প্রতিটি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স কি ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট?

11

আমি এখানে পিয়ারসন সম্পর্কের ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে কথা বলছি।

আমি প্রায়শই শুনেছি যে সমস্ত পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স অবশ্যই পজিটিভ সেমাইডাইফিনেট হতে হবে। আমার বোধগম্যতা হল যে পজিটিভ সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিকের অবশ্যই ইগেনভ্যালু , ধনাত্মক সেমিডেফাইনেট ম্যাট্রিকগুলিতে অবশ্যই আইজেনভ্যালু থাকতে হবে । এটি আমাকে ভাবতে বাধ্য করে যে আমার প্রশ্নটির পুনঃব্যবস্থা করা যেতে পারে "" পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি এগেনুয়ালু কি সম্ভব ? " $> 0$ $\ge 0$ $= 0$

কি কোনও রিলেশন ম্যাট্রিক্সের (এমিরিকাল ডেটা থেকে উৎপন্ন, কোনও অনুপস্থিত ডেটা ছাড়াই) একটি ইগেনভ্যালু , বা একটি ইগেনভ্যালু ? পরিবর্তে এটি যদি জনসংখ্যার পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হয়? $= 0$ $< 0$

আমি শীর্ষ উত্তর পড়া সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে এই প্রশ্নের যে

, এবং তিনটি ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন । তাদের সমবায় ম্যাট্রিক্স, , ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট নয়, যেহেতু ভেক্টর ( ) যার জন্য ইতিবাচক নয়। $X$ $Y$ $Z = X+Y$ $M$ $z$ $= (1, 1, -1)'$ $z'Mz$

যাইহোক, যদি কোনও কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তে আমি সেই গণনাগুলি কোনও সম্পর্কযুক্ত ম্যাট্রিক্সে করি তবে ইতিবাচক হিসাবে বেরিয়ে আসে। সুতরাং আমি মনে করি যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্য সম্ভবত পরিস্থিতি আলাদা। $z'Mz$

আমার জিজ্ঞাসা করার কারণটি হ'ল আমি সেখানে জিজ্ঞাসা করা একটি প্রশ্নের সাথে আমি স্ট্যাকওভারফ্লোতে জিজ্ঞাসা করেছি।

covariance-matrix eigenvalues correlation-matrix

— user1205901 - মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন
সূত্র

উদাহরণস্বরূপ, দুটি বৈশিষ্ট্য যদি একটি জিনিস হয় তবে কেবল আলাদা আলাদা নাম থাকে, ম্যাট্রিক্স একক হয়। দুটি বৈশিষ্ট্য যদি একটি ধ্রুবককে যুক্ত করে তবে তা আবার একবচন, এট সিটিরা ।

— ttnphns

যদি কোনও কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স একক সংযোগ ম্যাট্রিক্স পাশাপাশি একক হয়।

— ttnphns

2

কাছাকাছি-সদৃশ: প্রতিটি পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স কি ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট? যা নির্দিষ্ট বনাম আধা-নির্দিষ্ট কোণে কম ফোকাস করেছে, এবং প্রতিটি সমবায় ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট? যা প্রাসঙ্গিক কারণ একটি cক্যবদ্ধভাবে মূলত একটি উদ্ধারকৃত সম্পর্ক।

— সিলভারফিশ

16

সহ সম্পর্কের ম্যাট্রিকগুলি ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট হওয়ার দরকার নেই।

একটি স্কেলার এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স বিবেচনা করুন যা শূন্য নয়, তার ভিন্নতা রয়েছে। তারপরে নিজের সাথে এক্স এর পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হ'ল সকলের ম্যাট্রিক্স যা ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট, তবে ইতিবাচক নির্দিষ্ট নয়।

নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক হিসাবে, উপরের জন্য নমুনা ডেটা বিবেচনা করুন, প্রথম পর্যবেক্ষণ 1 এবং 1, এবং দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণ 2 এবং 2। এর ফলে নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সকলের ম্যাট্রিক্স, সুতরাং ইতিবাচক নির্দিষ্ট নয়।

একটি নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স, যদি সঠিক অঙ্কগুলিতে গণনা করা হয় (অর্থাত্ কোনও রাউন্ডঅফ ত্রুটি না থাকলে) negativeণাত্মক এগেনভ্যালু থাকতে পারে না।

— মার্ক এল স্টোন
সূত্র

4

নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সে অনুপস্থিত মানগুলির সম্ভাব্য প্রভাবগুলি উল্লেখ করার উপযুক্ত হতে পারে । একটি নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক / কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সে নেতিবাচক ইগন্যালুয়েজ পাওয়ার একমাত্র কারণ সংখ্যাগত ফাজ নয়।

— সিলভারফিশ

1

হ্যাঁ, আমি এটিকে স্পষ্ট করে তুলি নি, তবে প্রশ্ন বিবৃতি অনুসারে, আমি "অনুপস্থিত কোনও ডেটা ছাড়াই" ধরে নিচ্ছিলাম। আপনি হারিয়ে যাওয়া ডেটা এবং এর জন্য অ্যাডজাস্টমেন্টের বন্য, উদ্বেগজনক জগতে প্রবেশ করার পরে, কিছু যায়।

— মার্ক এল। স্টোন

হ্যাঁ, দুঃখিত, আপনি প্রশ্নটি একেবারেই ঠিক বলেছেন "কোনও অনুপস্থিত তথ্য নেই" - এটি কেবল ভেবেছিল এটি কোথাও উল্লেখ করার উপযুক্ত কারণ ভবিষ্যতের অনুসন্ধানকারীরা ওপিটির ক্ষুধা না পেলেও আগ্রহী হতে পারে!

— সিলভারফিশ

7

@Yoki এবং @MarkLStone (উভয় +1) যে একটি আউট উভয় বিন্দু করে উত্তর জনসংখ্যা পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স শূন্য eigenvalues থাকতে পারে যদি ভেরিয়েবল সুসংগত (যেমন যেমন সম্পর্কিত হয় @MarkLStone উদাহরণে এবং @ ইয়োকির উদাহরণে )। $X_1 = X_2$ $X_1 = 2X_2$

এগুলি ছাড়াও, একটি নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্সের অগত্যা , অর্থাৎ নমুনার আকার যদি ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে ছোট হয় তবে শূন্য ইগেনভ্যালু থাকবে । এই ক্ষেত্রে কোভেরিয়েন্স এবং পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক উভয়ই র‌্যাঙ্ক সর্বাধিক হবে, সুতরাং কমপক্ষে শূন্য ইগ্যালভ্যালু থাকবে। দেখুন যখন নমুনার আকার ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে কম হয় তখন একটি নমুনা কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স একক কেন হয়? এবং সর্বাধিক এ কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক কেন ? $n<p$ $n-1$ $p-n+1$ $n-1$

— জীবাণুবিশেষ
সূত্র

সত্য দেয়. আমি মনে করি আমারও এই তথ্যটি থাকতে পারত এবং করা উচিত ছিল, তবে আমার লক্ষ্য ছিল ওপির অনুমানকে খণ্ডন করার জন্য একটি প্রতিরক্ষামূলক নমুনা তৈরি করা, যার ফলে এর অকার্যকরতা প্রদর্শন করা সত্ত্বেও, আপনার দ্বিতীয় বাক্যটি "এই ক্ষেত্রে সমবায়তা এবং পারস্পরিক সম্পর্ক সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স হিসাবে সমন্বিত করা উচিত সর্বাধিক র‌্যাঙ্ক n − 1 হবে, সুতরাং কমপক্ষে (পি − n + 1) শূন্য আইজভ্যালু থাকবে ""

— মার্ক এল স্টোন

4

গড় 0 এবং 1 এর বৈকল্পিক হিসাবে একটি আরভি হিসাবে বিবেচনা করুন, যাক , এবং এর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করুন । যেহেতু , , এবং $X$ $Y=2X$ $(X,Y)$ $2X=Y$ $E[Y^2]=4E[X^2]=\sigma_Y^2$ $E[XY]=2E[X^2]$ । শূন্য গড় কনফিগারেশনের কারণে, দ্বিতীয় মুহুর্তগুলি যথাযথ সমগোত্রীয়দের সমান, উদাহরণস্বরূপ: । $\mbox{Cov}(X,Y)=E[XY]-EXEY=E[XY]$

সুতরাং কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি : একটি শূন্য আইজেনুয়ালু রয়েছে। পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সটি : পাশাপাশি শূন্য আইজভ্যালু রয়েছে। এবং মধ্যে রৈখিক যোগাযোগের কারণে আমরা কেন এই পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স পাই তা সহজেই দেখা যায় - রৈখিক সম্পর্কের কারণে তিরকটি সর্বদা 1 হবে এবং অফ-ডায়াগোনালটি 1 হবে।

Λ = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 2 \\ 2 & 4 }\right),$

Λ = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}),

$\Lambda = \left(\array{1 & 1 \\ 1 & 1 }\right),$

X

$X$

Y

$Y$

— yoki
সূত্র

2

Λ

$\Lambda$

c o v (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 2 E [X^{2}] = 2 (σ_{X}^{2} + [E (X)]^{2})

$cov(X,Y)= \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)= 2\mathbb{E}[X^2]=2\left(\sigma_X^2+[E(X)]^2\right)$

E (X^{2}) = Var (X) + [E (X)]^{2}

$E(X^2)=\text{Var}(X)+[E(X)]^2$

d i a g Λ^{- 1 / 2} Λ d i a g Λ^{1 / 2}

$diag \Lambda^{-1/2}\,\Lambda\, diag \Lambda^{1/2}$

@ আন্টনিপ্রেল্লদা, আপনি কী বলতে চাইছেন তা আমি ঠিক নিশ্চিত নই - এখানকার সমবায় একটি সরাসরি গণনা is তবে আমি সম্পাদনা করব এবং আরও পরিষ্কার করব। ধন্যবাদ।

— ইয়োকি