহ আমরা 0.49 মাথা বা 0.50 হেড বা 0.51 হেডের অনুপাত পর্যবেক্ষণ করতে পারি (এবং এই জাতীয় মানগুলির মধ্যে কিছুই নয়) তবে 200 টসস সহ আমরা 0.49 বা 0.495 বা 0.50 বা 0.505 বা 0.510 পর্যবেক্ষণ করতে পারি - সম্ভাবনাটির "কভার" এর আরও মান রয়েছে এবং তাই প্রত্যেকেরই একটি ছোট ভাগ পাওয়ার প্রবণতা থাকবে।

চেয়ে আপনি বিবেচনা করুন কিছু সম্ভাবনা সঙ্গে tosses পি আমি পাবার আমি মাথা (আমরা এই সম্ভাব্যতা জানি কিন্তু এটা এই অংশ জন্য সমালোচনামূলক না), এবং আপনি যদি আরো দুটি tosses যোগ করুন। ইন 2 এন tosses, এন মাথা সম্ভবত পরিণতি আছে ( পৃ এন > পি এন ± 1 এবং এটি সেখানে থেকে যায় নিচে)।$2n$$p_i$$i$$2n$$n$$p_n>p_{n\pm 1}$

2 এন + 2 টসগুলিতে মাথা থাকার সম্ভাবনা কী ?$n+1$$2n+2$

(এই সম্ভাব্যতাগুলিকে দিয়ে লেবেল করুন যাতে আমরা সেগুলি পূর্বেরগুলির সাথে বিভ্রান্ত করি না; এছাড়াও পি (এইচএইচ) পরবর্তী দুটি টসসগুলিতে "হেড, হেড" এর সম্ভাব্যতা হ'ল)$q$

$q_{n+1} = p_{n-1} P(HH) + p_n (P(HT)+P(TH)) + p_{n+1} P(TT)$

$\qquad < p_{n} P(HH) + p_n (P(HT)+P(TH)) + p_{n} P(TT) = p_n$

অর্থাত্ যদি আপনি আরও দুটি কয়েন টসস যুক্ত করেন তবে মধ্যম মানের সম্ভাবনা স্বাভাবিকভাবেই হ্রাস পায় কারণ এটি উভয় দিকের ছোট মানগুলির গড়ের সাথে সর্বাধিক সম্ভাব্য (মাঝারি) মানের গড়)

সুতরাং যতদিন তুমি আরামদায়ক যে শিখর মাঝখানে থাকবে (জন্য ), ঠিক অর্ধেক মাথা সম্ভাবনা যেমন অবশ্যই নগন্য হয়ে যাব এন যায়।$2n= 2,4,6,...$$n$

---

প্রকৃতপক্ষে আমরা দেখাতে পারি যে বড় , পি এন 1 এর সাথে আনুপাতিকভাবে হ্রাস পায়$n$$p_n$ (আশ্চর্যজনকভাবে, যেহেতু মাথার মানক সংখ্যার বন্টন স্বাভাবিকতার দিকে যায় এবং মাথাগুলির অনুপাতের বৈকল্পিকn এরসাথে হ্রাস পায়)।$\frac{1}{\sqrt{n}}$$n$

---

অনুরোধ হিসাবে, এখানে আর কোড যা উপরের প্লটের নিকটে কিছু উত্পাদন করে:

 x1 = 25:75
 x2 = 50:150
 plot(x1 / 100, dbinom(x1, 100, 0.5), type = "h",
       main = "Proportion of heads in 100 and 200 tosses",
       xlab = "Proportion of heads",
       ylab = "probability")
 points(x2 / 200, dbinom(x2, 200, 0.5), type = "h", col = 3)

Comments

আমি আপনার গ্রাফিকের 1000-শব্দ-নেস সম্পর্কিত উপরের উপরে @ রুস্টি স্ট্যাটাস্টিকিয়ানের সাথে একমত। কোড পয়েন্টারের জন্য অতিরিক্ত ক্রেডিট।

— টমরোচে

অসাধারণ চিত্র এবং ব্যাখ্যা!

@ টম আমি কোডটি অন্তর্ভুক্ত করেছি যা শিরোনামটিতে "200" বাদে সবকিছু করে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_ বি আরও একটি দুর্দান্ত পোস্টের জন্য এবং কোড লাইনগুলি ভাগ করে নেওয়ার উদারতার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। সুন্দর প্লট! এটি স্বীকার করা শক্ত, তবে আপনার পোস্টে ধারণার গাণিতিক অভিব্যক্তি এবং বিশেষত উপরের ক্ষেত্রে ব্যবহারের ক্ষেত্রে আমার সমস্যা হচ্ছে । $P$

— আন্তনি পরল্লদা

@ আন্টনি অর্থ "অতিরিক্ত দুটি টসকে 'হেড, হেড' পাওয়ার সম্ভাবনা"। 2n টসেসে 2 + টসিসে এন + 1 হেডগুলি পেতে আপনার অবশ্যই এন -1 হেড থাকতে হবে (এবং তারপরে 2 হেড টসড) বা এন হেডস (এবং তারপরে 1 হেড টসড) বা এন + 1 হেড (এবং তারপরে টসড) 0 মাথা)। $P(HH)$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা

Answer 2

আচ্ছা আমরা জানি যে বৃহৎ সংখ্যক আইন কি experiement প্রথম উপসংহার নিশ্চয়তা,, যথা, আপনি একটি ন্যায্য মুদ্রা টুসকি যদি বার মুদ্রার উলটা পিঠ এগোয় করতে মাথা অনুপাত 1 প্রতি যেমন এন বাড়ে। $n$$n$

সুতরাং সেখানে কোনও সমস্যা নেই। যাইহোক, বৃহত্তর নম্বরের সমস্ত আইন সম্পর্কে এই দৃশ্যে আমাদের জানায়।

তবে এখন, এই সমস্যাটি আরও স্বজ্ঞাতভাবে চিন্তা করুন। অল্প সংখ্যক মুদ্রা উল্টানোর কথা চিন্তা করুন, উদাহরণস্বরূপ: ।$n=2,4,8,10$

আপনি যখন দু'বার একটি মুদ্রা ফ্লিপ করবেন, অর্থাত্ , দুটি ফ্লপের সম্ভাব্য পরিস্থিতিগুলি নিয়ে ভাবেন। (এখানে এইচ মাথা নির্দেশ করবে এবং টি লেজগুলি বোঝায়) den মুষ্টি ফ্লিপে আপনি এইচ অর্জন করতে পারতেন এবং দ্বিতীয় ফ্লিপে আপনি টি পেতে পারেন । তবে এটিই কেবল একটি উপায় যে দুটি ফ্লিপগুলি আসতে পারে। আপনি প্রথম ফ্লিপ টি এবং দ্বিতীয় ফ্লিপ এইচ এবং অন্যান্য সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণেও অর্জন করতে পারেন। দিনের শেষে, আপনি যখন দুটি মুদ্রা ফ্লিপ করবেন, তখন দুটি ফ্লিপগুলিতে আপনি দেখতে পেলেন এমন সম্ভাব্য সংমিশ্রণগুলি হ'ল এস = { এইচ এইচ , এইচ টি $n=2$$H$$T$$H$$T$$T$$H$ এবং তাই এন = 2 কয়েনউল্টানোর জন্য 4 টি সম্ভাব্য পরিস্থিতি রয়েছে।

$$S=\{HH,HT,TH,TT\}$$ $n=2$

আপনি 4 কয়েন টুসকি ছিল তাহলে সমাহারের সম্ভব সংখ্যা তোমাকে দেখতে পারব হবে এবং তাই এন = 4 কয়েনউল্টানোর জন্য 16 টি সম্ভাব্য দৃশ্য রয়েছে।

$$S=\{HHHH,HHHT,HHTH,HTHH,THHH,HHTT,HTTH,TTHH,THHT,THTH,HTHT,HTTT,THTT,TTHT,TTTH,TTTT\}$$ $n=4$

কয়েন উল্টানো 256 সংমিশ্রণে বাড়ে।$n=8$

Flipping 1,024 সমন্বয় করতে কয়েন বাড়ে।$n=10$

এবং বিশেষত, যে কোনও সংখ্যার কয়েনগুলি উল্টানো 2 এন সম্ভাব্য সংমিশ্রণের দিকে নিয়ে যায় ।$n$$2^n$

এখন, আসুন চেষ্টা করে দেখুন এবং এই সমস্যাটির সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণটি দেখার চেষ্টা করুন। যখন কেসটি ফিরে দেখছেন , আমরা জানি যে মাথা এবং লেজগুলির সমান সংখ্যক প্রাপ্তির সম্ভাবনা (যেমন, আপনি এটি ঠিক 1 এর অনুপাত হিসাবে রেখেছেন) পি আর ( হুবহু 1 এর অনুপাত ) = $n=2$ যখনএন=4 হয়, আমরা জানি যে একই সংখ্যক হেড এবং লেজ প্রাপ্তির সম্ভাবনা হ'ল পিr(ঠিক 1 এর অনুপাত)=

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=\frac{2}{4}=0.5$$ $n=4$ $$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=\frac{6}{16}=0.375$$

$n$

$n\rightarrow\infty$

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})\rightarrow 0$$

এবং তাই, আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে। সত্যিই আপনি যা পর্যবেক্ষণ করছেন এটি কেবলমাত্র একটি ফলাফল যে মুদ্রা ফ্লিপের আরও অনেক সংমিশ্রণ থাকবে যেখানে মাথা এবং লেজ সংখ্যা সমান যেখানে সংমিশ্রণের সংখ্যার তুলনায় সমান নয়।

---

---

@ মার্ক এল স্টোন যেমন পরামর্শ দিয়েছে, আপনি যদি দ্বিপদী সূত্র এবং দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করেন তবে আপনি একই যুক্তি দেখানোর জন্য এটি ব্যবহার করতে পারেন।

$X$$n$$X$$X\sim Bin(n,p=0.5)$$p=0.5$

$$Pr(\text{Ratio of exactly 1})=Pr\left(X=\frac{n}{2}\right)= {n \choose n/2} 0.5^{n/2}(0.5)^{n-n/2}={n \choose n/2} 0.5^{n}$$

$n$${n \choose n/2}0.5^n\rightarrow 0$$n\rightarrow\infty$

Comments

$0.5^n \to 0$$n \to \infty$$\binom{n}{n/2}$$0.5^n \to 0$$n! 0.5^n \to 0$

@ Glen_b আপনার পোস্টে মন্তব্য করার মতো পর্যাপ্ত পয়েন্ট আমার কাছে নেই, তবে দুর্দান্ত গ্রাফিক!

ধন্যবাদ @ রুস্টি স্ট্যাট্যাটিস্টিয়ান, এটি অনেক সাহায্য করে। আপনার ব্যাখ্যাটির প্রথম অংশটি আমি যেভাবে ভাবছিলাম তার সাথে অনেকটা মেলে, তবে দ্বিপদী বিতরণ ব্যবহার করে কীভাবে এটি কার্যকর করা যায় তা আমি এখনও আমার পরিসংখ্যানের সাথে যথেষ্ট পরিমাণে নেই। আমি মূলত আমার বইটি একবারে পড়েছি, সমস্যা বা কোনও কিছুর বাইরে কাজ করছি না এবং এখন আমি প্রথম থেকেই ফিরে যাচ্ছি, এবং উপাদানটির বিভিন্ন দিক অনুসন্ধান করার জন্য কোড লিখছি।

— মাইন্ডক্রিম

@ মাইন্ডক্রাইম দুর্দান্ত শোনায়! আমি সাহায্য করতে পেরে আনন্দিত.

Answer 3

দেখুন প্যাসকেলের ত্রিভুজ ।

মুদ্রা উল্টানোর ফলাফলের সম্ভাবনা নীচের সারিতে সংখ্যাগুলি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সমান মাথা এবং লেজের ফলাফল মধ্য সংখ্যা। গাছটি বড় হওয়ার সাথে সাথে (অর্থাত্ আরও ফ্লিপস) মাঝারি সংখ্যাটি নীচের সারির যোগফলের একটি ছোট অনুপাত হয়ে যায়।

Answer 4

সম্ভবত এটি রূপরেখা তৈরি করতে সহায়তা করে যে এটি আরকসিন আইনের সাথে সম্পর্কিত। এটি বলেছে যে ফলাফলের একটি পথের জন্য ইতিবাচক বা নেতিবাচক ডোমেনে বেশিরভাগ সময় পথ চলার সম্ভাবনা আপনার অন্তর্দৃষ্টি থেকে প্রত্যাশার চেয়ে অনেক উপরে এবং নীচে চলে যায় । এখানে কিছু লিঙ্ক:

http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/ProbabilityTheory/Lessons/BernoulliTrials/ExcessHeads/excessheads.shtml

https://en.wikipedia.org/wiki/Arcsine_law

Answer 5

মাথার লেজগুলির অনুপাত 1-এ রূপান্তরিত করে, সম্ভাব্য সংখ্যার পরিসর আরও প্রশস্ত হয়। (আমি সংখ্যাগুলি তৈরি করছি)। 100 টির জন্য বলুন সম্ভাবনা 90% যা আপনার 45% থেকে 55% এর মধ্যে থাকে between এটি 90% যে আপনি 45 থেকে 55 মাথা পান। মাথা সংখ্যার জন্য 11 সম্ভাবনা। প্রায় 9% মোটামুটি যে আপনি সমান সংখ্যক মাথা এবং লেজ পান।

10,000 এর জন্য বলুন সম্ভাবনা 95% যা আপনি 49% থেকে 51% হেডের মধ্যে পান। সুতরাং অনুপাতটি অনেক কাছাকাছি এসে গেছে 1. তবে এখন আপনার 4,900 থেকে 5,100 মাথা রয়েছে। 201 সম্ভাবনা। সমান সংখ্যার সম্ভাবনা প্রায় প্রায় 0.5%।

এবং মিলিয়ন নিক্ষেপ দ্বারা আপনার কাছে 49.9% থেকে 50.1% মাথা থাকা নিশ্চিত। এটি 499,000 থেকে 501,000 মাথা পর্যন্ত বিস্তৃত। 2,001 সম্ভাবনা। সুযোগটি এখন 0.05% এ নেমে এসেছে।

ঠিক আছে, গণিতগুলি তৈরি হয়েছিল। তবে এটি আপনাকে "কেন" সম্পর্কে ধারণা দেয়। যদিও অনুপাতটি 1 এর কাছাকাছি আসে, সম্ভাবনার সংখ্যা আরও বেশি হয়ে যায়, যাতে ঠিক অর্ধেক মাথা, অর্ধেক লেজগুলি আঘাত করা কম এবং সম্ভাবনা কম হয়ে যায়।

অন্য ব্যবহারিক প্রভাব: অনুশীলনের ক্ষেত্রে এটি অসম্ভব যে আপনার কাছে একটি মুদ্রা রয়েছে যেখানে মাথা নিক্ষেপের সম্ভাবনা হুবহু 50%। আপনার যদি খুব ভাল মুদ্রা থাকে তবে এটি 49.99371% হতে পারে। অল্প সংখ্যক নিক্ষেপের জন্য এটি কোনও পার্থক্য করে না। বড় সংখ্যার জন্য, মাথাগুলির শতাংশ 50% নয়, 49.99371% তে রূপান্তরিত হবে। যদি নিক্ষেপের সংখ্যা যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় তবে 50% বা তারও বেশি মাথা নিক্ষেপ করা খুব, খুব অসম্ভব।

Answer 6

ভাল, একটি বিষয় লক্ষণীয় হ'ল যে সমান সংখ্যক ফ্লিপ সহ (অন্যথায় সমান মাথা এবং লেজ ফ্লিপের সম্ভাবনা অবশ্যই শূন্য) তবে সবচেয়ে সম্ভাব্য ফলাফলটি সর্বদা এক হিসাবে থাকবে যতগুলি লেজ উল্টে যায় ঠিক তেমনই।

$n$

$$\bigl(\frac{1+x}2\bigr)^n\qquad .$$ $n$ $$p_n = 2^{-n}{n \choose n/2}\qquad .$$

$n!$

$$p \approx\frac1{\sqrt{\pi n/2}}$$ $n/2$$n$$2^{-n}$

Comments

$n$$p$

Answer 7

ধরুন আপনি দুবার একটি মুদ্রা ফ্লিপ করেন। সম্ভাব্য চারটি ফলাফল রয়েছে: এইচএইচ, এইচটি, টিএইচ, এবং টিটি। এর মধ্যে দুটিতে আপনার সমান সংখ্যক মাথা এবং লেজ রয়েছে, সুতরাং 50% সম্ভাবনা রয়েছে যে আপনি একই সংখ্যক মাথা এবং লেজ পাবেন।

এখন ধরা যাক আপনি 4,306,492,102 বার একটি মুদ্রা ফ্লিপ করেছেন। আপনি কি এমন 50 শতাংশ সুযোগের প্রত্যাশা করছেন যা আপনি ঠিক 2,153,246,051 মাথা এবং 2,153,246,051 লেজ দিয়ে শেষ করবেন?

Comments

না, আমার অন্তর্নিহিততা আমাকে বলেছিল যে সংখ্যাগুলি বাড়ার কারণেই সঠিক ম্যাচ পাওয়ার সম্ভাবনা কম ছিল। তবে আমি কেবল আমার চিন্তার বিষয়টি নিশ্চিত করার জন্য এটি অনুকরণ করতে চেয়েছিলাম। আমি যখন দেখলাম যে এটির পথটি সরে গেছে তখন কেন আমি সেভাবেই চলেছি তার পিছনে আনুষ্ঠানিক যুক্তি সম্পর্কে আগ্রহী হয়েছিল। এটা আমার যে আকর্ষণীয় ফলে অনুপাত সমকেন্দ্রি হিসাবে হানা প্রতি 1 যখন একযোগে হয়ে সম্ভাবনা কম ঠিক 1. হতে

— mindcrime

$n$$n$